第3章 第1讲 函数的概念及其表示-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第1讲　函数的概念及其表示

1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用.4.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．

1．函数的定义

2.函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

3．函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

4．同一个函数：如果两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．

5．函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．

6．分段函数

(1)定义：若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)定义域和值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．

(3)注意点：分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

1．(多选)下列各图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是(　　)

答案：ACD

解析：对于A，多个x对应一个y，可以是函数；对于B，在y轴左侧或右侧，一个x对应多个y，不是函数；对于C，一个x对应一个y，可以是函数；对于D，为不连续的点函数．

2．(多选)(人教A必修第一册习题3.1 T2改编)下列四组函数中，表示同一个函数的是(　　)

A．y＝x－1与y＝

B．y＝与y＝

C．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1

D．y＝()3与y＝x

答案：CD

解析：对于A，y＝x－1与y＝＝|x－1|的对应关系不同，两函数不是同一个函数；对于B，y＝的定义域为[1，＋∞)，y＝的定义域为(1，＋∞)，定义域不同，两函数不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系都相同，是同一个函数；对于D，y＝()3＝x的定义域为R，y＝x的定义域为R，定义域、对应关系都相同，两函数是同一个函数．故选CD.

3．设函数f(x)＝则f(f(3))的值为________．

答案：－7

解析：根据题意，函数f(x)＝则f(3)＝1－3＝－2，f(f(3))＝f(－2)＝－8＋1＝－7.

4．(人教A必修第一册习题3.1 T11改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________，值域是________，其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．

(注：图中f(x)的图象与直线x＝3无限靠近但无公共点)

答案：[－3，0]∪(1，3)　(0，＋∞)　(0，1)∪(4，＋∞)

解析：求f(x)的定义域可看f(x)的图象上所有点的横坐标的取值构成的集合，易知为[－3，0]∪(1，3)；求f(x)的值域可看f(x)的图象上所有点的纵坐标的取值构成的集合，易知为(0，＋∞)；作直线y＝m，可知当m∈(0，1)∪(4，＋∞)时，直线y＝m与f(x)的图象有唯一公共点，所以只有唯一的x值与之对应的y值的范围是(0，1)∪(4，＋∞)．

5．若f(＋1)＝x－1，则f(x)＝________．

答案：x2－2x，x≥1

解析：令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，t≥1，所以f(x)＝x2－2x，x≥1.

考向一　函数的定义域

角度1　求具体函数的定义域

(1)(2025·江苏南京江宁区模拟)函数f(x)＝log2(x＋3)＋(x＋2)0的定义域是(　　)

A．[－3，＋∞)

B．(－3，－2)∪(－2，＋∞)

C．(－3，＋∞)

D．[－3，2)∪(2，＋∞)

答案：B

解析：由题意，知解得x＞－3且x≠－2，故函数f(x)的定义域为(－3，－2)∪(－2，＋∞)．故选B.

(2)(2025·广东惠州模拟)若函数f(x)＝的定义域为[－2，＋∞)，则实数a＝________，实数b的取值范围是________．

答案：2　(－∞，－2)