第3章 第1讲 函数的概念及其表示-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第1讲　函数的概念及其表示 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用.4.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 1．函数的定义 前提 设A，B是两个非空的实数集 对应关系 对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 2.函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 3．函数的三要素：定义域、对应关系和值域． 4．同一个函数：如果两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 5．函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 6．分段函数 (1)定义：若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)定义域和值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． (3)注意点：分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 1．(多选)下列各图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是(　　) 答案：ACD 解析：对于A，多个x对应一个y，可以是函数；对于B，在y轴左侧或右侧，一个x对应多个y，不是函数；对于C，一个x对应一个y，可以是函数；对于D，为不连续的点函数． 2．(多选)(人教A必修第一册习题3.1 T2改编)下列四组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝x－1与y＝ B．y＝与y＝ C．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 D．y＝()3与y＝x 答案：CD 解析：对于A，y＝x－1与y＝＝|x－1|的对应关系不同，两函数不是同一个函数；对于B，y＝的定义域为[1，＋∞)，y＝的定义域为(1，＋∞)，定义域不同，两函数不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系都相同，是同一个函数；对于D，y＝()3＝x的定义域为R，y＝x的定义域为R，定义域、对应关系都相同，两函数是同一个函数．故选CD. 3．设函数f(x)＝则f(f(3))的值为________． 答案：－7 解析：根据题意，函数f(x)＝则f(3)＝1－3＝－2，f(f(3))＝f(－2)＝－8＋1＝－7. 4．(人教A必修第一册习题3.1 T11改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________，值域是________，其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________． (注：图中f(x)的图象与直线x＝3无限靠近但无公共点) 答案：[－3，0]∪(1，3)　(0，＋∞)　(0，1)∪(4，＋∞) 解析：求f(x)的定义域可看f(x)的图象上所有点的横坐标的取值构成的集合，易知为[－3，0]∪(1，3)；求f(x)的值域可看f(x)的图象上所有点的纵坐标的取值构成的集合，易知为(0，＋∞)；作直线y＝m，可知当m∈(0，1)∪(4，＋∞)时，直线y＝m与f(x)的图象有唯一公共点，所以只有唯一的x值与之对应的y值的范围是(0，1)∪(4，＋∞)． 5．若f(＋1)＝x－1，则f(x)＝________． 答案：x2－2x，x≥1 解析：令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，t≥1，所以f(x)＝x2－2x，x≥1. 考向一　函数的定义域 角度1　求具体函数的定义域 (1)(2025·江苏南京江宁区模拟)函数f(x)＝log2(x＋3)＋(x＋2)0的定义域是(　　) A．[－3，＋∞) B．(－3，－2)∪(－2，＋∞) C．(－3，＋∞) D．[－3，2)∪(2，＋∞) 答案：B 解析：由题意，知解得x＞－3且x≠－2，故函数f(x)的定义域为(－3，－2)∪(－2，＋∞)．故选B. (2)(2025·广东惠州模拟)若函数f(x)＝的定义域为[－2，＋∞)，则实数a＝________，实数b的取值范围是________． 答案：2　(－∞，－2) 解析：函数f(x)＝，故即函数f(x)＝的定义域为[－2，＋∞)，故a＝2，b<－2. 1．求具体函数的定义域的策略 根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式(组)，求解不等式(组)即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义． 2．使函数解析式有意义的常见限制条件 (1)分式型要满足f(x)≠0. (2)根式型(n∈N*)要满足f(x)≥0. (3)幂函数型[f(x)]0要满足f(x)≠0. (4)对数型logaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0. 　函数f(x)＝＋的定义域为________． 答案：[0，3) 解析：∵f(x)＝＋，∴解得0≤x<3，故函数f(x)的定义域为[0，3)． 角度2　求抽象函数的定义域 已知函数f(x)的定义域为(0，1)，f(x＋1)的定义域为M，f(2x)的定义域为N，则(　　) A．M＝N B．M∩N＝∅ C．M⊆N D．N⊆M 答案：B 解析：因为函数f(x)的定义域是(0，1)，所以由0＜x＋1＜1，得－1＜x＜0，所以f(x＋1)的定义域M＝{x|－1＜x＜0}，由0＜2x＜1，得0＜x＜，所以f(2x)的定义域N＝，所以M∩N＝∅.故选B. 　 　(2025·湖北武汉模拟)已知函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1)，则函数f(1－x)的定义域为________． 答案：(－2，2] 解析：根据函数f(2x＋1)的定义域为[－1，1)，由－1≤x<1，得－1≤2x＋1<3，所以f(x)的定义域为[－1，3)，由－1≤1－x<3，得－2<x≤2，所以f(1－x)的定义域为(－2，2]． 考向二　求函数的解析式 (1)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为________________． 答案：f(x)＝lg (x>1) 解析：令＋1＝t(t>1)，则x＝，所以f(t)＝lg (t>1)，所以f(x)＝lg (x>1)． (2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝______________． 答案：2x＋或－2x－8 解析：(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b，又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即解得或所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. (3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________． 答案：＋ 解析：(解方程组法)在f(x)＝2f·－1中，将x换成，则换成x，得f＝2f(x)·－1，由解得f(x)＝＋. 　求函数解析式的四种方法 　1.若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为______________． 答案：f(x)＝x2－x＋3 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3，所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2，所以解得故所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋3. 2．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)＝______________． 答案：－x＋ 解析：由已知，得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，解方程组得f(x)＝－x＋. 3．已知f＝x2＋，则f(x)＝________． 答案：x2－2(x≥2或x≤－2) 解析：f＝x2＋＝－2＝－2，所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)． 考向三　分段函数 角度1　分段函数求值问题 已知f(x)＝x2－1，g(x)＝则g(f(2))＝________，g(f(x))＝____________． 答案：2　 解析：由已知条件可得f(2)＝3，因此g(f(2))＝g(3)＝2.当x>1或x<－1时，f(x)>0，故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2；当－1<x<1时，f(x)<0，故g(f(x))＝2－f(x)＝3－x2，所以g(f(x))＝ 　分段函数求值的策略 (1)求分段函数的函数值时，要先确定所求值的自变量属于哪一个区间，然后代入该区间对应的解析式求值． (2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点． 　1.已知f(x)＝x2－1，g(x)＝则f(g(2))＝________，f(g(x))＝______________． 答案：0　 解析：由已知条件可得g(2)＝1，因此f(g(2))＝f(1)＝0.当x>0时，g(x)＝x－1，故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；当x<0时，g(x)＝2－x，故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3，所以f(g(x))＝ 2．(2025·湖南岳阳模拟)在自然数集N上定义的函数f(n)＝则f(90)的值是________． 答案：997 解析：因为f(n)＝所以f(90)＝f(90＋7)＝f(90＋2×7)＝…＝f(90＋130×7)＝f(1000)＝1000－3＝997. 角度2　分段函数与方程、不等式问题 (1)(2025·安徽安庆模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＝6，则a＝(　　) A．0 B．2 C．－3 D．2或3 答案：B 解析：当a≥0时，f(a)＝a2＋a＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去)；当a＜0时，f(a)＝5a＋6＝6，解得a＝0(舍去)．综上所述，a＝2. (2)(2025·江苏泰州第一次联考)设函数f(x)＝则满足f(x＋2)＜f(2x)的x的取值范围为________． 答案：(2，＋∞) 解析：当x≤－2时，f(x＋2)＝1，f(2x)＝1，则1＜1，矛盾；当－2＜x≤0时，f(x＋2)＝2x＋2，f(2x)＝1，则2x＋2＜1⇒x＜－2，矛盾；当x＞0时，f(x＋2)＝2x＋2，f(2x)＝22x，则2x＋2＜22x⇒x＋2＜2x⇒x＞2，符合题意．综上，x的取值范围为(2，＋∞)． 　解决分段函数与方程、不等式问题的基本策略 (1)分类讨论：根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围． (2)数形结合：解决分段函数问题时，通过画出函数的图象，对代数问题进行转化，结合图象直观地分析判断，可以快速准确地解决问题． 　1.设函数f(x)＝若f(a)＞a，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，－1) 解析：当a≥0时，f(a)＝a－1，由f(a)＞a，解得a＜－2，矛盾；当a＜0时，f(a)＝，由f(a)＞a，解得a＜－1.综上，实数a的取值范围为(－∞，－1)． 2．函数f(x)＝则f＝________；方程f(－x)＝的解是________． 答案：－2　－或1 解析：由解析式知，f＝log2＝－2.因为f(－x)＝，所以当－x≤0，即x≥0时，2－x＝，得x＝1，符合题意；当－x>0，即x<0时，log2(－x)＝，得x＝－，符合题意．所以f(－x)＝的解是－或1. 课时作业 一、单项选择题 1．如图所示，对应关系f是从A到B的函数的是(　　) 答案：D 解析：从A到B的函数为对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应．对于A，A中的元素4与9在B中各有两个元素和它对应，故A不符合题意；对于B，C，A中的元素0在B中没有元素和它对应，故B，C不符合题意．故选D. 2．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为B，则A∩B＝(　　) A．(1，4) B．(1，4] C．[－4，1) D．(－4，1) 答案：C 解析：因为函数y＝的定义域为{x|16－x2≥0}，即A＝{x|－4≤x≤4}，函数y＝ln (1－x)的定义域为{x|1－x>0}，即B＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|－4≤x<1}．故选C. 3．若函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，则y＝f(x)－f(－x)的定义域为(　　) A．[－2，2] B．[－2，4] C．[－4，4] D．[－8，8] 答案：C 解析：因为函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，可得－4≤2x≤8，所以函数y＝f(x)的定义域为[－4，8]，对于函数y＝f(x)－f(－x)，则有解得－4≤x≤4，因此函数y＝f(x)－f(－x)的定义域为[－4，4]．故选C. 4．已知函数f(x2＋1)＝x4，则函数y＝f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝(x－1)2，x≥0 B．f(x)＝(x－1)2，x≥1 C．f(x)＝(x＋1)2，x≥0 D．f(x)＝(x＋1)2，x≥1 答案：B 解析：因为f(x2＋1)＝x4＝(x2＋1)2－2(x2＋1)＋1，且x2＋1≥1，所以f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，x≥1.故选B. 5．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x 答案：B 解析：二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，可设二次函数g(x)的解析式为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得解得所以二次函数g(x)的解析式为g(x)＝3x2－2x.故选B. 6．已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝(　　) A．2 B. C．1 D．0 答案：B 解析：作出函数f(x)的图象，如图所示．因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2，所以即－2<a≤3，此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝，所以a＝，即a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1(不满足a＝，舍去)，所以f(a)＝. 7．(2025·广东八校联考)已知函数f(x)满足f＝f(x)－f(y)，f＝－1，则下列结论中正确的是(　　) A．f＝－2 B．f(2)＝0 C．f(4)＝1 D．f(8)＝2 答案：A 解析：令y＝1，得f(1)＝0；令x＝1，y＝2，得f＝f(1)－f(2)＝－1，所以f(2)＝1；令x＝2，y＝4，得f＝f(2)－f(4)＝－1，所以f(4)＝2；令x＝4，y＝8，得f＝f(4)－f(8)＝－1，所以f(8)＝3；令x＝1，y＝4，得f＝f(1)－f(4)＝－2.故选A. 8．(2025·宝鸡实验高级中学质检)取整函数[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[3.9]＝3，[－1.5]＝－2，下列关于“取整函数”的命题中，为真命题的是(　　) A．∀x∈R，[2x]＝2[x] B．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则x－y≥1 C．∃x∈R，[2x]＝2[x] D．∀x，y∈R，[x＋y]≤[x]＋[y] 答案：C 解析：当x＝1.5时，[2x]＝[3]＝3，但2[x]＝2[1.5]＝2×1＝2，故A为假命题；设[x]＝[y]＝k∈Z，则k≤x<k＋1，k≤y<k＋1，∴x－y<1，故B为假命题；当x＝2时，[2x]＝[4]＝4＝2[2]＝2[x]，故C为真命题；当x＝0.5，y＝0.6时，有[x]＋[y]＝0，但[x＋y]＝[1.1]＝1>[x]＋[y]，故D为假命题． 二、多项选择题 9．下列说法中正确的是(　　) A．式子y＝＋可表示自变量为x，因变量为y的函数 B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个 C．若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝1 D．y＝·与y＝是同一个函数 答案：BCD 解析：对于A，由y＝＋，得解集为∅，不能表示自变量为x，因变量为y的函数，故A错误；对于B，当函数y＝f(x)在x＝1处无定义时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1无交点，当函数y＝f(x)在x＝1处有定义时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1只有1个交点，所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个，故B正确；对于C，因为f(x)＝|x－1|－|x|，所以f＝0，所以f＝f(0)＝1，故C正确；对于D，因为y＝·与y＝的定义域都为[－1，1]，且·＝，所以是同一个函数，故D正确．故选BCD. 10．下列函数中，满足f(18x)＝18f(x)的是(　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x 答案：ABD 解析：若f(x)＝|x|，则f(18x)＝|18x|＝18|x|＝18f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(18x)＝18x－|18x|＝18(x－|x|)＝18f(x)；若f(x)＝x＋2，则f(18x)＝18x＋2，而18f(x)＝18x＋18×2，故f(x)＝x＋2不满足f(18x)＝18f(x)；若f(x)＝－2x，则f(18x)＝－2×18x＝18×(－2x)＝18f(x)．故选ABD. 11．具有性质f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数满足“倒负”变换的是(　　) A．y＝x－ B．y＝x＋ C．y＝ D．y＝－x3＋ 答案：ACD 解析：对于A，f＝－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于B，f＝＋x≠－f(x)，不满足“倒负”变换；对于C，f＝＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于D，f＝－＋x3＝－f(x)，满足“倒负”变换．故选ACD. 三、填空题 12．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出： x 1 2 3 f(x) 2 3 1 　 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________． 答案：1　2 解析：∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.当x＝1时，f(g(1))＝1，g(f(1))＝g(2)＝2，不满足f(g(x))>g(f(x))；当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，满足f(g(x))>g(f(x))；当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝2，g(f(3))＝g(1)＝3，不满足f(g(x))>g(f(x))，∴满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是2. 13．已知函数f(x)＝则不等式f(x)<f(x＋1)的解集为________． 答案： 解析：当x≤0时，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)等价于x2－1<(x＋1)2－1，解得－<x≤0；当0<x≤1时，x＋1>1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，∴当0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)；当x>1时，x＋1>2，f(x)<f(x＋1)等价于log2x<log2(x＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f(x)<f(x＋1)的解集为. 14．已知函数f(x)满足f＋2f＝3x，则f(－2)＝________． 答案：－ 解析：由题意可得解得令2＋＝－2，可得x＝－，则f(－2)＝3×＝－. 四、解答题 15．已知函数f(x)＝ (1)求f(f(－1))； (2)若f(a)＝3，求a的值； (3)若函数f(x)的图象与直线y＝m有三个交点，请画出函数f(x)的图象并写出实数m的取值范围(不需要证明)． 解：(1)f(f(－1))＝f(3)＝3. (2)当a>0时，f(a)＝3⇒a＝3； 当a≤0时，f(a)＝3⇒－a(a＋4)＝3⇒a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3， 所以a＝－3，－1或3. (3)函数图象如图所示． 由图可知，函数f(x)的图象与直线y＝m有三个交点，只需0<m<4，故实数m的取值范围为(0，4)． 16．已知函数f(x)＝. (1)求f(2)与f，f(3)与f； (2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f有什么关系？证明你的发现； (3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2025)＋f的值． 解：(1)∵f(x)＝＝1－， ∴f(2)＝1－＝，f＝1－＝. f(3)＝1－＝，f＝1－＝. (2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f＝1. 证明如下： f(x)＋f＝＋＝＋＝1. (3)由(2)知f(x)＋f＝1， ∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1， f(4)＋f＝1，…，f(2025)＋f＝1. ∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2025)＋f＝2024. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$