第2章 素能培优（一） 基本不等式的综合应用-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

基本不等式是高考的高频考点，通常与基本初等函数、解三角形、立体几何、解析几何等知识综合考查，出现在选填题或解答题的解题过程中.2022年新高考Ⅰ卷出现在第18题，考查了用正弦定理边角互化与基本不等式的综合，难度中等；2021年新高考Ⅰ卷出现在第5题，考查了椭圆的定义与基本不等式的综合，较容易． 　　考向一　基本不等式与向量、解三角形、数列的综合 (1)在△ABC中，E为AC上一点，＝3，P为BE上任一点，若＝m＋n(m>0，n>0)，则＋的最小值是(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 答案：D 解析：由题意可知＝m＋n＝m＋3n，因为P，B，E三点共线，则m＋3n＝1，所以＋＝(m＋3n)＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当m＝，n＝时，等号成立．所以＋的最小值是12. (2)(2024·广东肇庆一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则角C的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：∵a2＋b2≥2ab，a2＋b2＝2c2，∴由余弦定理，得cosC＝≥＝＝，∵C为三角形的内角，∴角C的最大值为.故选C. 　基本不等式与向量、解三角形、数列综合考查时，通常涉及以下知识点：向量共线、垂直的坐标表示；三点共线的充要条件：P，Q，M三点共线⇔＝m＋n(m＋n＝1)；正、余弦定理；数列的通项公式与前n项和等． 　1.已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Tn，若不等式nlog2(Tn＋4)－λ(n＋1)＋2≥3n对一切正整数n恒成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[3，4] B．(－∞，2] C．[2，3] D．(－∞，1] 答案：D 解析：因为an＝2n＋1，所以Tn＝＝2n＋2－4.不等式nlog2(Tn＋4)－λ(n＋1)＋2≥3n化为n2－n＋2≥λ(n＋1)，所以λ≤对一切正整数n恒成立，因为＝＝(n＋1)＋－3≥2－3＝1，当且仅当n＋1＝，即n＝1时，等号成立，所以λ≤1.故选D. 2．在△ABC中，若C＝，则sinAsinB的最大值是________． 答案： 解析：在△ABC中，C＝，则sinA>0，sinB>0，由基本不等式得sinAsinB≤，∵A＋B＝，∴sinB＝cosA，∴sinAsinB≤ ＝＝，当且仅当sinA＝sinB＝时，等号成立，则sinAsinB的最大值是. 考向二　基本不等式与立体几何的综合 在三棱锥A－BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD.若AB＝3，BD＝1，则三棱锥A－BCD体积的最大值为(　　) A．2 B. C．1 D. 答案：D 解析：如图，因为AC⊥平面BCD，BD，CD⊂平面BCD，所以AC⊥BD，AC⊥CD.又BD⊥CD，AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD，所以BD⊥平面ACD.因为AD⊂平面ACD，所以BD⊥AD.在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，所以AC2＋CD2＝AD2＝8，所以S△ACD＝AC·CD＝·2AC·CD≤(AC2＋CD2)＝2，当且仅当AC＝CD＝2时，等号成立．所以VA－BCD＝S△ACD·BD≤.故选D. 　基本不等式与立体几何综合考查时，通常围绕空间几何体表面积和体积的计算公式出题． 　已知某长方体的上底面周长为16，与该长方体等体积的一个圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该长方体高的取值范围是(　　) A．(0，π] B．(0，4π] C．[π，＋∞) D．[4π，＋∞) 答案：C 解析：不妨设该长方体底面的长和宽分别为a，b，高为h，则a＋b＝8，轴截面是面积为16的正方形的圆柱，其底面圆的半径为2，高为4，体积为4×22π＝16π＝abh，则h＝，又因为0<ab≤＝16，所以≥，故h≥16π×＝π.故选C. 考向三　基本不等式与解析几何的综合 若直线l：y＝kx＋m与椭圆C：＋＝1有两个不同的交点A，B，且m2＝4(k2＋1)，则弦AB长度的最大值为________． 答案：4 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)·(4m2－16)＝16(16k2＋4－m2)，又m2＝4(k2＋1)，所以Δ＝16(16k2＋4－4k2－4)＝192k2>0，可知k≠0，于是|AB|＝|x1－x2|＝·＝≤＝4，当且仅当k＝±时，等号成立，所以弦AB长度的最大值为4. 　基本不等式与解析几何综合考查时，通常涉及直线平行、垂直的判断方法；直线与圆锥曲线相切；椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合中有关弦长、夹角或图形面积最值的问题． 　1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．6 答案：C 解析：由椭圆的定义可知，|MF1|＋|MF2|＝2a＝6.由基本不等式可得|MF1|·|MF2|≤＝＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立．故选C. 2．(2025·河北衡水模拟)若直线l：ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为________． 答案：＋ 解析：直线l：ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，即圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上，可得－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，所以＋＝(a＋2b)＝＋≥＋＝＋，当且仅当＝，即a＝2－2，b＝2－时，等号成立，所以＋的最小值为＋. 3 学科网（北京）股份有限公司 $$