第2章 素能培优（一） 基本不等式的综合应用-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

基本不等式是高考的高频考点，通常与基本初等函数、解三角形、立体几何、解析几何等知识综合考查，出现在选填题或解答题的解题过程中.2022年新高考Ⅰ卷出现在第18题，考查了用正弦定理边角互化与基本不等式的综合，难度中等；2021年新高考Ⅰ卷出现在第5题，考查了椭圆的定义与基本不等式的综合，较容易．

　　考向一　基本不等式与向量、解三角形、数列的综合

(1)在△ABC中，E为AC上一点，＝3，P为BE上任一点，若＝m＋n(m>0，n>0)，则＋的最小值是(　　)

A．9   B．10 

C．11   D．12

答案：D

解析：由题意可知＝m＋n＝m＋3n，因为P，B，E三点共线，则m＋3n＝1，所以＋＝(m＋3n)＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当m＝，n＝时，等号成立．所以＋的最小值是12.

(2)(2024·广东肇庆一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则角C的最大值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案：C

解析：∵a2＋b2≥2ab，a2＋b2＝2c2，∴由余弦定理，得cosC＝≥＝＝，∵C为三角形的内角，∴角C的最大值为.故选C.

　基本不等式与向量、解三角形、数列综合考查时，通常涉及以下知识点：向量共线、垂直的坐标表示；三点共线的充要条件：P，Q，M三点共线⇔＝m＋n(m＋

n＝1)；正、余弦定理；数列的通项公式与前n项和等．

　1.已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Tn，若不等式nlog2(Tn＋4)－λ(n＋1)＋2≥3n对一切正整数n恒成立，则实数λ的取值范围为(　　)

A．[3，4]   B．(－∞，2]

C．[2，3]   D．(－∞，1]

答案：D

解析：因为an＝2n＋1，所以Tn＝＝2n＋2－4.不等式nlog2(Tn＋4)－λ(n＋1)＋2≥3n化为n2－n＋2≥λ(n＋1)，所以λ≤对一切正整数n恒成立，因为＝＝(n＋1)＋－3≥2－3＝1，当且仅当n＋1＝，即n＝1时，等号成立，所以λ≤1.故选D.

2．在△ABC中，若C＝，则sinAsinB的最大值是________．

答案：

解析：在△ABC中，C＝，则sinA>0，sinB>0，由基本不等式得sinAsinB≤，∵A＋B＝，∴sinB＝cosA，∴sinAsinB≤

＝＝，当且仅当sinA＝sinB＝时，等号成立，则sinAsinB的最大值是.

考向二　基本不等式与立体几何的综合

在三棱锥A－BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD.若AB＝3，BD＝1，则三棱锥A－BCD体积的最大值为(　　)

A．2   B.   

C．1   D.

答案：D

解析：如图，因为AC⊥平面BCD，BD，CD⊂平面BCD，所以AC⊥BD，AC⊥CD.又