第2章 第3讲 一元二次不等式的解法-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第3讲　一元二次不等式的解法 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.了解一元二次不等式的现实意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 1．三个“二次”之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2.分式不等式与整式不等式的关系 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)． (2)≥0(≤0)⇔． 　一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)． (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)． 1．不等式4x2＋4x＋1≤0的解集为(　　) A．∅ B．R C. D. 答案：D 解析：因为4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2，所以4x2＋4x＋1≤0的解集为. 2．(人教A必修第一册习题2.3 T3改编)已知集合A＝，B＝{x|x2－3x<0}，则A∪B＝(　　) A．{x|x≤2，或x≥3} B．{x|－2<x<3} C．{x|0<x≤2} D．{x|x≤－2，或x≥3} 答案：B 解析：≤0，则(x－2)(x＋2)≤0，且x＋2≠0，解得－2<x≤2，则A＝{x|－2<x≤2}，B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0<x<3}，则A∪B＝{x|－2<x<3}．故选B. 3．若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)>0的解集为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为0<t<1，所以t<，所以(t－x)>0⇔(x－t)<0，解得t<x<.故选D. 4．(人教B必修第一册习题2－2B T7改编)不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________． 答案：－14 解析：由题意知－，是ax2＋bx＋2＝0的两根，则解得所以a＋b＝－14. 5．不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________． 答案：[0，4) 解析：当m＝0时，显然成立；当m≠0时，由已知得解得0<m<4.综上，实数m的取值范围是[0，4)． 考向一　一元二次不等式的解法 角度1　不含参数的一元二次不等式 解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2； (3)9x2－6x＋1>0；(4)x2<6x－10. 解：(1)∵Δ＝49>0， ∴方程2x2＋5x－3＝0有两个实数根， 解得x1＝－3，x2＝， 画出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为. 　 (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0. ∵Δ＝12>0， ∴方程3x2－6x＋2＝0有两个实数根，解得x1＝，x2＝，画出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为. (3)∵Δ＝0，∴方程9x2－6x＋1＝0有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝，画出函数y＝9x2－6x＋1的图象如图③所示．由图可得原不等式的解集为. 　 (4)原不等式等价于x2－6x＋10<0，∵Δ＝－4<0，∴方程x2－6x＋10＝0无实数根，画出函数y＝x2－6x＋10的图象如图④所示，由图象可得原不等式的解集为∅. 　解一元二次不等式的一般方法和步骤 　解下列不等式： (1)－x2＋2x－>0； (2)－1<x2＋2x－1≤2. 解：(1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2<0， 因为3>0，且方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－，x2＝1＋， 所以原不等式的解集是. (2)原不等式等价于 即 由①得x(x＋2)>0，所以x<－2或x>0； 由②得(x＋3)(x－1)≤0，所以－3≤x≤1. 画出数轴，如图， 可得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2，或0<x≤1}． 角度2　含参数的一元二次不等式 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)． 解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0， 即(ax－2)(x＋1)≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0， 解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0， 解得x≥或x≤－1. ③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0. 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时， 解得x＝－1满足题意； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，原不等式的解集为； 当－2<a<0时，原不等式的解集为； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，原不等式的解集为. 　解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法 (1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 　解关于x的不等式：x2－(a2＋a)x＋a3>0. 解：原不等式化为(x－a)(x－a2)>0. ①当a2－a>0，即a>1或a<0时， 解不等式，得x>a2或x<a； ②当a2－a<0，即0<a<1时， 解不等式，得x<a2或x>a； ③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时， 解不等式，得x≠a. 综上，当a>1或a<0时，原不等式的解集为{x|x>a2，或x<a}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2，或x>a}； 当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠a}． 角度3　可化为一元二次不等式的分式不等式 解关于x的不等式<1(a>0)． 解：<1⇔<0 ⇔[(a－1)x＋1](x－1)<0. ①当a＝1时，容易解得x<1； ②当a>1时，原不等式可化为(x－1)<0， 解得<x<1； ③当0<a<1时，－1＝>0， 所以>1， 原不等式可化为(x－1)>0， 解得x<1或x>. 综上，当0<a<1时，原不等式的解集为； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x<1}； 当a>1时，原不等式的解集为. 　分式不等式的求解策略 (1)分式不等式的求解思路是把分式不等式转化为整式不等式，对于形如>m的分式不等式，一般应遵循“移项—通分—化乘积”的原则进行求解． (2)解不等式>m时，不要直接在不等式两边同乘以分母g(x)，以达到去分母化为整式不等式f(x)>mg(x)的形式进行求解，因为g(x)的符号不确定，这种变形是不等价的． 　(2025·陕西商洛模拟)不等式≥2的解集是________． 答案：∪(2，3] 解析：原不等式可化为＝≥0，有(－2x＋3)(x－3)≥0且x－2≠0，解得≤x≤3且x≠2，故原不等式的解集为∪(2，3]． 考向二　三个“二次”之间的关系 (1)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列说法中正确的是(　　) A．a＞0 B．不等式bx＋c＞0的解集是{x|x＜－6} C．a＋b＋c＞0 D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集为∪ 答案：ABD 解析：∵关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a＞0，A正确；易知－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a＜0，C错误；不等式bx＋c＞0即为－ax－6a＞0，解得x＜－6，B正确；不等式cx2－bx＋a＜0即为－6ax2＋ax＋a＜0，即6x2－x－1＞0，解得x＜－或x＞，D正确． (2)已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，且x2－x1＝10，则a＝________． 答案：－16 解析：因为关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的两个根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝a－8，所以x2－x1＝＝2＝10，解得a＝－16. 　(1)一元二次方程的根就是对应一元二次函数的零点，也是对应一元二次不等式解集的端点值． (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了对应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用根或根与系数的关系求待定系数． 　 (2025·山西临汾模拟)已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－cx＋3≤0的解集为________． 答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解析：根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则bx2－cx＋3≤0，即－x2＋2x＋3≤0，即x2－2x－3≥0，也即(x－3)(x＋1)≥0，解得x≥3或x≤－1.故原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 考向三　一元二次不等式恒(能)成立问题 角度1　在R上的恒成立问题 已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　) A．[0，1] B．(0，1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 答案：A 解析：当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，其恒成立；当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0<k≤1.综上，k的取值范围是[0，1]． 　一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 　若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，－2) C．(－2，2) D．(－2，2] 答案：D 解析：当a＝2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0可化为－4<0，恒成立；当a≠2时，要使关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，只需解得－2<a<2.综上，实数a的取值范围是(－2，2]．故选D. 角度2　在给定区间上的恒成立问题 (1)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A．[－1，3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案：D 解析：不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，则 解得x<－1或x>3. (2)若对于x∈[1，3]，mx2－mx＋m－6<0(m≠0)恒成立，则m的取值范围是________． 答案： 解析：由已知得，m＋m－6＜0(m≠0)在x∈[1，3]上恒成立． 解法一：令g(x)＝m＋m－6(m≠0)，x∈[1，3]．当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，所以m＜，则0＜m＜.当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0.综上所述，m的取值范围是. 解法二：因为x2－x＋1＝＋＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可．因为m≠0，所以m的取值范围是. 　在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． (2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. (3)对于以下两种题型，可以利用二次函数在端点m，n处的取值特点确定不等式求范围． ①ax2＋bx＋c<0(a>0)对x∈[m，n]恒成立； ②ax2＋bx＋c>0(a<0)对x∈[m，n]恒成立． 提醒：一般地，知道谁的范围，就选谁当主元；求谁的范围，谁就是参数．如本例(1)中建立关于p的函数，x为参数，本例(2)中建立关于x的函数，m为参数． 　1.(2025·湖北武汉模拟)若命题“∃a∈[1，3]，ax2＋(a－2)x－2>0”是假命题，则x不可能等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D. 答案：C 解析：根据题意，知原命题的否定“∀a∈[1，3]，ax2＋(a－2)x－2≤0”为真命题．令f(a)＝(x2＋x)a－2x－2，解得－1≤x≤.故选C. 2．已知函数f(x)＝x2－4x－4.若f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，则实数m的取值范围是________． 答案： 解析：∵f(x)＝x2－4x－4且f(x)<1，即x2－4x－5<0，解得－1<x<5，即x∈(－1，5)．∵f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，∴(m－1，－2m)⊆(－1，5)，∴解得0≤m<，即实数m的取值范围是. 角度3　不等式能成立或有解问题 已知关于x的不等式ax2－2x＋3a<0在(0，2]上有解，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：解法一：当x∈(0，2]时，不等式可化为ax＋<2.当a＝0时，不等式为0<2，满足题意；当a>0时，不等式化为x＋<，要使x＋<有解，只需>即可，因为x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，所以>2，a<，故0<a<；当a<0时，x＋>恒成立．综上所述，实数a的取值范围是.故选A. 解法二：设g(x)＝ax2－2x＋3a，x∈(0，2]．当a＝0时，g(x)＝－2x<0，满足题意；当a<0时，函数y＝g(x)图象的对称轴为直线x＝，又<0，所以g(x)在(0，2]上为减函数，又g(0)＝3a<0，所以g(x)<0，满足题意；当a>0时，应满足或即可，解得<a<或0<a≤.综上可得，实数a的取值范围为.故选A. 　解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数最值，即a>f(x)能成立⇒a>f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max. 　若存在x∈[0，1]，使x2＋(1－a)x＋3－a>0成立，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，3) 解析：将原不等式参数分离可得a<，设f(x)＝，已知存在x∈[0，1]，使x2＋(1－a)x＋3－a>0成立，则a<f(x)max，令t＝x＋1，则g(t)＝＝＝t＋－1，t∈[1，2]，由对勾函数知g(t)在[1，)上单调递减，在(，2]上单调递增，g(1)＝1＋－1＝3，g(2)＝2＋－1＝，所以f(x)max＝3，即a<3. 课时作业 一、单项选择题 1．下列不等式中解集为R的是(　　) A．－x2＋2x＋1≥0 B．x2－2x＋>0 C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<0 答案：C 解析：在C中，对于方程x2＋6x＋10＝0，因为Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式x2＋6x＋10>0的解集为R. 2．已知集合A＝，B＝，则A∪B＝(　　) A. B．(－∞，6]∪ C．(－∞，6)∪ D. 答案：B 解析：因为A＝＝，B＝＝，所以A∪B＝(－∞，6]∪.故选B. 3．(2025·福建泉州模拟)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n，或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m，或x>n} D．{x|－m<x<n} 答案：B 解析：不等式(m－x)(n＋x)>0可化为(x－m)·(x＋n)<0，因为m＋n>0，所以m>－n，所以原不等式的解集为{x|－n<x<m}．故选B. 4．(2025·甘肃张掖模拟)不等式<2－2x的解集是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：当x2－3x≥0，即x≥3或x≤0时，不等式|x2－3x|<2－2x等价于x2－3x<2－2x，即x2－x－2<0，解得－1<x<2，所以－1<x≤0；当x2－3x<0，即0<x<3时，不等式|x2－3x|<2－2x等价于3x－x2<2－2x，即x2－5x＋2>0，解得x>或x<，所以0<x<.综上，不等式|x2－3x|<2－2x的解集是.故选C. 5．(2024·广东佛山模拟)已知a，b，c∈R且a≠0，则“ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x≠1}”是“a＋b＋c＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由题意，二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x≠1}，则即a＝c>0，b＝－2a，即a＋b＋c＝0；当a＋b＋c＝0时，不能推出a＝c>0，b＝－2a，所以“ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x≠1}”是“a＋b＋c＝0”的充分不必要条件．故选A. 6．(2025·安徽芜湖模拟)已知关于x的不等式(m2－4)x2－(m－2)x＋>0对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．[2，6] B．[2，6)∪{－2} C．{2} D．[2，6) 答案：D 解析：若m2－4＝0，则m＝±2，若m＝2，原不等式可化为>0，恒成立，若m＝－2，无意义，舍去；当m2－4≠0时，要使得原不等式恒成立，只需解得2<m<6.综上，实数m的取值范围是[2，6)．故选D. 7．(2024·广西南宁一模)若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，5) B．(5，＋∞) C．(－4，＋∞) D．(－∞，4) 答案：A 解析：设f(x)＝x2－4x－a，则f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，只要f(5)＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以实数a的取值范围为(－∞，5)． 8．对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0”，给出如下一种解法： 解：由ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c＞0的解集为(－2，1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(－2，1)． 参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式＋＜0的解集为(　　) A．(－2，－1)∪(1，3) B．(－3，－1)∪(1，2) C．(－3，－2)∪(－1，1) D.∪ 答案：B 解析：若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式＋<0可看成前者不等式中的x用代替所得，则∈∪，则x∈(－3，－1)∪(1，2)．故选B. 二、多项选择题 9．已知关于x的一元二次不等式ax2－(2a－1)x－2>0，其中a<0，则该不等式的解集可能是(　　) A．∅ B. C.∪(2，＋∞) D. 答案：ABD 解析：不等式变形为(x－2)(ax＋1)>0，又a<0，所以(x－2)·<0.当a＝－时，该不等式的解集为∅；当a<－时，该不等式的解集为；当－<a<0时，该不等式的解集为.故选ABD. 10．(2025·广东深圳模拟)下列说法正确的是(　　) A．不等式4x2－5x＋1>0的解集是 B．不等式2x2－x－6≤0的解集是 C．若关于x的不等式ax2＋8ax＋21<0在R上恒成立，则a的取值范围是∅ D．若关于x的不等式2x2＋px－3<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－ 答案：CD 解析：对于A，4x2－5x＋1>0⇔(x－1)(4x－1)>0⇔x<或x>1，故A错误；对于B，2x2－x－6≤0⇔(x－2)(2x＋3)≤0⇔－≤x≤2，故B错误；对于C，若关于x的不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立，当a＝0时，21<0是不可能成立的，所以只能该不等式组无解，故C正确；对于D，由题意得q，1是一元二次方程2x2＋px－3＝0的两根，从而解得所以p＋q的值为－，故D正确．故选CD. 11．(2025·福建福州模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c－1<0的解集为{x|α<x<β}，且β－α<1，若x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个不等实根，则下列关系式正确的是(　　) A．a<0 B．β－x1＝x2－α C．|x1－x2|<1 D．|β2－x|>|α2－x| 答案：BC 解析：由题意得a>0，A错误；因为将二次函数y＝ax2＋bx＋c－1的图象上的所有点向上平移1个单位长度，得到二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，所以α＋β＝x1＋x2＝－，即β－x1＝x2－α，B正确；如图，因为0<β－α<1，所以|x1－x2|<|β－α|<1，C正确；当α<β<0，x1<x2<0时，|β－x2|＝|α－x1|，|β＋x2|<|α＋x1|，所以|β2－x|＝|(β－x2)·(β＋x2)|<|(α－x1)(α＋x1)|＝|α2－x|，D错误．故选BC. 三、填空题 12．不等式2x2－3|x|－35>0的解集为________． 答案：{x|x<－5，或x>5} 解析：2x2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)·(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－(舍去)⇔x<－5或x>5. 13．(2025·四川绵阳模拟)若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是________． 答案：[－3，－2)∪(6，7] 解析：不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0，即(x－2)(x－m)＜0，当m＞2时，不等式的解集为(2，m)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7；当m＝2时，不等式的解集为∅，此时不符合题意；当m＜2时，不等式的解集为(m，2)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2，故实数m的取值范围是[－3，－2)∪(6，7]． 14．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为 L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，则k＝________，欲使每小时的油耗不超过9 L，则x的取值范围为________． 答案：100　[60，100] 解析：记每小时的油耗为y，则根据题意，得y＝，则当x＝120时，y＝＝11.5，解得k＝100，所以y＝，当y≤9时，即≤9，解得45≤x≤100，又因为60≤x≤120，所以x的取值范围为[60，100]． 四、解答题 15．某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋x(x≥8)层，每层2800平方米的楼房，经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为565＋70x(单位：元)． (1)若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，则该楼房最多建多少层？ (2)当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少？最少为多少元？ 注：综合费用＝建筑费用＋购地费用． 解：(1)设该楼房每平方米的平均综合费用为y元， 则y＝＋565＋70x＝＋70x＋565. 因为＋70x＋565≤2000，结合x≥8，得2x2－41x＋200≤0，即(2x－25)(x－8)≤0，解得8≤x≤12.5. 因为x∈Z，所以该楼房最多建12层． (2)由(1)可知，该楼房每平方米的平均综合费用y＝＋70x＋565， 因为＋70x≥2×700＝1400，当且仅当＝70x，即x＝10时，等号成立，所以当该楼房建10层时，每平方米的平均综合费用最少，为1400＋565＝1965元． 16．(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)＝ax2＋x＋2－4a(a≠0)，且对任意的x∈R，f(x)≥2x恒成立． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若对任意的x∈[－1，1]，不等式f(x＋t)<f恒成立，求实数t的取值范围． 解：(1)由题意，得ax2－x＋2－4a≥0(a≠0)对任意x∈R恒成立， 所以即 解得a＝，所以f(x)＝x2＋x＋1. (2)由f(x＋t)<f，得(x＋t)2＋(x＋t)＋1<×＋＋1，即3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t<0， 所以对任意的x∈[－1，1]，不等式3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t<0恒成立． 令m(x)＝3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t，x∈[－1，1]， 则 解得－<t<－， 所以实数t的取值范围为. 5 学科网（北京）股份有限公司 $$