第2章 第3讲 一元二次不等式的解法-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第3讲　一元二次不等式的解法

1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.了解一元二次不等式的现实意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．

1．三个“二次”之间的关系

2.分式不等式与整式不等式的关系

(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．

(2)≥0(≤0)⇔．

　一元二次不等式恒成立的条件

(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．

(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．

1．不等式4x2＋4x＋1≤0的解集为(　　)

A．∅   B．R

C.   D.

答案：D

解析：因为4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2，所以4x2＋4x＋1≤0的解集为.

2．(人教A必修第一册习题2.3 T3改编)已知集合A＝，B＝{x|x2－3x<0}，则A∪B＝(　　)

A．{x|x≤2，或x≥3}

B．{x|－2<x<3}

C．{x|0<x≤2}

D．{x|x≤－2，或x≥3}

答案：B

解析：≤0，则(x－2)(x＋2)≤0，且x＋2≠0，解得－2<x≤2，则A＝{x|－2<x≤2}，B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0<x<3}，则A∪B＝{x|－2<x<3}．故选B.

3．若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)>0的解集为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案：D

解析：因为0<t<1，所以t<，所以(t－x)>0⇔(x－t)<0，解得t<x<.故选D.

4．(人教B必修第一册习题2－2B T7改编)不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________．

答案：－14

解析：由题意知－，是ax2＋bx＋2＝0的两根，则解得所以a＋b＝－14.

5．不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________．

答案：[0，4)

解析：当m＝0时，显然成立；当m≠0时，由已知得解得0<m<4.综上，实数m的取值范围是[0，4)．

 

考向一　一元二次不等式的解法

角度1　不含参数的一元二次不等式

解下列不等式：

(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；

(3)9x2－6x＋1>0；(4)x2<6x－10.

解：(1)∵Δ＝49>0，

∴方程2x2＋5x－3＝0有两个实数根，

解得x1＝－3，x2＝，

画出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．

由图可得原不等式的解集为.

　

(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.

 

∵Δ＝12>0，

∴方程3x2－6x＋2＝0有两个实数根，解得x1＝，x2＝，画出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为.

(3)∵Δ＝0，∴方程9x2－6x＋1＝0有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝，画出函数y＝9x2－6x＋1的图象如图③所示．由图可得原不等式的解集为.