第2章 第2讲 基本不等式-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第2讲　基本不等式

1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0).2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值问题．

1．基本不等式≤

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立．

(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．

2．利用基本不等式求最大、最小值问题

(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，

那么当x＝y时，x＋y有最小值2．(简记：“积定和最小”)

(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，

那么当x＝y时，xy有最大值．(简记：“和定积最大”)

1．常用的几个重要不等式

(1)a＋b≥2(a>0，b>0)．

(2)ab≤(a，b∈R)．

(3)≤(a，b∈R)．

(4)＋≥2(a，b同号)．

(5)≤(a>0，b>0)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

2．轮换对称不等式

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3．三元基本不等式

≤，其中a>0，b>0，c>0，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

1．(2024·海口调研)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　)

A．9   B．18 

C．36   D．81

答案：A

解析：因为x>0，y>0，且x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立，故的最大值为9.

2．下列命题正确的是(　　)

A．若a，b∈R，则＋≥2＝2

B．若x>0，则x＋>2

C．若x∈R，则|sinx|＋的最小值为4

D．若x∈R，则2x2＋的最小值为2

答案：D

解析：A项必须保证a，b同号；B项应含有等号，即若x>0，则x＋≥2；C项，因为0<|sinx|≤1，y＝|sinx|＋≥2＝4，当且仅当|sinx|＝2时，等号成立，又|sinx|≠2，所以其最小值不为4.故选D.

3．(人教A必修第一册习题2.2 T1改编)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取得最小值，则a＝(　　)

A．1＋   B．1＋

C．3   D．4

答案：C

解析：因为x>2，所以f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当

x－2＝，即x＝3时，等号成立．故a＝3.

4．(人教A必修第一册习题2.2 T5改编)设x>0，则3－3x－的最大值是(　　)

A．3   B．3－2

C．－1   D．3－2

答案：D

解析：因为x>0，所以y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．故选D.

5．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．

答案：2

解析：∵xy＝1，∴x2＋2y2≥2＝2·＝2，当且仅当x2＝2y2，且xy＝1时，等号成立．

考向一　利用基本不等式求最值

角度1　利用配凑法求最值

(1)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为(　　)

A.   B. 

C．2   D．2

答案：D

解析：因为4a2＋b2＝7，则a＝×(2a)×＝≤×＝2，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝1，b＝时，等号成立．故选D.

(2)在下列条件下，求y＝4x－2＋的最值．

①当x>时，求最小值；

②当x<时，求最大值；

③当x≥2时，求最小值．

解：①∵x>，∴4x－5>0，