第2章 第2讲 基本不等式-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 第2讲 基本不等式 课程标准/1.掌握基本不等式b≤a+b2a>0,>0),2.结合具体实例，能用基本不等式解 决简单的求最大值或最小值问题 基础知识整合 知识梳理 1.基本不等式ab≤a十b2 (1)基本不等式成立的条件：sup101a>0,b≥0 (2)等号成立的条件：当且仅当spl02a=b时等号成立. (3)其中a+b2叫做正数a,b的supl03)算术平均数，ab叫做正数a,b的spl04几何平 均数 2.利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x,y∈(0，十∞)，且y=P(定值)， 那么当splO5x=y时，x十y有spl06)最小值2P,(简记：“积定和最小”)） (2)如果x,y∈(0，+∞)，且x+y=S定值) 那么当spl07x=y时，y有spl08)最大值S24.(简记：“和定积最大”) 知识拓展 1.常用的几个重要不等式 (1)a+b≥2ab(a>0,b>0). (2)ab≤laivs-4 al col(ffa+b22(a,b∈R). (3)avws4 alcol(ffa+b22≤a2+b22(a,b∈R). (4)ba+ab≥2(a,b同号). (5)211b≤ab(a0,b>0). 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 2.轮换对称不等式 a2+b22aba2+c2≥2acb2+c2≥2bc相加a2+b2+c22ab+ac+bc,当且仅当a=b=c时，等 号成立 3.三元基本不等式 3abc≤a+b+c3,其中a0,b>0,c>0,当且仅当a=b=c时，等号成立. 双基自测 1.(2024海口调研)若>0，y0,且x十y=18,则y的最大值为() A.9 B.18 C.36 D.81 1 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 答案：A 解析：因为>0，y>0,且x十y=18,所以y≤x十y2=9,当且仅当x=y=9时，等号成立， 故y的最大值为9 2.下列命题正确的是() A.若a,b∈R,则ba+ab≥2bab=2 B.若x>0,则x十1x>2 C.若x∈R,则sin+4six的最小值为4 D.若x∈R,则2x2+12x2的最小值为2 答案：D 解析：A项必须保证a,b同号；B项应含有等号，即若>0，则x十1x≥2：C项，因为0 <sind≤1，y=sind十4lsx≥24=4，当且仅当sin=2时，等号成立，又sing≠2，所以其 最小值不为4.故选D 3.(人教A必修第一册习题2.2T1改编)若函数x=x十1x一2>2)在x=a处取得最小值，则 a=() A.1+2 B.1+3 C.3 D.4 答案：C 解析：因为2，所以x)=x+1x-2=x-2)十1x-2+2≥21x-2)+2=4,当且仅当x-2 =1x一2，即x=3时，等号成立.故a=3 4.(人教A必修第一册习题22T5改编)设0，则3-3x一1x的最大值是() A.3 B.3-22 C.-1 D.3-23 答案：D 解析：因为x>0,所以y=3-3x-lx=3-as4alco1(3x十flx)≤3-2lx)=3-23,当且仅 当3x=1x,即x=3)3时，等号成立.故选D 5.若实数x,y满足=1，则x2+2y2的最小值为 答案：22 解析：xy=1,x2+2y2≥2x22y2=22(y）2=22,当且仅当x2=2y2,且y=1时，等 号成立 核心考向突破 考向一 利用基本不等式求最值多角度探究突破 角度1利用配凑法求最值 例①0)已知a,b为正数，4a2+b2=7,则al+b2的最大值为 2 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 A.7 B.3 C.22 D.2 答案：D 解析：因为4a2+b2=7,则a1+b2=12×(2a)×1+b2=124a2(1+b2)≤12×4a2+1+b22 =2,当且仅当4a2=1+b2,即a=1,b=3时，等号成立.故选D (2)在下列条件下，求y=4一2+14红一5的最值 ①当x心54时，求最小值： ②当x<54时，求最大值： ③当x≥2时，求最小值. 解：①>54，∴.4r-5>0, .y=4x-2+1红-5=4r-5+1-5+3≥2+3=5， 当且仅当4x-5=14红一5，即x=32时，等号成立. 故当x=32时，ymim=5 ②.∵x<54,∴.5-4x>0, ∴y=4r-2+1红-5=-als4 alcol(5-4x十f15-4x+3≤-2+3=1，当且仅当5-4r= 15一4，即x=1时，等号成立. 故当x=1时，ymx=1 ③当x≥2时，易知y=4x-2+1红-5单调递增，∴ym=4×2-2十14×2-5=193. 触类旁通】利用基本不等式求最值的条件和配凑方法 一正 “负+负”型可用其相反数，改变不等 号的方向 若没有“和”或“积”的定值形式，则 需配凑转化，常见的配凑转化方法有： 二定 (1)配系数：(2)配常数项：(3)对 分式拆项：(4)对分式分子分母同除 以非零常数 三相等 若等号不成立，则改用函致单调性 提醒：注意配凑过程要进行等价变形；明确目标，即配凑出和或积为定值。 目即时训练1.当x>0时，32十4的最大值为 答案：34 解析：当x>0时，3x2十4=34x≤3x4x)=34,当且仅当x=4,即x=2时，等号成立， 即3x2千4的最大值为34. 2.(2025天津南开区模拟)当心1时，x2+2x一1的最小值为 答案：23十2 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 解析：因为x21,所以x-1>0,所以x2+2x一1=(x2-2公十1)十(2x-2)十3x-1 (x-1)2+2(x-1)十3x-1=(-1)+3x-1+2≥23+2，当且仅当x-1=3x-1,即x=3 +1时，等号成立，所以当x=3+1时，x2+2x一1取得最小值23+2 角度2利用常数代换法求最值 例2(1)2024山东青岛一模)已知x,y为正实数，且x+y=1,则x+y+y的最小值为 ) A.24 B.25 C.6+42 D.62-3 答案：B 解析：因为x,y为正实数，且x+y=1,所以x十y十y=x十y十3(x十y)y=4红十y =%+4y=alvs4acol0f94yx+y)=13+9x+4y≥13+29y4xy=25,当且仅当f9y4xx+ y=1,即x=f3525)时，等号成立，所以x十6+3y的最小值为25 (2)(2025陕西咸阳模拟)已知a>0,b>0,且1a+1+2b十1=1，则a+b的最小值为 答案：22+1 解析：由a>0,b>0,1a+1+2b+1=1,得a+b=(a+1)+(b+1)-2=avs4 alcol0f12b+ 1[(a+1)+(6+1)]-2=b+1a+1+2(a+1)b+1+1≥2b+12(a+1)b+1+1=22+1,当 且仅当b十1a十1=2(a十1)b十1，即a=2,b=2+1时取等号，所以当a=2,b=2+1时， a十b取得最小值22+1. 1触类旁通 常数代换法求最值的适用情境及解题通法 (1)适用情境 有两个代数式，其中一个是整式a十y,另一个是分式十y,其中a,b,m,n为常数， 通常均为正数。 (2)解题通法 利用(a+by)avs4 alcol(f(mmy)-=am+bn+bmmx+ay≥am+bn+2 abm as4 alcol(当且 仅当f(bmyanxy)时，等号成立得到结果。 目即时训练(2025广西南宁模拟)已知m>0,n>0,命题p:2m十n=mm,命题9：m+n ≥3+22，则p是q的 条件 答案：充分不必要 解析：因为m>0,n>0,由2m十n=mn,得Im十2n=1,则m十n=(m十n alvs4 alcol0f12)=3+m+2mn≥3+22，当且仅当fn2mn2m+n=mn,即m=2+1,n=2 +2时取等号，因此p→q:因为m>0,n0,由m+n≥3+22，可取m=1,n=10,则2m+ n=12,mm=10,此时2m十n≠mm,因此q产p,所以p是g的充分不必要条件. 角度3利用消元法、换元法求最值 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 例3(1)（多选(2024黑龙江哈尔滨模拟）已知a>0,b>0,a+b=2b-32,则() A.a>34 B.a+b≥3 C.ab≥94 D.1a+1b≥43 答案：BCD 解析：对于A,取a=34,b=92,满足a十b=2ab-32,但不满足a>34,故A错误；对于B, 因为a+b=2ab-32,所以2ab=a+b+32≤(a+b)22,即[(a+b)-3][(a+b)+1]≥0，所 以a+b≥3，当且仅当a=b=32时，等号成立，故B正确；对于C,a+b=2ab-32≥2ab, 令ab=(c0),所以42-41-3≥0，即(2t+1)(2t-3)≥0，所以t≥32，即ab≥32，所以ab 94,当且仅当a=b=32时，等号成立，故C正确：对于D,1a+1b=a十bab=32ab=2-32ab ,令ab=m,由C项可知，m≥94，而函数y=2-32m在94，十上单调递增，所以2-32m ≥43，当且仅当m=94,即a=b=32时，等号成立，所以1a十1b≥43，故D正确.故选BCD (2)设正实数x,y,z满足x2-3y十4y2一z=0,则当z取得最大值时，2x+1y一2z的最大值 为 答案：1 解析：，正实数x,y,z满足x2-3y十4y2-z=0,∴.z=x2-3xy十4y2,.z=xx2-3y十 4y2=1x4yx≤1fx4yx)=1,当且仅当x=2y时取等号，此时z=2y2,.2x+1y-2z=22y+ 1y-22y2=-aws4 alcol(fly)-l)2+1≤1，当且仅当y=1时取等号，所以2x+ly-2z的 最大值是1 1触类旁通 利用消元法、换元法求最值 (1)消元法 根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现 多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解 (2)换元法 求较复杂的式子的最值时，通常利用换元法将式子恰当变形，简化式子，再利用基本不等式 求解 目即时训练1己知正数x,y满足x2+2y-3=0,则2x+y的最小值是() A.1 B.3 C.6 D.12 答案：B 解析：x2+2xy-3=0,.y=3-x22x,.2x+y=2x+3-x22x=3x2十32x=3x2+32x≥ 23x32x=3,当且仅当3x2=32x,即x=1时取等号.故选B. 2.(2025辽宁沈阳模拟)已知a,b均是正实数，则aa+2b+ba十b的最小值为 答案：22-2 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 解析：设a+2b=x,a十b=y,则a=2y-x,b=x一y,且x,y均为正实数，所以aa十2b+ ba+b=2y-x十x-y=2yx+xy-2≥22yy-2=22-2,当且仅当2x=y,即x=2y时，等 号成立，所以aa+2b+ba+b的最小值为22-2 考向二利用基本不等式求参数的值或取值范围 例4(2025江西南昌模拟)若不等式a2+b22+3≥x(a十b)对任意正数a,b恒成立，则实数 x的最大值为() A.2 B.2 C.3 D.1 答案：C 解析：由题意不等式a2十b22+3≥x(a+b)对任意正数a,b恒成立，即x≤a2十b2+62(a十 b)恒成立，又a2+b2≥2ab,∴.a2+b2≥(a+b)22,当且仅当a=b时，等号成立，则a2 +b2十62(a+b)≥(a+b)222(a+b)=a十b4+3a+b≥2a+b3a+b=3,当且仅当a=b =3时，等号成立，故x≤3，即实数x的最大值为3.故选C 【触类旁通】利用基本不等式求参数的值或取值范围的方法 (①)根据基本不等式等号成立的条件，求参数的值或取值范围. (2)转化为求最值问题，利用基本不等式求解 目即时训练(2025江苏徐州模拟)若关于x的不等式红a十1x一2≥4对任意2恒成立， 则正实数a的取值范围为) A.[1,4 B.(0,4) C.(0,4] D.(1,4] 答案：C 解析：由题意可得4(x一2)a十x一2≥4-8a对任意o2恒成立，由a>0,x-20,可得4 (x-2)a+1x-2≥24(x-2)1x-2=4ra,当且仅当4(x-2)a=1x-2,即x=2+a 2时取等号，则4一8a≤4a,解得0<a≤4.故选C 考向三基本不等式的实际应用 例5某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个 综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3000m2,其中阴影部 分为通道，通道宽度为2m,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小 场地形状、大小均相同)，塑胶运动场地占地面积为Sm2 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 1b.2 zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 ←m ()分别写出y和S关于x的函数关系式，并给出定义域： (②)怎样设计能使S取得最大值？并求出最大值。 解：(1)由已知，得y=3000, ∴.y=300,其定义域是(6,500). S=r-4)a+x-6a=(2x-10)a, .2a+6=y,.a=y2-3=1500x-3, .S=(2x-10)aws4acol01500-3)=3030-aws4 al col0f15000+6x),其定义域是(6， 500. (2)S=3030-1aws4alco10f15000)+6c)≤3030-215000x=3030-2×300=2430,当且仅当 15000=6,即x=50∈(6,500)时，上述不等式等号成立，此时y=60,Sm=2430. ∴.当x=50,y=60时，运动场地面积最大，最大面积为2430m2 触类旁通】有关函数最值的实际问题的解题技巧 ()根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值。 (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围。 (④)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解 目即时训练某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池， 要求池底面的长和宽之和为20米.若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水 池的造价最低，蓄水池的高应该为 米 答案：5 解析：设长方体蓄水池的长为y米，宽为x米，高为h米，每平方米池侧联的造价为a,蓄 水池的总造价为W,则由题意可得x+y=20,yh=500,∴.W=2a(xh+yh+2ay=2ah+ )+2ay=40ah+500×2ah,∴.W≥2500×2ah)=400a,当且仅当h=5时等号成立，即W取 得最小值时，蓄水池的高应该为5米， 课时作业 一、单项选择题 1.(2024吉林长春第五中学检测)(3一a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为( ) A.9 B.92 7 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.3 D.22 答案：B 解析：当a=-6或a=3时，(3-a)(a+6)=0:当-6<a<3时，(3-a)(a+6)≤3-a 十a十62=92，当且仅当3-a=a十6，即a=一32时取等号.综上，(3一a)(a十6)的最大 值为92 2.(2024山东枣庄一模)已知a>0,b>0,则“a十b>2”是“a2+b2>2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：若a>0,b>0,a+b>2,则a2+b2≥12(a十b)2>2,充分性成立：若a2+b2>2,可能a =2,b=01,此时a+b<2,所以必要性不成立，综上所述，“a十b>2”是“a2+b2>2”的充 分不必要条件.故选A 3.(2025河南信阳模拟)函数x)=x2-4红+5x一2avs41acol2f52》有() A.最大值52 B.最小值52 C.最大值2 D.最小值2 答案：D 解析：解法一：因为x≥52，所以x-2≥12>0，则x2-4r十5x一2=(x一2)2十1x一2=c一2) +x一2≥2，当且仅当x一2=1x一2，即x=3时，等号成立，所以函数x)有最小值，为2 解法二：令x一2=t,则t≥12，x=1+2,则原函数可化为y=(t+2)2一4(t+2)+51=12 十1t=t十1t≥21)=2，当且仅当t=1t即t=1时，等号成立，此时x=3,所以函数x)有最 小值，为2 4.已知x>2,y1,(x-2)0-1)=4,则x十y的最小值是() A.1 B.4 C.7 D.3+17 答案：C 解析：，x2,y>1,(x-20y-1)=4,x十y=(x-2)+y-1)+3≥2(x-2)(y-1)+3=7 ,当且仅当x=4,y=3时，等号成立. 5.若a,b∈(0，+∞)，且a十4b=9,则b+aa的最小值为() A.9 B.3 C.1 D.13 答案：C 8 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 解析：a,b∈(0，+o∞)，且a+4b=9,avs4 alcol(b+ftr(aa)lavs4 alcol(r(a+t f4b)=ba+4+1+4brta=5+ba+4bra≥5+2af4bra)=9,当且仅当ba=4bvra时， 等号成立，∴9aws4 alcol(b+r(a)a)≥9，故b十aa≥1，即b+aa的最小值为1.故选C 6.(2025·山西太原模拟)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学 家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明， 也称为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a,BC=b,O为AB的 中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D,连接OD,AD,BD,过点 C作OD的垂线，垂足为E,则该图形可以完成的无字证明为() A.a十b2≤ab(a>0,b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) C.ab≥211b(a0,b>0) D.a2+b22≥a+b2(a>0,b>0) 答案：C 解析：根据图形，利用射影定理得CD2=DE·OD,又OD=12AB=12(a+b),CD2=ACCB =ab,所以DE=CD2OD=aba+b2.由于OD≥CD,所以a+b2≥ab(a>0,b>0.由于CD≥ DE,所以ab≥2aba十b=211b(a>0,b>0). 7.(2025广东佛山一中模拟)若不等式1x+11一4r-m≥0对x∈aws4alco10,14)恒成立 ，则实数m的最大值为() A.7 B.8 C.9 D.10 答案：C 解析：将不等式化为lx+11一红≥m,只需当x∈avs4aco10,14时，m≤ aws4\al\col(f(111-4x)min.x11-4x=\aWs4alcol(f(111-4x)[4x++(1-4x)]=4+ 1一4+4x-4+1≥5+21-4x4x1一4x=5+4=9,当且仅当x=16时，等号成立，故m≤ 9所以实数m的最大值为9.故选C 8。近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来。为提高居民的取暖水平，某社区决定建立一个 取暖供热站，已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站 到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8 万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区() A.5千米处 B.6千米处 9 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 C.7千米处 D.8千米处 答案：A 解析：设供热站应建在离社区x千米处，则自然消费=k1x,供热费2=x,由题意得， 当x=20时，1=0.5，y2=8,所以%=%=10，店=y2x=25,所以h=10,2=25x所以 两项费用之和为1+2=1+2x5≥2102x5=4,当且仅当1=2x5,即x=5时，等号成立， 所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处.故选A 二、多项选择题 9.(2025河北衡水模拟)三元均值不等式：“当a,b,c均为正实数时，a+b+c3≥3abc,即 三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a=b=c时，等号成立.”利用上 面结论，判断下列说法正确的是() A.若0，则x2+2x≥3 B.若0x<1,则x2(1-x)≤19 C.若x0,则2x+1x2≥3 D.若0<1，则x1-x)2≤19 答案：AC 解析：对于A,x>0,x2+2x=x2+1x十1x≥3311x=3,故A正确：对于B,,0<1,∴.1一x >0,x2(1-x)=12·x·(2-2x)≤12aws4 alco.1/6+x+2-2x3)3=427,故B错误；对于C ,x0,2x十1x2=x十x十1x2≥331x2=3,故C正确：对于D,,0x<1,∴.1-x>0,1-x) 2=12X2(1-x)(1-x)≤12aws4 allcol0f2x十1-x+1-x33=427,故D错误.故选AC 10.(2025·广东广州模拟)已知a<b<c(a,b,c∈R),且a+2b+3c=0,则下列结论正确的是() A.a+c0 B.ca+ac<-2 C.存在a,c,使得a2-25c2=0 D.b+2ca十c<-I2 答案：ABD 解析：对于A,由a<b<c及a+2b+3c=0,得3a+3c<a+2b+3c=0,所以a+c0,A正确； 对于B,由a<b<c及a+2b+3c=0,得6a<a+2b+3c=0,所以a<0,同理可得c>0,又a +c0,所以ca≠-1，所以ca+ac=-blc(rcWre\c)))<-2,B正确：对于C,由a<b<c及 a+2b+3c=0,得a+2c+3c0,所以a+5c0,得c>-a5>0,所以c2>a225,得a2-25c2 <0,C错误；对于D,由a十2b+3c=0,得a+c=-2b+c),所以b+2ca十c=b+c+ca+c =b+ca+c+ca+c=-12+ca+c,因为a+c<0,c0,所以ca+c0,所以b+2ca+c×-I2, D正确.故选ABD 11.(2022新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-y=1,则() 10