第2章 第1讲 不等式及其性质-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第1讲　不等式及其性质 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 1．比较两个实数大小的依据 关系 方法 作差法 作商法 a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a<b a－b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 2.不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a． (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c． (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； a>b，c>d⇒a＋c>b＋d． (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc； a>b>0，c>d>0⇒ac>bd． (5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 1．有关倒数的性质 (1)a>b，ab>0⇒<；a>b，ab<0⇒>. (2)a>b>0，0<c<d⇒>. (3)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2．有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(a－m>0)． (2)>；<(b－m>0)． 1．(人教A必修第一册习题2.1 T3(2)改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　) A．M>N B．M≥N C．M<N D．M≤N 答案：A 解析：因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N.故选A. 2．如果x＋y<0，且y>0，那么下列不等式成立的是(　　) A．y2>x2>－xy B．x2>y2>－xy C．x2<－xy<y2 D．x2>－xy>y2 答案：D 解析：因为x＋y<0，y>0，所以x<－y<0<y.在不等式x<－y两边同时乘以x，得x2>－xy.在不等式x<－y两边同时乘以y，得xy<－y2，则－xy>y2，所以x2>－xy>y2.故选D. 3．设x，y∈R，则“x<1且y<1”是“x＋y<2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：若x<1且y<1，则有x＋y<2.又当x＝2，y＝－1时，满足x＋y<2，但不满足x<1且y<1，所以“x<1且y<1”是“x＋y<2”的充分不必要条件．故选A. 4．(人教A必修第一册习题2.1 T5改编)若－<α<β<，则α－β的取值范围是________． 答案：(－π，0) 解析：由已知，得－<α<，－<－β<，所以－π<α－β<π，又α<β，所以α－β<0，故－π<α－β<0. 5．(人教B必修第一册习题2－2B T1改编)比较两数的大小：＋________＋. 答案：> 解析：因为(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，所以(＋)2>(＋)2，所以＋>＋. 考向一　不等式的性质 (1)(多选)(2024·湖南长沙二模)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是(　　) A．c2<cd B．a－c<b－d C．ac<bd D.－>0 答案：AD 解析：对于A，由0>c>d和不等式的性质可得c2<cd，故A正确；对于B，因为a>b>0>c>d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故B错误；对于C，因为a>b>0>c>d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故C错误；对于D，因为a>b>0，则0<<，又0>c>d，则0<－c<－d，由不等式的同向皆正可乘性，得－<－，故－>0，故D正确．故选AD. (2)(多选)(2025·安徽淮北模拟)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b>c，则a＋b>c B．若a>b>|c|，则a2>b2>c2 C．若a<b<c<0，则> D．若a>b>c>0，则< 答案：BD 解析：当b为负数时A可能不成立，例如－2>－3>－4，但－2＋(－3)>－4是错误的，故A为假命题；因为a>b>|c|≥0，根据不等式的性质可得a2>b2>c2，故B为真命题；因为a<b<0，所以>0，所以a·<b·<0，即<<0，因为c<0，所以>>0，故C为假命题；因为a>b>c>0，所以－＝＝<0，所以<，故D为真命题．故选BD. 　判断不等式是否成立的两种方法 (1)性质法 直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． (2)特殊值法 适用于排除错误答案，取值应满足题设条件且便于计算． 提醒：当直接利用不等式的性质不能判断时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断． 　(多选)已知a>b，c∈R，则下列不等式不一定成立的是(　　) A．a(c－1)2>b(c－1)2 B.> C．a(c2＋2)>b(c2＋1) D．ab2>a2b 答案：ACD 解析：对于A，当c＝1时，可得(c－1)2＝0，此时a(c－1)2＝b(c－1)2，所以不等式a(c－1)2>b(c－1)2不一定成立，A符合题意；对于B，因为c2－c＋1＝＋>0，可得>0，又a>b，所以>一定成立，B不符合题意；对于C，当a＝－1，b＝－2，c＝0时，可得a(c2＋2)＝－2，b(c2＋1)＝－2，此时a(c2＋2)＝b(c2＋1)，所以a(c2＋2)>b(c2＋1)不一定成立，C符合题意；对于D，ab2－a2b＝ab(b－a)，因为a>b，所以b－a<0，但ab的符号不确定，所以ab2>a2b不一定成立，D符合题意．故选ACD. 考向二　比较两个数(式)的大小 角度1　作差法 若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　) A．p<q B．p≤q C．p>q D．p≥q 答案：B 解析：解法一(作差法)：p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)＝＝，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B. 解法二(特殊值排除法)：令a＝b＝－1，则p＝q＝－2，排除A，C；令a＝－1，b＝－2，则p<q，排除D.故选B. 　作差法的步骤和关注点 步骤 作差并变形⇒判断差与0的大小⇒得结论 关注点 利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形 　已知实数x，y，z满足x2＝4x＋z－y－4且x＋y2＋2＝0，则下列关系成立的是(　　) A．y>x≥z B．z≥x>y C．y>z≥x D．z≥y>x 答案：D 解析：由x2＝4x＋z－y－4知z－y＝x2－4x＋4＝(x－2)2≥0，即z≥y；由x＋y2＋2＝0知x＝－(y2＋2)，则y－x＝y2＋y＋2＝＋>0，即y>x.综上所述，z≥y>x.故选D. 角度2　作商法 设a，b都是正数，且a≠b，则aabb与abba的大小关系是________． 答案：aabb>abba 解析：＝aa－b·bb－a＝.若a>b，则>1，a－b>0，∴>1，∴aabb>abba；若a<b，则0<<1，a－b<0，∴>1，∴aabb>abba. 　作商法的步骤和关注点 步骤 作商并变形⇒判断商与1的大小⇒得结论 关注点 作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反．变形方法有分母(或分子)有理化，指、对数恒等变形等 　eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________． 答案：eπ·πe<ee·ππ 解析：＝＝，又0<<1，0<π－e<1，∴0<<1，即0<<1，即eπ·πe<ee·ππ. 考向三　利用不等式的性质求范围 已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用区间表示)． 答案：(3，8) 解析：解法一：设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，对应系数相等，则⇒∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)∈(3，8)． 解法二：令∴∴2x－3y＝2×－3×＝－＋b∈(3，8)． 1．用不等式性质求代数式取值范围的两个注意点 (1)注意题设和结论中代数式的关系，设计求解步骤． (2)正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除． 2．利用待定系数法求代数式的取值范围 已知M1<f1(x，y)<N1，M2<f2(x，y)<N2，求g(x，y)的取值范围． (1)设g(x，y)＝pf1(x，y)＋qf2(x，y)． (2)根据恒等变形求得待定系数p，q. (3)根据不等式的同向可加性即可求得g(x，y)的取值范围． 　(多选)已知6<a<60，15<b<18，则下列结论正确的是(　　) A.∈ B．a＋b∈(21，78) C．a－b∈(－9，42) D.∈ 答案：AB 解析：因为6<a<60，15<b<18，所以<<，－18<－b<－15，所以<<，6＋15<a＋b<60＋18，6－18<a－b<60－15，即<<4，21<a＋b<78，－12<a－b<45.于是＝＋1∈.故A，B正确，C，D错误． 课时作业 一、单项选择题 1．已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则(　　) A．ab>0 B．ab<0 C．a＋b>0 D．a＋b<0 答案：A 解析：因为<，所以－＝<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0. 2．已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是(　　) A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a 答案：D 解析：由于每个式子中都有a，故先比较1，b，b2的大小．因为－1<b<0，所以b<b2<1.又因为a<0，所以ab>ab2>a.故选D. 3．(2024·湖北襄阳一模)在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度是每秒4米，距离爆破点150米以外(含150米)为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x(单位：厘米)应满足的不等式为(　　) A．4×＜150 B．4×≥150 C．4×≤150 D．4×＞150 答案：B 解析：由题意，知导火索燃烧的时间为秒，人在此时间内跑的路程为米，由题意可得4×≥150.故选B. 4．(2025·安徽合肥八中模拟)若1<a<3，－4<b<2，则a－|b|的取值范围是(　　) A．(－3，0) B．(－3，3) C．(0，3) D．(－3，5) 答案：B 解析：因为－4<b<2，所以0≤|b|<4，所以－4<－|b|≤0.又因为1<a<3，所以－3<a－|b|<3.故选B. 5．(2024·陕西商洛模拟)已知a，b∈R，则“<”是“a3>b3”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：若<，则a>b>0，所以a3>b3，充分性成立；若a3>b3，则a>b，但<不一定成立，不满足必要性，所以“<”是“a3>b3”的充分不必要条件．故选A. 6．(2025·山东济宁模拟)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是(　　) A．xy＞yz B．xy＞xz C．xz＞yz D．x|y|＞|y|z 答案：B 解析：因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定．对于A，因为x＞0＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A错误；对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C错误；对于D，因为x＞z，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D错误． 7．设a＞b＞0，x＝－，y＝－，则x，y的大小关系为(　　) A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．x，y的大小关系不定 答案：B 解析：因为x＞0，y＞0，＝＝＜1，所以x＜y. 8．某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次均加200元的燃油．下列说法正确的是(　　) A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定 答案：B 解析：分别用m，n(m≠n)表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，由题意可得，第一种方案，两次加油共花费(30m＋30n)元，两次共加了60升燃油，所以平均价格为＝元/升；第二种方案，两次加油共花费200＋200＝400元，两次共加了升燃油，所以平均价格为＝元/升.－＝＝>0，所以采用第二种方案划算． 二、多项选择题 9．下列说法中正确的是(　　) A．若a>b>0，c∈R，则< B．若a>b>0，c∈R，则ac2>bc2 C．若a<b<0，则a2>ab>b2 D．若a<b<0，则a2＋a<b2＋b 答案：AC 解析：对于A，由a>b>0，2c>0，知0<<，得<，故A正确；对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误；对于C，当a<b<0时，由a2－ab＝a(a－b)>0，得a2>ab，又ab－b2＝b(a－b)>0，则ab>b2，故a2>ab>b2，故C正确；对于D，当a＝－2，b＝－1时，a2＋a>b2＋b，故D错误．故选AC. 10．(2024·呼和浩特第二中学模拟)设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是(　　) A．c<b B．b≥1 C．b≤a D．a<c 答案：BD 解析：∵两式相减得2b＝2a2＋2，即b＝a2＋1，∴b≥1.又b－a＝a2＋1－a＝＋>0，∴b>a.而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，从而c≥b>a. 11．已知a>0，b>0，a＋b2＝1，则(　　) A．a＋b< B．a－b>－1 C.·b≤ D.≥－ 答案：BCD 解析：因为a＝1－b2>0，b>0，所以0<b<1，所以0<a<1.因为a＋b＝1－b2＋b＝－＋≤，取等号时a＝，b＝，满足a，b∈(0，1)，故A错误；因为a－b＝1－b2－b＝－＋>－＋＝－1，故B正确；因为·b＝·＝≤，取等号时a＝，b＝，满足a，b∈(0，1)，故C正确；因为b－2<0，所以要证≥－，只需证≤，只需证3a≤(b－2)2，即证3(1－b2)≤(b－2)2，即证4b2－4b＋1≥0，即证(2b－1)2≥0，显然(2b－1)2≥0成立，当且仅当a＝，b＝时取等号，故D正确．故选BCD. 三、填空题 12．能够说明“设a，b是任意非零实数．若>1，则b>a”是假命题的一组整数a，b的值依次为________． 答案：－1，－2(答案不唯一) 解析：要使“设a，b是任意非零实数．若>1，则b>a”是假命题，只需满足b<a<0且a，b∈Z即可，可取a＝－1，b＝－2(答案不唯一)． 13．已知下列四个代数式：①4mn；②m2＋4n2；③4m2＋n2；④m2＋n2.若m>n>0，则代数式的值最大的是________(填序号)． 答案：③ 解析：∵m>n>0，由②－①，得m2＋4n2－4mn＝(m－2n)2≥0，∴②≥①；由③－②，得4m2＋n2－m2－4n2＝3m2－3n2>0，∴③>②；由③－④，得4m2＋n2－m2－n2＝3m2>0，∴③>④.∴代数式的值最大的是③. 14．(2024·河北石家庄二模)若实数x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4，2x－y＋z＝5，则M＝4x＋3y＋5z的取值范围是________． 答案：[15，19] 解析：因为x＋y＝4－z，2x－y＝5－z，所以x＝3－，y＝1－，由x，y，z≥0，得解得0≤z≤3，故M＝4x＋3y＋5z＝4＋3＋5z＝＋15∈[15，19]． 四、解答题 15．(1)证明：∀x，y∈R，x4＋y2≥x2y； (2)已知a>b>c>d>0，证明：<. 证明：(1)x4＋y2－x2y＝x4－x2y＋y2＋y2＝＋y2， 因为≥0，y2≥0， 所以＋y2≥0， 则x4＋y2－x2y≥0，故∀x∈R，x4＋y2≥x2y(当且仅当x＝0，y＝0时取等号)． (2)因为a>b>c>d>0，所以－d>－c， 所以a－d>b－c>0，则>0， 所以(a－d)·>(b－c)·>0， 即>>0， 又c>d>0，所以>>0， 故　<　. 16．(2025·安徽亳州模拟)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角三角形ABC中，根据(1)中的结论，证明：＋＋<2. 解：(1)若b>a>0，m>0，则<. 证明：－＝ ＝. 因为b>a，所以a－b<0， 又b>0，m>0，故<0，因此<. (2)证明：在锐角三角形ABC中，A<B＋C，A>0，由(1)得<＝， 同理，<＝， <＝. 以上式子相加得＋＋<2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$