第2章 第1讲 不等式及其性质-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第1讲　不等式及其性质

梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．

1．比较两个实数大小的依据

2.不等式的性质

(1)对称性：a>b⇔b<a．

(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c．

(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；

a>b，c>d⇒a＋c>b＋d．

(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；

a>b，c<0⇒ac<bc；

a>b>0，c>d>0⇒ac>bd．

(5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．

1．有关倒数的性质

(1)a>b，ab>0⇒<；a>b，ab<0⇒>.

(2)a>b>0，0<c<d⇒>.

(3)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.

2．有关分数的性质

若a>b>0，m>0，则

(1)<；>(a－m>0)．

(2)>；<(b－m>0)．

1．(人教A必修第一册习题2.1 T3(2)改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　)

A．M>N   B．M≥N

C．M<N   D．M≤N

答案：A

解析：因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N.故选A.

2．如果x＋y<0，且y>0，那么下列不等式成立的是(　　)

A．y2>x2>－xy   B．x2>y2>－xy

C．x2<－xy<y2   D．x2>－xy>y2

答案：D

解析：因为x＋y<0，y>0，所以x<－y<0<y.在不等式x<－y两边同时乘以x，得x2>－xy.在不等式x<－y两边同时乘以y，得xy<－y2，则－xy>y2，所以x2>－xy>y2.故选D.

3．设x，y∈R，则“x<1且y<1”是“x＋y<2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

解析：若x<1且y<1，则有x＋y<2.又当x＝2，y＝－1时，满足x＋y<2，但不满足x<1且y<1，所以“x<1且y<1”是“x＋y<2”的充分不必要条件．故选A.

4．(人教A必修第一册习题2.1 T5改编)若－<α<β<，则α－β的取值范围是

________．

答案：(－π，0)

解析：由已知，得－<α<，－<－β<，所以－π<α－β<π，又α<β，所以α－β<0，故－π<α－β<0.

5．(人教B必修第一册习题2－2B T1改编)比较两数的大小：＋________＋.

答案：>

解析：因为(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，所以(＋)2>(＋)2，所以＋>＋.

 

考向一　不等式的性质

(1)(多选)(2024·湖南长沙二模)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是(　　)

A．c2<cd   B．a－c<b－d

C．ac<bd   D.－>0

答案：AD

解析：对于A，由0>c>d和不等式的性质可得c2<cd，故A正确；对于B，因为a>b>0>c>d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故B错误；对于C，因为a>b>0>c>d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故C错误；对于D，因为a>b>0，则0<<，又0>c>d，则0<－c<－d，由不等式的同向皆正可乘性，得－<－，故－>0，故D正确．故选AD.

(2)(多选)(2025·安徽淮北模拟)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(　　)

A．若a>b>c，则a＋b>c

B．若a>b>|c|，则a2>b2>c2

C．若a<b<c<0，则>

D．若a>b>c>0，则<

答案：BD

解析：当b为负数时A可能不成立，例如－2>－3>－4，但－2＋(－3)>－4是错误的，故A