第1章 第2讲 常用逻辑用语-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第2讲　常用逻辑用语

1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.4.理解全称量词与存在量词的意义.5.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.6.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．

1．充分条件、必要条件与充要条件

2.全称量词和存在量词

(1)全称量词有“所有的”“任意一个”“任给一个”，用符号“∀”表示；存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”，用符号“∃”表示．

(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为∀x∈M，p(x)．

(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为∃x∈M，p(x)．

3．含有一个量词的命题的否定

1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；

(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；

(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；

(6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

总结：小推大，大不可推小．

2．常用的正面叙述词语和它的否定词语

3.因为命题p与綈p的真假性相反，所以不管是全称量词命题还是存在量词命题，当其真假不易判断时，可先判断其否定的真假．

1．(人教A必修第一册习题1.5 T3(1)改编)命题“∃x∈Q，|x|∈N”的否定是(　　)

A．∀x∉Q，|x|∉N   B．∀x∈Q，|x|∈N

C．∃x∉Q，|x|∉N   D．∀x∈Q，|x|∉N

答案：D

解析：存在量词命题的否定需要把存在量词改为全称量词，并否定结论．故选D.

2．(2025·内蒙古赤峰模拟)已知p：x(x－1)＝0，q：x＝1，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：B

解析：x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1，因此由p：x(x－1)＝0不能推出q：x＝1，但是由q：x＝1一定能推出p：x(x－1)＝0，所以p是q的必要不充分条件．故选B.

3．(人教A必修第一册习题1.4 T6改编)在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

解析：在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形；若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立．综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．故选A.

4．(人教A必修第一册1.5.2练习T2改编)“等边三角形都是等腰三角形”的否定是________．

答案：存在一个等边三角形，它不是等腰三角形

解析：全称量词命题的否定是存在量词命题．故命题的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形．

5．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

答案：(－∞，2]

解析：由已知，得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以实数a的取值范围是(－∞，2]．

考向一　充分、必要条件的判断

(1)(2025·福建福州模拟)设a，b∈R，则“ab<0”是“＋＝0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：C

解析：由ab<0，得或则＋＝0，即充分性成立；当＋＝0时，＝－>0，则ab<0，即必要性成立．综上可知，“ab<0”是“＋＝0”的充要条件．故选C.

(2)设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件