第1章 第2讲 常用逻辑用语-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第2讲 常用逻辑用语 课程标准 .1.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系2理解充分条件的意 义,理解判定定理与充分条件的关系3理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关 系4.理解全称量词与存在量词的意义5.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定6能正 确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 基础知识整合 知识梳理 1. 充分条件、必要条件与充要条件 若p→q,则p是q的supl(01)充分条件,q是p的supl(02)必要条件 p是q的sapI(03)充分不必要条件 p_→且→p p是q的spl(04)必要不充分条件 p→且p p是q的spI(05)充要条件 _~ p是q的spl(06)既不充分也不必要条件 →q且→p 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词有“所有的”“任意一个”“任给一个”,用符号“spl(07)”表示;存在量词有 “存在一个”“至少有一个”“有些”,用符号“sp1(08)”表示。 (2)含有全称量词的命题,叫做全称量词命题,“对M中任意一个x,有zx成立”用符号简 记为sup1(09jVxEM,p(x) (3)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.“存在M中元素x,使n(x)成立”用符号简记 为slupl(10)xEM,p(x) 3. 含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 VrEM,p(x) supI(11)xEM,p(x) xEM,p) supl(12)VxEM,第px) 知识拓展 1. 若A-fxp(x),B-xlq(x)],则 (1)若ACB,则p是q的充分条件: (②)若AB,则p是q的必要条件; (③若A一B,则p是a的充要条件; (4)若A B,则p是q的充分不必要条件; (5)若A B,则p是q的必要不充分条件; (6若A B且AB,则p是a的既不充分也不必要条件 1 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 总结:小推大,大不可推小 2. 常用的正面叙述词语和它的否定词语 等于(一) 正面词语 大于() 小于(一) 是 不等于() 不大于() 否定词语 不小于() 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有 3.因为命题y与线p的真假性相反,所以不管是全称量词命题还是存在量词命题,当其真假 不易判断时,可先判断其否定的真假 双基白测 1.(人教A必修第一册习题1.5T改编)命题“我EO,xEN”的否定是( _ A. VxO,xlN B. VxEO.xEN C. xO, lxlN D. xEO,xN 答案:D 解析:存在量词命题的否定需要把存在量词改为全称量词,并否定结论,故选D 2.(2025-内蒙古赤峰模拟)已知y:xx-1)-0,q:x=1,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案:B 解析:xx-1=0→x=0或x=1,因此由p:x(x-1)-0不能推出q:x=1,但是由q:x= 一定能推出p:x(x一1)一0,所以p是a的必要不充分条件,故选B 3.(人教A必修第一册习题14T。改编)在△4BC中,“AB2+BC2=AC2”是“△ABC为直角 三角形”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案:A 解析:在△ABC中,若AB2+BC2=AC2,则乙B=90*,即△4BC为直角三角形;若△4BC 为直角三角形,推不出乙B=90*,所以AB2+BC2=AC2不一定成立,综上,“AB2+BC2=AC ”是“△4BC为直角三角形”的充分不必要条件,故选A 4.(人教A必修第一册1.5.2练习T,改编)“等边三角形都是等腰三角形”的否定是 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.ZxXKEom 您身边的互联网+教辅专家 答案:存在一个等边三角形,它不是等腰三角形 解析:全称量词命题的否定是存在量词命题,故命题的否定是存在一个等边三角形,它不是 等腰三角形. 5. 已知p:xa是a:2x3的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 答案:(一o,21 解析:由已知,得(x23 (xx>a},所以实数a的取值范围是(-o,2]. 核心考向突破 考向一 充分,必要条件的判断 (1)(2025福建福州模拟)设a,beR,则“ab-0是“alal+bb-0”的( A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案:C 解析:由ab<0,得a>0,b<0)或a<0,b>0,)则alal+blbl-0,即充分性成立;当alal+b b=o时,lbllal=-ba→0,则ab<0,即必要性成立,综上可知,“ab<o”是“alal+blbl=0” 的充要条件,故选C (2)设乙的充分不必要条件是甲,乙是丙的充要条件,丁是丙的必要不充分条件,那么甲是丁 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案:A 解析:由已知条件可知甲乙一丙丁,所以甲→丁,丁>甲,即甲是丁的充分不必要条件 .故选A. (3)(2025江苏常州期末)已知a,b,cER,则“a一b一c”是“a,b,c既是等差数列又是等 比数列”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 n 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案:B 解析:当a一b一c一0时,a,b,c不是等比数列,充分性不成立:当a,b,c既是等差数列 又是等比数列时,a=b一c关0,必要性成立,所以“a-b一c”是“a,b,c既是等差数列又 是等比数列”的必要不充分条件,故选B [触类旁通 判断充分、必要条件的两种方法 (1定义法 分清哪个是条件,哪个是结论 判断“→?”及“→p”的真假 根据推断及定义下结论 (2集合法 基本思路 根据p,a成立的对象的集合之间的包含关系进行判断 适用范围 多适用于命题中涉及字母取值范围的推断问题 解题技巧 抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,简记为“小充分,大必要” 即时训练, 1.(2025江苏扬州模拟)已知集合A-0,a2,B-{1,a+1,a-1,则“ 一1”是“ACB”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案:B 解析:当a=1时,A={0,1,B=;0,1,2,则AcB;反之,当AcB时,a+1=0或a-$1 =0,解得a=-1或a=1,若a=-1,A= 0,1,B=$0,1,-2 :满足ACB,若$ =$$$ 显然满足ACB,因此a三一1或a=1,所以“a三1”是“ACB”的充分不必要条件,故选B 2.(多选)使2x1成立的一个充分不必要条件是( ) A.0<1 B. 02 C.<2 D.0<2 答案:AB 解析:由2x>1得0<x<2,依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集,故选AB 考向二 根据充分、必要条件求参数的范围 2 已知P=(xx-8x-20<0,非空集合s=(x1-mx1+m 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)若“xEP”是“xES”的必要条件,则m的取值范围为 (2)若“xEP”是“xES”的充分不必要条件,则m的取值范围为 答案:(1)[0,3](2)[9,+o) 解析:由x2-8x-20<0,得-2<x<10,.P-(x-2<x10} (1)若“xEP”是“xEs”的必要条件,则scP,..1-m-2,1+m<10,1-m<1+m,解 得0m3,故m的取值范围为[0,3]. (2)若“xEP”是“xES”的充分不必要条件,则PS,..1一m-2,I十m>10)或1-m <-2,1+m>10,)解得m9,故m的取值范围为[9,+) 置触类旁通| 由充分、必要条件求参数范围的策略 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后根据 巧用转化求参数 集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形 端点值慎取舍 在求参数范围时,要注意区间端点值的检验,从而确定取舍 即时训练 (2024山东济南二模)已知A={xl2,B=xx<a},若“xEA”是“xEB” 的充分不必要条件,则。的取值范用是 ) A. faa<1 B. (aa二1 C. fala<2 D.fala>2) 答案:D 解析:因为“xEA”是“xEB”的充分不必要条件,所以A B,所以a2故选D 考向三 全称量词命题与存在量词命题 多角度探究突破 角度1 含量词命题的真假判断与否定 ③ (1)(2024山东青岛三模)已知命题p:xEalys4allcol(0,ffx2)),sinxx,则p为 _. A. xet alvs4allcol(0,f(z2),sinx>x B. xEalvs4allcoI(0,jf(2),sinx>x C. xt alvs4allcoI(0,f(z2),sinx三x D. xealvs4allcol(0,(a2),sinxx 答案:D 解析:命题p:Vxeaivs4lalcol(0,f(a2),sinxx为全称量词命题,则p为xE alvs4allcol(0,fz2),sinx一x.故选D (2)(2024新课标II卷)已知命题p:VxER,x十1>1;命题q:>0,x3-x,则 ~ A.p和a都是真命题 B. p和a都是真命题 C. p和编a都是真命题 n 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 D. 梯p和线a都是真命题 答案:B 解析:对于p,取x三一1,则有x十1l一0<1,故p是假命题,p是真命题,对于q,取x 一1,则有x一1=1三x,故a是真命题,线a是假命题,综上,线p和a都是真命题,故选 B I触类旁通 1. 判断全称量词命题,存在量词命题真假的思路 经证明为真或与性质。 全称 真命题 量词 定理等真命题相符 判断 命题 可举一反例,且反例成立 假命题 命题 类型 存在 可找到x,使p(x)成立 真命题 量词 命题 找不到x,使p(x)成立 假命题 2. 写出全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤 准确 明确这个命题是全称量词命题还是存在量词 审题 命题,并找到其量词的位置及相应结论 改写 确定命题所含量词的类型,若命题中无量词 {词 则要结合命题的含义加上量词,再对量词进 { 行改写 站论 对原命题的结论进行否定 [即时训练1.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( _~ A. 任意一个有理数,它的平方是有理数 B. 任意一个无理数,它的平方不是有理数 C. 存在一个有理数,它的平方是有理数 D. 存在一个无理数,它的平方不是有理数 答案:B 解析:根据存在量词命题的否定为全称量词命题,需先将存在量词改为全称量词,然后否定 结论,故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数” 2. 已知P,O为R的两个非空真子集,若CCP,则下列结论正确的是 A. VxEO,xEP B. ECpP,xECn{ C. xO,xEP D. xECP,xEC 答案:B 解析:因为CnOCpP,所以P O,如图,对于A,由题意知P是O的真子集,故xEC ,xP,故A不正确;对于B,由C是CP的真子集且CpO,CpP都不是空集知,xE 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 CP,xECpO,故B正确;对于C,由P是O的真子集知,VxO,xP,故C不正确; 对于D,CRO是CpP的真子集,故xECP,xCO,故D不正确,故选B 角度2 由命题的真假求参数的取值范围 4④(2025陕西渭南模拟)已知aER,命题p:E[l,2],x2-a>o,命题q:xER,x2 +2ax+2一a一0,若命题p,a均为真命题,则实数a的取值范围是 答案:(-~,-2]U(1) 解析:若命题p为真命题,则Vx[l,2],a<x2恒成立,又当xE[l,2]时,x2的最小值为1 ,所以a<1;若命题a为真命题,则4=4a2-4(2-a)>0,解得a<-2或a1,所以实数a 的取值范围是(-co,-2]U(1. I触类旁通 由命题的真假求参数取值范围的策略 (1)全称量词命题可转化为恒成立问题,存在量词命题可转化为存在性问题. (2)含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,转化为函数的最值解决 =即时训练(2025黑龙江大庆模拟)已知命题“xEtx-2<3,使得等式2x-m=0成 立”是假命题,则实数n的取值范围是__. 答案:(-o,-4][6,+) 解析:若原命题为真命题,则xe(x-23,使得m-2x成立,则一4<m<6,故若原命题 为假命题,则实数m的取值范围是(-o,-4U[6,+oo) 课时作业 一、单项选择题 1. (2024广东梅州一模)命题“xE(0,+),lnx=x-1”的否定是( ~ A. xE(0,+o),lnxx-1 B. x(0,+co),lnx=x-1 C. VxE(0,+co),lnx字x-1 D. Vx(0,+),lnx-x-1 答案:C 解析:存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题“我E(0,+o),lnx一x一1”的否 定是“xE(0,+),lnxx-1”.故选C 2.(2025鄂豫院五十三校联考)已知命题p:有些实数的相反数是正数,则涕y是( ) , 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A. xER,-0 B. xER,-x>0 C.ER,-0 D. ER,-x 答案:B 解析:已知命题p:有些实数的相反数是正数,即p:tER,一x>0,则线p:xER,-x <0.故选B 3.(2025天津北辰区模拟)对于实数x,“x5”是“x一3关2”的( A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案:B 解析:因为x-32等价于x≠1且x5,且(-,1)U(1,5)U(5,+o)是(-,5)U(5. 十)的真子集,所以“x字5”是“x一32”的必要不充分条件,故选B 4. 设非空集合P,Q满足POO=P,则( A. VxEO,有xEP B. O,有xP C. xO,使得xEP D. EP,使得xC 答案:B 解析:因为POO一P,所以PCO,所以VxO,有xP故选B 5. 若xy0,则“x+y=0”是“x+xy=-2”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案:C 解析:解法一:充分性:因为xy≠0,且x十y=0,所以x=-y,所以yx十xy=y-y+-y -1-1=-2,所以充分性成立;必要性:因为xy≠0,且w+xy=-2,所以x2+--2xy. 即x②+y②+2xy=0,即(x+y)②=0,所以x+y=0,所以必要性成立,所以“x+y=0”是“y +xy三-2”的充要条件,故选C 解法二:充分性:因为xy≠0,且x+y=0,所以w+xy=x2+y2xy=x2+y2+2xy-2xyxy= 2 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxKCom_ 您身边的互联网+教辅专家 (x+y)2-2xyxy=-2xyxy=-2,所以充分性成立;必要性:因为xy0,且x+xy=-2. 所以x+xy=x2+y2xy=x2+y2+2xy-2xyxy=(x+y)2-2xyxy-(x+y)2xy-2=-2,所 以(x十y)2xy=0,所以(t+y)2=0,所以x+y=0,所以必要性成立.所以“x十y=0”是“x +xy一一2”的充要条件,故选C 6.(2025云南昆明一中阶段考试)已知命题p:我>0,x+a-1一0,若p为假命题,则实数a 的取值范围是( ) A. faa1 B. (aa1 C. (aa>1 D.fala二1 答案:D 解析:.p为假命题,.p为真命题,即x>0,x+a-1≠0,即vx>0,x≠1-a,..1-a <0,则a1,.实数a的取值范围是(aa三1. 7.(2024四川成都模拟)命题p:x>1,x+2x-3>0,命题q:xER,2x2-4x+3-0,则 _ A.p真q真 B.p假q假 C.p假真 D.p真假 答案:D 解析:对于命题p:令t-x1,则y=2r+t-3=(2t+3)(t-1),由二次函数的图象可知,当 t1时,y=2^+t-30,所以Vx>l,x+2x-3>0,即命题p为真命题;对于命题q:因为4 =(-42-4×2×3=-8<0,所以方程2-2-4x+3-0无解,即命题a为假命题,故选D 8. (2025云南名校联考)已知集合A=(xx-x-2<0},B=(x2a-1a+3:若“xEA”是 “xEB”的充分不必要条件,则a的取值范围为( ) A.[一1,0] B.(一1,0) C.[4,+~) D.(4,+~) 答案:A 解析:由x-x-2<0,解得-1<x2,则A=[x-1~2,若“xEA”是“xEB”的充分不 必要条件,则集合A是集合B的真子集,所以2a一1一1,a十3>2,)且等号不同时成立,解 得一1<a<0,所以a的取值范围为[一1,0] 二、多项选择题 9. 下列四个选项中,a是p的充要条件的是( 。 A. p:a=0,b=0,)q:a+b-0,a-0) B.p:a-1,b-I,)q:a+b-2,ab-l) C. p:a>0,b→0,)q: a+b→0,ab>0) D. p:a>l,b>I,)q:a+b>2,ab>1) 答案:ABC 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxxEomD 您身边的互联网+教辅专家 解析:对于A,由a=0,b=0,可得a十b=0,ab=0,反之也成立,..a是p的充要条件; 对于B,由a=1,b=1,可得a十b=2,ab=1,反之也成立,..a是p的充要条件;对于C 由a0,b>0,可得a+b>0,ab>0,反之也成立,..a是p的充要条件;对于D,由a1,b >1,可得a+b>2,ab1,反之不成立,例如取a=6,b-l2,.,a是p的必要不充分条件。故 选ABC 10.(2025湖南长沙一中模拟)下列命题中,是真命题的是( _~ A. VxE[0,+oo),3+x0 B. 若x十y6,则x,v中至少有一个数大于3 C. xER,22 D. 命题“<0,x2-x-2<0”的否定是“x>0,x-x-2>0” 答案:AC 解析:对于A,当x0时,x3>0,所以x十x→0,故A是真命题;对于B,取x=3,v=3. 显然为假命题,故B是假命题;对于C,取x三一1,因为2-1(一1)2,故C是真命题;对于 D,命题“x<0,x2-x-2<0”的否定是“x<0,x2-x-20”,故D是假命题.故选AC 11. 命题“三1,2,x2<a”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.a1 B. a4 C.a>-2 D.a=4 答案:B 解析:命题“xE[l,2],x2<a”等价于a1,即命题“E[l,2],x2<a”为真命题,所 对应的a的取值范围为[1,+),所求的一个充分不必要条件所对应的集合真包含于[1,+ o),显然只有B,D正确.故选BD 三、填空题 12. 《墨子经说上》上说:“小故,有之不必然,无之必不然,体也,若有端,大故,有之必 然,若见之成见也,”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想,那么文中的“小故”指的是逻 辑中的 (填“充分条件”“必要条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”). 答案:必要条件 解析:由“小故,有之不必然,无之必不然”,知“小故”是导致某个结果出现的几个条件 中的一个或一部分条件,故“小故”指的是逻辑中的必要条件。 13.(2025江西九江模拟)已知命题:“Vx三R,方程x2十4x十a一0有解”是真命题,则实数a 的取值范围是 答案:(一o,4] 解析:因为命题“xER,方程x2+4x+a=0有解”是真命题,所以4-16-4a>0,解得a 4 10