第1章 第1讲 集合-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲 集合 课程标准1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言和图形语言的 基础上，用符号语言刻画集合，了解全集与空集的含义2理解集合之间包含与相等的含义， 能识别给定集合的子集3理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集， 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集，能使用Vem图表达集合 的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 基础知识整合 知识梳理 1.集合的概念 (I)集合中元素的三个特征：spl0I)确定性、spl02)互异性、upl03)无序性 (2)元素与集合的关系是spl04)属于或1spl05不属于两种，用符号spl06∈或」 sp107)庄表示. (3)集合的表示法：spl08)列举法、supl09)描述法、spl10)图示法. (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 supl(12)N"( 符号 s upl(1DN sup1(1317 slup1(14Q sump1(15)R 或N+) 2.集合间的基本关系 表示 文字语言 符号语言 关系 supl(17AcB且1 相等 构成两个集合的元素是supl(16一样的 Sp1I8)B4台A=B 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 splI9ASB或B24 集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B, 真子集 sup120AB或B4 且xEA 任何一个集合是它本身的子集 A二A 结论 若A是B的子集，B是C的子集，则A是C ASB,BCC→spI2IASC 学科网书城面 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 的子集 空集是spl22)任何集合的子集，是」 0c40 B(B≠O) sp123)任何非空集合的真子集 3.集合的基本运算 并集 交集 补集 图形 408 aQB u@ AUB=s1pl24)xr∈ AnB=spl25xx∈A,且x CUA=sup1(26)xlx 符号 A,或x∈B ∈B} ∈U,且x睡A 4集合的运算性质 (I)并集的性质：AUA=A;AUO=A;AUB=BUA:(AUB)2A;(AUB2B. (2)交集的性质：AnA=A:A∩0=O:A∩B=BnA:(A∩B)C4:(AnB)CB (3)补集的性质：C(C4)=ACU=O:CO=U:An(C4)=O:AU(C4)=U 知识拓展 1.子集个数 若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2，真子集的个数为2一1，非空真子集 的个数为2-2 2.等价关系 ASBOAUB=BOA0B=AC42CB. 3.交集与并集的转化 (C4)(CB)=C0(4UB), (CuA)U(C B)=C (AnB). 4.元素个数 用card(A)表示有限集合A中元素的个数.对任意两个有限集合A,B,有card(AUB)=card ()+card(B)-card(AnB). 双基自测 1.下列说法正确的是() A.若1∈{x2,x,则x=-1或x=1 B.==fy==,y)v= C.若A∩B=A∩C,则B=C D.对任意集合A,B,都有(A∩B)S(AUB) 答案：D 2 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 解析：对于A,若1∈{x2,x},则x=-1,A错误：对于B,xy=x}=R,=}=(O, 十∞)，{(x,)y=x}是由函数y=x图象上的点构成的集合，B错误：对于C,例如A={1} ,B={0,1},C={-1,I},虽有A∩B=A∩C,但是B≠C,C错误.故选D 2.(2025辽宁丹东高三开学考试)已知集合A={x一1x3,x∈N},则集合A的真子集的个 数为() A.3 B.4 C.7 D.8 答案：C 解析：A={x-1x3,x∈N}={0,1,2},其真子集有0,0}，{1}，2}，0,1}，{0,2}， 1,2},共7个.故选C 3.(人教A必修第一册习题1.2T5改编)设集合M={5,x2},N={5x,5},若M=N,则实 数x的值组成的集合为( A.5} B.{1} C.0,5} D.0,1} 答案：C 解析：因为M=N,所以x2=5x,解得x=0或5，所以实数x的值组成的集合为{0,5}.故 选C 4.设全集U=0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},W=0,1,6},则Wn(C0= MU(CoN)= 答案：1}{0,2,4,6,8} 解析：因为U=0,1,2,4,6,8},M={0,4,6},N={0,1,6},所以CM={1,2,8}, CW=2,4,8},所以Nn(CM0={1},MU(CN)=0,2,4,6,8;. 5.(人教B必修第一册习题1一1BT6改编)已知A=[-2,1],B=as4acol(-oo,一 f仰3)，且BCR4,则实数p的取值范围是 答案：[6，十∞) 解析：因为A=[-2,1],所以CR4=(-∞，一2)U(1,+∞)，又因为B=lavs4 alco1(-o, 一P3),且BC4,所以一p3≤一2，解得p≥6，所以实数P的取值范围是[6，+∞) 核心考向突破 考向一集合的含义与表示 例①Q)(2025广东清远模拟)已知集合A=1,2,3},B=3,5,则C==2a+b,a ∈A,b∈B}中的元素个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 3 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 答案：B 解析：由题意，x=2a+b,当a=1,b=5时，x=7:当a=1,b=3时，x=5:当a=2,b =5时，x=9:当a=2,b=3时，x=7；当a=3,b=5时，x=11；当a=3,b=3时，x= 9.由集合中的元素满足互异性，可得C={5,7,9,11}.故选B (2(多选)若2∈{m一1,2m,m2-1},则实数m的可能取值为() A.3 B.3 C.1 D.-3 答案：ABD 解析：①若m一1=2，则=3，此时集合中的元素为2,6,8，满足题意.②若2m=2,则 m=1,此时m2-1=m-1=0,不满足集合中元素的互异性.③若m2-1=2,则m=士3，当 m=3时，集合中的元素为3一1,23,2，满足题意：当m=一3时，集合中的元素为一3一1， 一23,2，满足题意.故选ABD (3)已知集合A={x∈Rar2-3x十2=05. ①若集合A=⑦，则实数a的取值集合为 ②若集合A中只有一个元素，则实数a的取值集合为 答案：①a b icnalvss4alco1(a>f98)》②0，f98) 解析：①若A=0,则关于x的方程a2-3x十2=0无实根，当a=0时，A=23,不符合 题意：当a≠0时，由4=9-8a0,得a>98.综上，实数a的取值集合为a blc(aws4alcol(a-f(98)))). ②集合A={x∈R2-3x十2=0}中只有一个元素，当a=0时，可得x=23,集合A中只有 一个元素23：当a≠0时，方程am2-3x十2=0只有一个解，即4=9一8a=0,可得a=98.综 上，实数a的取值集合为0,98) 【触类旁通理解集合的含义的两个关注点 ()明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合. (②)看集合的构成元素满足的限制条件是什么 注意：利用集合元素的限制条件或元素与集合的关系求参数的值或确定集合中元素的个数时， 要注意检验集合是否满足元素的互异性。 目即时训练1.(2025江苏南京模拟)集合c,)2+y≤6，x,y∈N}中的元素个数为() A.1 B.3 C.4 D.6 答案：D 解析：，y2x+y≤6，x,y∈N}={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2)},故 有6个元素，故选D. 4 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 2.(2024河南新乡模拟)下列集合中有无数个元素的是( Ar∈Nbicilnaws.4 alcol(f4)∈W》 B.xEZb c\(awvs4 alcol(f(4x)EN))) C.xENblcl(aws4allcol(y(4x)EZ))) DxEOb lcl(awvs4alicol(f4x)EN))) 答案：D 解析：对于A,因为x∈N,4r∈N,则x=1,2,4,所以x∈Wblc个avs4 alcol0f4)∈W》 =1,2,4},故A不符合题意：对于B,因为x∈Z,4红∈N,则x=1,2,4,所以x∈Z bucnawvs-4alco0f4)e》=1,2,4},故B不符合题意；对于C,因为x∈N,r∈Z, 则x=1,2,4,所以x∈Wb1lc0aws4aco104∈Z》=1,2,4},故C不符合题意；对 于D,x∈2bcnalvs4alco1(f4)eN)有无数个元素，故D符合题意.故选D. 3.(2025河南洛阳模拟)若集合A=x2mx一3>0，m∈R},其中2∈A且1生A,则实数m的 取值范围是() A \awvs4al\colAf(332) B.f332) C.\aws4alcol(f(332) D.f332) 答案：A 解析：由题意可得2m×2-3>0,2m×1一3<0，)解得349m≤32.故选A 考向二集合间的基本关系 例22023新课标1卷)设集合4=0，一a,B={1,a-2,2a-2},若AcB,则a=() A.2 B.1 C.23 D.-1 答案：B 解析：因为A二B,若a-2=0,解得a=2,此时A={0,一2}，B=1,0,2},不符合题意： 若2a-2=0,解得a=1,此时A=0,-1},B=1,-1,0},符合题意.综上所述，a= 1.故选B (2(2025四川成都诊断考试)集合M={xk=5k-2,k∈Z},P={x中=5n+3,n∈Z},S=x k=10m+3,m∈Z的关系是( A.SCPCM B.S=PCM C.SSP=M D.P=MSS 答案：C 解析：任取a∈M,则a=5k-2=5k-1)+3,∈Z,所以a∈P,所以McP;任取b∈P, 则b=5m1+3=5h1十1)-2，m1∈Z,所以b∈M,所以PCM,所以M=P:任取c∈S,则c =10m1+3=5×2m1+3,m1∈Z,所以c∈P,所以ScP,又8∈P,8年S,所以S≠P,所以 ScP=M.故选C (3)已知集合A={xx+1)(x一6)≤0}，B=xm一1≤x≤2m+1}.若BCA,则实数m的取值范 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 围为 答案：n bilc(alvs4 al col(m<-2,或0sm≤f52》 解析：由题意，知A={x-1≤x≤6}，若B二4，则当B=⑦时，有m一1>2m十1，即m<-2, 符合题意：当B≠0时，有m一1≤2m十1，m一1≥一1,2m十1≤6，解得0≤m≤52.综上，实 数m的取值范围为mbc(avs4alco1(m<一2，或0sms52), 1触类旁通 1.判断两集合间关系的三种方法 列举法 先用列举法表示集合，再从元素中寻 求关系 化简集 对集合中的表达式进行变形、化简，再 合法 寻求两个集合间的关系 在数轴上表示出两个集合，比较端点 数抽法 值之间的大小关系，从而确定集合间 的关系 2.由集合间的关系求参数的解题策略 ()若集合元素是一一列举的，则将集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足 的关系，此时注意集合中元素的互异性 (②)若集合表示的是不等式的解集，常倩助数轴转化为区间端点间的关系，进而转化为参数满 足的关系，此时需注意端，点值能否取到。 提醒：题目中若有条件BCA,则应分B=O和B≠O两种情况进行讨论， 目即时训练1.(2025晋中高三阶段练习)给出下列关系：①0∈{0}：②00}：③0,1号 二0,1)}：④(a,b)}={6,a}.其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：对于①，因为0是0；的元素，所以0∈0}，故①正确：对于②，因为空集是任何非 空集合的真子集，所以0{0}，故②正确；对于③，因为集合{0,1}的元素为0,1，集合(0 ,1)}的元素为(0,1)，两个集合的元素全不相同，所以{0,1}，{0,1)}之间不存在包含关 系，故③错误；对于④，因为集合{(a,b)}的元素为(a,b),集合{b,a)}的元素为(b,a), 两个集合的元素不一定相同，所以{(@，b),{b,a}不一定相等，故④错误.故选B 2.(2025福建厦门模拟)设集合A=x1≤x≤3}，B=x=x一I},若ACB,写出一个 符合条件的集合C,则C=(写出一个即可) 答案：x1≤x≤5}（答案不唯一） 6 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 解析：A=1≤x≤3}，B={xy=x一I}=xr≥1}，若ACB,则可有C=x1≤x≤5}. 3.设A=xr2+4x=0},B={xr2+2(a+1)x十a2-1=0}. (I)若BCA,则实数a的取值范围为 (2)若A二B,则实数a的取值范围为 答案：(1){aa≤-1，或a=1}(2)1} 解析：由题意，得A={-4,0}. (I)Bc4,∴.B=O或B={-4}或B={0}或B={-4,0}.当B=0时，x2+2(a+1)x+a2-1 =0无解，即4=4(a+1)2-4a2-1)=8a十8<0，解得a<-1:当B={-4}或B=0}时，x2 +2(a+1)x十a2-1=0有两个相等的实数根，则d=8a十8=0，.a=一1，此时B=0},符 合条件：当B={-4,0}时，一4和0是方程x2+2(a十1)x十a2-1=0的两个根，则d=8a+8 >0,一4十0=-2(a+1),一4×0=a2-1,解得a=1综上所述，实数a的取值范围为{ala ≤-1，或a=1} (2)AcB,∴.B={-4,0},由(1)知a=1. 考向三集合的基本运算多角度深究突破 角度1 集合间的交、并、补运算 例3L2024新课标1卷)已知集合A={树-53<5，B={-3,-1,0,2,3},则AnB =() A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 答案：A 解析：因为A=x-35x<35},B={-3,一1,0,2,3}，且注意到1<35<2，从而A∩B= {-1,0}.故选A (2)设全集U=R,集合M=x<1},N={x-1x2},则{xr≥2}=() A.CMUN) B.NU(CM C.Cu(MnN) D.MU(CN) 答案：A 解析：由题意可得MUN=xr2},则CMU)=xr≥2}，A正确：CM={xr≥1}，则N U(CM0=x-1},B错误：MnW=x-1x<1},则CMnM=xr≤-l,或x≥1}，C 错误；CN=r≤-1，或x≥2}，则MU(CM=x<I,或x≥2；，D错误.故选A (3)已知M,N均为R的子集，且CRMEN,则MU(CR)=() A.0 B.M C.N D.R 7 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 答案：B 解析：解法一：，CRM仁N,2CRN,据此可得MU(CRN=M.故选B 解法二：如图所示，设矩形区域ABCD表示全集R,矩形区域ABHE表示集合M,则矩形区 域CDEH表示集合CRM,矩形区域CDFG表示集合W,满足CRMEN,结合图形可得MU (CRN)=M.故选B. 触类旁通」集合基本运算的求解策略 (I)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助e图 运算. (②)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解，对于端，点处的取舍，可以单独检脸， (③)解决抽象集合（没有给出具体元素的集合）间的关系判断和运算问题的途径有两条：一是利 用特殊值法将抽象集合具体化：二是利用图形化抽象为直观 目即时训练>1.(2025八省联考)已知集合A=-1,0,1,B=0,1,4?,则AnB=() A.{0 B.13 C.0,1} D.{-1,0,1,4} 答案：C 解析：由题意可得A∩B=0,1},故选C 2.(2025湖南长沙雅礼中学模拟)已知全集U=1,2,4,6,8},集合M=x2-3x+2=0} ,N={r=4a,a∈M},则CMU)=() A.{6 B.{4,6,8} C.{1,2,4,83 D.1,2,4,6,8} 答案：A 解析：由题意，知M={1,2},N={4,8},则MUN=1,2,4,8},所以CMU0={6 ·故选A 3.已知集合A=xb1caws4 alcol(f1xsI),B={x0<1},则(C4)nB=() A.[0,1) B.(0,1) C.(-1,0)U(0,1) D.(-1,1) 答案：B 解析：由1x≤1，可得x0或x≥1，即A=(-∞，0)U[1,十∞)，C4=[0,1),由0 <x<1,可得一10或0<1，即B=(-1,0)U(0,1),所以(C4)∩B=(0,1).故选B. 8 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 角度2利用集合运算求参数 例4（①）已知集合A={x∈Z-1s3,B={x3x-a0,且An(CB)={1,2,则实数a 的取值范围为( A.0,4) B.(0,4 C.(0,3] D.(0,3) 答案：C 解析：由集合A={x∈Z-1x3}=0,1,2;,B={x3x-a0}=x bucnaivs4 alcol<ya3),可得CRB=xiblc(ais4-al col之fa3,因为An(CrB)={1 ,2},所以0<a3≤1，解得0<a≤3，即实数a的取值范围是(0,3.故选C (2)已知集合4=x3x2-2-1≤0}，B={x2ax<a+3}. ①若A∩B=O,则实数a的取值范围是 ②若(C4)UB=R,则实数a的取值范围是 答案：①bvcnavs-4 alcol(as-f10I2)》 ②ab c(aws.4 allcol(-2<a<-f16月 解析：A={x3x2-2x-1≤0}=xbel0alvs4 allcol(-fl3sr≤l) ①若AnB=⑦，则当B=O时，实数a需满足2a≥a十3，解得a≥3，符合题意：当B≠② 时，实数a需满足a<3,13)或a<3,2a21,)解得a≤-103或12≤a3,所以实数a的取值 范围是abucnalvs4 al\col(a≤-f1012)) ②CR4=xblc(avs4 alcol(x<一13)，或x>I)川)，若(CR4)UB=R,则实数a需满足2a <-f13a十3>1，解得-2<a<-16,所以实数a的取值范围是alb lcnalvs4 alcol(-2 <a<一f16)) I触类旁通】根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举，则用观察 法得到不同集合中元素之间的关系：若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴抽解决， 要注意端点值能否取到 (②)将集合之间的关系转化为解方程（组）或不等式（组）问题求解. (③)根据求解结果来确定参数的值或取值范围。 目即时训练1.(2024九省联考)已知集合A={-2,0,2,4,B=收-3引≤m,若AnB =A,则m的最小值为 答案：5 解析：由AnB=A,得A二B,由比一3到≤m,得一m十3≤x≤m+3,故有4sm十3，一22一m 十3，)即m21,m25,)即m≥5，故m的最小值为5 2.已知集合P=y2-y-2>0},Q={x2+a十b≤0}，若PUQ=R,PnQ=(2,3],则@ 9 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 tb= 答案：一5 解析：P=y2-y-2>0}={yy>2,或y-1},:PUQ=R,P∩2=(2,3]，.2={x-1 ≤x≤3}，∴.一1,3是方程x2十m十b=0的两根，由根与系数的关系得，一a=一1十3=2，b =-3,.a十b=-5 考向四集合的新定义问题 例⑤(2025山东青岛模拟)若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若 两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”·对于集合A=一1， l2),),B=a2=1,a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为 答案：0或1或4 解析：因为B=xlax2=1,a≥0}，若a=0,则B=O,满足B为A的子集，此时A与B构 成“全食”；若a>0,则B=x bcnalvs4 alcol(2=fla)=fla)a.若A与B构成“全食 ”或“偏食”，则1a=1或Ia=l2,解得a=1或a=4综上，a的值为0或1或4 【触类旁通】解决以集合为背景的新定义问题要抓住的两点 (①)紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用 到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题雄，点的关键所在， (②)用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些国素，在关健之处 用好集合的运算与性质. 目即时训练(2025山东泰安模拟)对于非空数集A={a,a2,ag,,an∈N),其所有 元素的算术平均数记为E(4),即E(4)=al十a2十a3十…十am.若非空数集B满足下列两个条 件：①BCA:②E(B)=E(4),则称B为A的一个“保均值子集”，据此，集合{1,2,3,4， 5的“保均值子集”有() A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 答案：D 解析：设集合A={1,2,3,4,5},则该集合中所有元素的算术平均数E4)=1十2十3十4 十55=3，所以由新定义可知，只需找到非空数集B满足BC4,且E(B)=3即可，据此分析 易知，集合1,2,3,4,5}，{1,2,4,5}，1,3,5}，2,3,4}，{1,5}，{2,4}，{3} 都符合要求，故集合{1,2,3,4,5}的“保均值子集”有7个，故选D 课时作业 一、单项选择题 1.(2024全国甲卷)集合A=1,2,3,4,5,9},B={x+1∈A},则A∩B=() 10