精品解析：江苏省泰州市泰兴市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2025年春学期八年级期中学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分） 注意： 1，本试卷分选择题和非选择题两部分； 2．所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 3．作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的为（ ） A. 天内下雨 B. 打开电视机，正在播放广告 C. 人中至少有人的生日相同 D. 抛掷硬币，正面向上 3. 下列运算一定正确是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，增加下列条件可使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 用反证法证明：“在中，对边分别是a、b．若，则．”第一步应假设（ ） A. B. C. D. 6. 经调查，甲、乙两个学校学生人数不相等，但人数均在之间（不包括500和600），两个学校的男女生比例如图所示，则这两个学校的男生人数（ ） A. 甲校多 B. 乙校多 C. 相等 D. 无法比较 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 7. __________． 8. 为了解某校1200名八年级学生的身高情况，学校体育组从全体八年学生中随机抽取了男生与女生共50名学生测量身高，在本次调查中，样本容量是__________． 9. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 10. 在平行四边形中，，则___________． 11. 转动如图的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字______的区域的可能性最小． 12. 若，且n为整数，则n的值为________． 13. 如图，中，D、E分别是的中点，平分，交于点F，若，则的长为__________． 14. 如图，将含有的三角尺绕点按逆时针方向旋转到的位置，若，当点恰好落到的一边上时，连接，则线段__________． 15. 如图，在矩形中，，为对角线，三条线段中其中两条线段的平方和等于第三条线段平方的11倍，则__________． 16. 泰州市体育中考现场考试选项规则如下表： 项目 耐力（必选） 素质（必选） 素质（任选一项） 球类（任选一项） 男生 米跑 引体向上 短跑、立定跳远 篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆 女生 米跑 仰卧起坐 短跑、立定跳远 篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆 对初三某班40名同学的体育选考项目情况进行了统计（无“免试”或“缓试”），并根据其中部分信息绘制了下表： 项目 素质 球类 立定跳远 短跑 篮球绕杆 排球垫球 足球绕杆 男生 女生 总计 以下四个推断中，推断正确的有__________（填序号）． ①一定有女生选择了短跑； ②一定有男生同时选择短跑和足球绕杆； ③至少有名女生同时选择立定跳远和篮球绕杆； ④男生中同时选择短跑和篮球绕杆的至多有人． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2） 18. 已知实数a、b满足，求的值． 19. 若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设，则这个三角形的面积（海伦—秦九韶公式）．当时，求S的值． 20. 如图1，点是边上一点（不与点，重合），连接．用尺规作，点在边上． 作法①：以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则． 作法②：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则． 以上两种作法中，一定正确的是作法__________（填序号），并利用图2写出证明过程． 21. 在一个不透明的口袋里装有15个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表． 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 摸到红球的频数n 123 243 487 725 964 摸到红球的频率 0.820 0810 0.812 0.806 0.803 （1）发现：摸到红球的频率在常数__________（精确到0.01）附近摆动，推测：摸到红球的概率是__________（精确到0.1） （2）求口袋中红球的个数． 22. 某市2010年有劳动力约3100000人，2020年有劳动力约3400000人，该市2010年和2020年劳动力人口分布情况如图： （1）该市2010年男性劳动力人口占__________，2020年女性劳动力人口占__________； （2）该市2020年劳动力人口比2010年增加的百分率__________（精确到）； （3）小明说：“该市2020年男性劳动力人口的百分数比2010年减少了，所以该市2020年男性劳动力人口数比2010年的也减少了”．判断小明的说法是否正确，并说明理由． 23. 如图，在四边形中，点E、F分别在、上，连接、，相交于点O．下列三个条件：①；②垂直平分；③平分，从中选择两个作为条件，使四边形是菱形，并写出你的证明过程．你选择的条件为__________（填序号）． 证明： 24. 已知，在中，是边上的中线． （1）如图1，若，仅用圆规1次，作边的中点E（不写作法，保留作图痕迹），并利用备用图说明理由： （2）如图2，，点Q是边上一动点，连接，若，则__________． 25. 【问题探究】 数学中的“构图法”是一种通过图形或图像来辅助理解、分析和解决数学问题的策略．通过学习，同学们会发现在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），利用格点构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 如图1，构造，．根据“三角形任意两边之和大于第三边”，可得，所以． 【直接应用】 （1）仅用无刻度的直尺构造图形（画出图形，无需说明理由）： ①在图2中，，作； ②在图3中，说明：． 【迁移运用】 （2）在图4中，构造图形，解决以下问题：在中，，求边上的高的长． 【拓展提升】 （3）已知，点是一次函数图像上一点，则的最小值为__________． 26. 如图，在正方形中，点E是射线上一点，连接，以为边，在右侧作正方形，连接． （1）如图1，点E在线段上，证明：； （2）如图2，点E在的延长线上，与相交于点H，若正方形的边长为4，设的面积为，的面积为，在点E的运动过程中，发现：，中有一个是定值，请把它找出来，并求出这个定值； （3）当点E在的延长线上时，设正方形和正方形的对称中心分别是P、Q，连接． ①证明：； ②连接，探索线段、、之间的数量关系，直接写出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期八年级期中学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分） 注意： 1，本试卷分选择题和非选择题两部分； 2．所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 3．作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列事件中，是必然事件的为（ ） A. 天内下雨 B. 打开电视机，正在播放广告 C. 人中至少有人的生日相同 D. 抛掷硬币，正面向上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件与必然事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件，据此判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、天内下雨，是随机事件，该选项不合题意； 、打开电视机，正在播放广告，是随机事件，该选项不合题意； 、人中至少有人的生日相同，是必然事件，该选项符合题意； 、抛掷硬币，正面向上，是随机事件，该选项不合题意； 故选：． 3. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质和运算法则，进行计算即可． 【详解】解：A、不能合并，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算正确，符合题意； D、不能合并，原运算错误，不符合题意； 故选C 4. 如图，已知，增加下列条件可使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形平行四边形； 故选项正确，符合题意； B．增加不能判定四边形是平行四边形；故选项不符合题意； C．增加不能判定四边形是平行四边形；故选项不符合题意； D．增加不能判定四边形是平行四边形；故选项不符合题意；； 故选：A． 5. 用反证法证明：“在中，对边分别是a、b．若，则．”第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题关键．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可． 【详解】解：用反证法证明：“在中，对边分别是a、b．若，则．”第一步应假设， 故选：D． 6. 经调查，甲、乙两个学校的学生人数不相等，但人数均在之间（不包括500和600），两个学校的男女生比例如图所示，则这两个学校的男生人数（ ） A. 甲校多 B. 乙校多 C. 相等 D. 无法比较 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形图，根据扇形统计图中男生的占比求出男生的人数的范围即可求解． 【详解】解：由题意可知，甲、乙两个学校的学生人数不相等，但人数均在之间（不包括500和600）， ∵甲校的男生占比为，乙校的男生占比为， ∴甲校的男生人数为（不包括250和300），乙校的男生人数为（不包括300和360）， ∴乙校多， 故选：B． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 7 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将转化为，即可化简． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 为了解某校1200名八年级学生的身高情况，学校体育组从全体八年学生中随机抽取了男生与女生共50名学生测量身高，在本次调查中，样本容量是__________． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了样本容量，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 【详解】解：学校体育组从全体八年学生中随机抽取了男生与女生共50名学生测量身高， 则在本次调查中，样本容量是50， 故答案为：50． 9. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 10. 在平行四边形中，，则___________． 【答案】##140度 【解析】 【分析】根据平行四边形，得到，结合，计算即可，本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 转动如图的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字______的区域的可能性最小． 【答案】2 【解析】 【分析】整个圆面被等分成八份“1”占了3份，“2”占了2份，“3”占了3份，根据概率计算公式可求出答案． 【详解】解：根据转盘可知，圆面被等分成8份，“1”占了3份， ∴指针指向“1”的概率为：； “2”占了2份， ∴指针指向“2”的概率为：； “3”占了3份， ∴指针指向“3”的概率为：． ∵＜， ∴指针指向“2”的可能性最小， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了几何概率的求法，考查学生对简单几何概型掌握情况，避免了单纯依靠公式机械计算，又可体现数学知识在生活中的应用，解题关键在于对等可能性事件概率的熟练掌握． 12. 若，且n为整数，则n值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据无理数的估算，进行求解即可． 【详解】解：∵，即：， ∴的值为； 故答案为：3． 【点睛】本题考查无理数的估算．熟练掌握无理数的估算方法，是解题的关键． 13. 如图，中，D、E分别是的中点，平分，交于点F，若，则的长为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，根据三角形的中位线的定理，得到，根据平行结合角平分线得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵中，D、E分别是的中点，， ∴， ∴， ∵平分， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 14. 如图，将含有的三角尺绕点按逆时针方向旋转到的位置，若，当点恰好落到的一边上时，连接，则线段__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分三种情况讨论，一是点落在边上，由，，求得，由，求得，由旋转得，，则是等边三角形，所以，则是等边三角形，所以；二是点落在边上，则，，求得；三是由，可知当点落在边上时，则点与点重合，此时不存在线段，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点落在边上，连接， ，，， ， ， ， 将绕点逆时针方向旋转得到， ，， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ； 如图2，点落在边上，连接， ，， ； ， 当点落在边上时，则点与点重合，此时点与点重合， 不存在线段， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，为对角线，三条线段中其中两条线段的平方和等于第三条线段平方的11倍，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形性质、勾股定理及二次根式性质解方程等知识，由矩形性质得到，在中，由勾股定理可得，等量代换确定，再由题意分两种情况讨论即可得到答案．熟记矩形性质、勾股定理等知识是解决问题的关键． 【详解】解：在矩形中，，为对角线，则， 在中，由勾股定理可得， ， 三条线段中其中两条线段的平方和等于第三条线段平方的11倍， 分两种情况： 当时， 由可得， 解得， ， 此种情况不存在； 当时， 由可得， 解得， 将代入得， 解得， ， 故答案为：． 16. 泰州市体育中考现场考试选项规则如下表： 项目 耐力（必选） 素质（必选） 素质（任选一项） 球类（任选一项） 男生 米跑 引体向上 短跑、立定跳远 篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆 女生 米跑 仰卧起坐 短跑、立定跳远 篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆 对初三某班40名同学的体育选考项目情况进行了统计（无“免试”或“缓试”），并根据其中部分信息绘制了下表： 项目 素质 球类 立定跳远 短跑 篮球绕杆 排球垫球 足球绕杆 男生 女生 总计 以下四个推断中，推断正确的有__________（填序号）． ①一定有女生选择了短跑； ②一定有男生同时选择短跑和足球绕杆； ③至少有名女生同时选择立定跳远和篮球绕杆； ④男生中同时选择短跑和篮球绕杆的至多有人． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查统计表的读取分析能力，其中①②③④每个选项都需先读懂题目，然后在得出各个项目人数的前提下进行判断即可．解题的关键：在于读懂统计表后，找出各个项目人数的多少，再根据人数的多少判断①②③④各个选项是否正确，需要一定的逻辑思维，对逻辑思维有一定的锻炼． 【详解】解：通过立定跳远，得知：女生人，总计人，则男生有：（人）； 通过足球绕杆，得知：男生人，总计人，则没有女生选择足球绕杆； ∵每位同学均需要在素质（短跑、立定跳远）中选择一项， ∴男生共有：（人）， ∴女生共有：（人）， ∴选择短跑的女生有：（人）； ∵每位同学均需要在球类（篮球绕杆、排球垫球、足球绕杆）中选择一项， ∴选择篮球绕杆的男生有：（人）， 选择排球垫球女生有：（人）； ①∵选择短跑的女生有人， ∴一定有女生选择了短跑，故①正确； ②∵选择短跑的男生有人，在球类中选择篮球绕杆的有人，选择排球垫球的有人，选择足球绕杆的有人， 假如选择短跑的名男生中，选择篮球绕杆的有人，选择排球垫球的有人，则没有男生选择足球绕杆， ∴无法判定一定有男生同时选择短跑和足球绕杆，故②不正确； ③∵选择立定跳远的女生有人，在球类中选择篮球绕杆的有人，选择排球垫球的有人，选择足球绕杆的有人， 选择立定跳远的名女生中，假如选择排球的有人，则必有人选择篮球绕杆， ∴至少有名女生同时选择立定跳远和篮球绕杆，故③正确； ④∵选择短跑的男生有人，在球类中选择篮球绕杆的有人，选择排球垫球的有人，选择足球绕杆的有人， ∴男生中同时选择短跑和篮球绕杆的至多有人，故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再计算加减法即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 原式 18. 已知实数a、b满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，二次根式的运算，掌握非负数的和为0时，各个非负数都等于0是解决本题的关键．先根据非负数的性质求出a、b的值，再代入计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，则， ∴． 19. 若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设，则这个三角形的面积（海伦—秦九韶公式）．当时，求S的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质化简，掌握相关运算法则是解题关键．将a、b、c代入计算，先求出，再求出，最后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ． 20. 如图1，点是边上一点（不与点，重合），连接．用尺规作，点在边上． 作法①：以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则． 作法②：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则． 以上两种作法中，一定正确的是作法__________（填序号），并利用图2写出证明过程． 【答案】①，见解析 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作法①正确证明四边形是平行四边形可得结论． 【详解】解：作法①正确，方法二点有两个位置如图2，不一定平行； 理由：四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：①． 21. 在一个不透明的口袋里装有15个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表． 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 摸到红球的频数n 123 243 487 725 964 摸到红球的频率 0.820 0.810 0.812 0.806 0.803 （1）发现：摸到红球的频率在常数__________（精确到0.01）附近摆动，推测：摸到红球的概率是__________（精确到0.1） （2）求口袋中红球的个数． 【答案】（1）0.80，0.8 （2）60个 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．正确记忆概率所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1是解题关键． （1）从表中的统计数据可知，摸到红球的频率稳定在0.80左右，再利用频率估计概率即可； （2）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可． 【小问1详解】 解：发现：摸到红球的频率在常数0.80附近摆动，推测：摸到红球的概率是0.8； 故答案为：0.80，0.8； 【小问2详解】 解：设口袋中红球的数量为个， 则， 解得：， 答：口袋中红球的个数为60个． 22. 某市2010年有劳动力约3100000人，2020年有劳动力约3400000人，该市2010年和2020年劳动力人口分布情况如图： （1）该市2010年男性劳动力人口占__________，2020年女性劳动力人口占__________； （2）该市2020年劳动力人口比2010年增加的百分率__________（精确到）； （3）小明说：“该市2020年男性劳动力人口的百分数比2010年减少了，所以该市2020年男性劳动力人口数比2010年的也减少了”．判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1）65.7，36 （2） （3）不正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，从扇形统计图有效的获取信息是解题的关键： （1）根据扇形统计图，列出算式进行计算即可； （2）用2020年劳动力人口减去2010年的劳动力人口再除以2010年的劳动力人口进行计算即可； （3）分别求出2020年和2010年的男性劳动力人口数，进行比较判断即可． 【小问1详解】 解：； ； 故答案为：65.7，36； 【小问2详解】 ； 故答案为：； 小问3详解】 不正确，理由如下： （人）； （人）； ∵， ∴该市2020年男性劳动力人口数比2010年的增加了，故小明的说法不正确． 23. 如图，在四边形中，点E、F分别在、上，连接、，相交于点O．下列三个条件：①；②垂直平分；③平分，从中选择两个作为条件，使四边形是菱形，并写出你的证明过程．你选择的条件为__________（填序号）． 证明： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题关键．选择①②，根据垂直平分线的性质，证明，进而得到四边形的四条边相等，即可证明；选择②③，同理证明即可． 【详解】解：选择①②，证明如下： ， ， 垂直平分， ，，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形； 选择②③，证明如下： 垂直平分， ，，， ， 平分， ， ， 又，， ， ， ， 四边形是菱形． 24. 已知，在中，是边上的中线． （1）如图1，若，仅用圆规1次，作边的中点E（不写作法，保留作图痕迹），并利用备用图说明理由： （2）如图2，，点Q是边上一动点，连接，若，则__________． 【答案】（1）图见解析，理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）以D为圆心，的长为半径画弧交于E，则点E即为所求；连接，可证明，则，可证明，由三线合一定理即可证明结论； （2）当点Q为的中点时，此时是的中位线，此时满足，，当时，则是等边三角形，据此分别求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，以D为圆心，的长为半径画弧交于E，则点E即为所求； 理由如下：如图所示，连接， ∵是边上的中线， ∴， 由作图方法可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴点E为的中点； 【小问2详解】 解：如图所示，当点Q为的中点时， ∵是边上的中线， ∴此时是的中位线， ∴此时满足，， ∴，， 如图所示，当时，则是等边三角形， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 25. 【问题探究】 数学中的“构图法”是一种通过图形或图像来辅助理解、分析和解决数学问题的策略．通过学习，同学们会发现在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），利用格点构造某些图形可以发现和解决一些数学问题． 如图1，构造，．根据“三角形任意两边之和大于第三边”，可得，所以． 【直接应用】 （1）仅用无刻度的直尺构造图形（画出图形，无需说明理由）： ①在图2中，，作； ②在图3中，说明：． 【迁移运用】 （2）在图4中，构造图形，解决以下问题：在中，，求边上的高的长． 【拓展提升】 （3）已知，点是一次函数图像上一点，则的最小值为__________． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）6 【解析】 【分析】本题考查网格作图、勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定与性质、一次函数的几何应用、三角形的三边关系、两点之间线段最短等知识，掌握网格特点是解答的关键． （1）①根据网格特点和勾股定理及其逆定理，结合等腰直角三角形的判定与性质画图即可；②如图2，，，，由三角形的任意边之差小于第三边可得结论； （2）如图2，由网格特点和割补法求得，在利用三角形的面积公式求得高的长即可； （3）根据一次函数图象上的点的坐标特征得到，则，则，当A在线段上时，取等号，此时最小值为的长，利用两点坐标距离公式求得即可求解． 【详解】解：（1）①如图，即为所求作： 理由：，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②如图， 则，，， ∵， ∴； （2）如图所示，为的高， 由网格得， ∴， 即边上的高的长为； （3）∵点是一次函数图像上一点， ∴，则， ∴ ， ∴可以看作到点的距离，可以看作到点的距离， 如图： 则， 当A在线段上时，取等号，此时最小值为的长， ∵， ∴的最小值为6． 26. 如图，在正方形中，点E是射线上的一点，连接，以为边，在右侧作正方形，连接． （1）如图1，点E在线段上，证明：； （2）如图2，点E在的延长线上，与相交于点H，若正方形的边长为4，设的面积为，的面积为，在点E的运动过程中，发现：，中有一个是定值，请把它找出来，并求出这个定值； （3）当点E在的延长线上时，设正方形和正方形的对称中心分别是P、Q，连接． ①证明：； ②连接，探索线段、、之间的数量关系，直接写出结论． 【答案】（1）见解析； （2）是定值，定值为8； （3）①见解析；②． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题关键． （1）根据正方形的性质证明全等即可； （2）同（1）理可证，，进而得出，即可得解； （3）①过点作的延长线于点，根据正方形的性质，证明，得到，从而推出，即可证明； ②由①可知，，得出，是等腰直角三角形，再结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：四边形、是正方形， ，，， ，即， ； 【小问2详解】 解：同（1）理可证，， ， ， ， 即是定值，定值为8； 【小问3详解】 解：①如图，过点作的延长线于点， 四边形、是正方形， ，，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； ②，证明如下： 由①可知，， ， 是等腰直角三角形， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$