2026届高三数学一轮复习课时作业21：导数的概念及其意义、导数的运算

3.1　导数的概念及其意义、导数的运算 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若f(x)=ln(-x)，则f'(-2 026)等于(　　) A.- B.-2 026 C. D.2 026 2.一个做直线运动的质点的位移s(m)与时间t(s)的关系式为s=100t-5t2，则该质点的瞬时速度为0 m/s时，t等于(　　) A.50 s B.20 s C.10 s D.5 s 3.设函数f(x)=xex的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为(　　) A.y=ex B.y=x C.y=ex+1 D.y=x+1 4.已知函数f(x)的图象如图所示，f'(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2) B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2) C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f'(3)<f'(2) 5.(2025·汉口模拟)已知函数f(x)为偶函数，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x-2y+1=0，记f(x)的导函数为f'(x)，则f'(-1)等于(　　) A.- B. C.-2 D.2 6.直线l与曲线y=ex+1和y=ex+1均相切，则l的斜率为(　　) A. B.1 C.2 D.e 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列求导运算正确的是(　　) A.若y=(x+1)ln x，则y'=ln x++1 B.'=-sin C.'=-2xln 2 D.(ln 2x)'= 8.已知定义在R上的函数f(x)，g(x)，其导函数分别为f'(x)，g'(x)，f(1-x)=6-g'(1-x)，f(1-x)-g'(1+x)=6，且g(x)+g(-x)=4，则(　　) A.g'(x)的图象关于点(0，1)中心对称 B.g'(x+4)=g'(x) C.f'(6)=f'(2) D.f(1)+f(3)=12 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f'(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)=x3-2x在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为　　　　　.  10.(2024·新课标全国Ⅰ)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=　　　　.  四、解答题(共27分) 11.(13分)已知函数f(x)=x3-ax2+b(a，b∈R)的图象过点(2，4)，且f'(1)=1. (1)求a，b的值；(5分) (2)求曲线y=f(x)过点(0，-1)的切线方程.(8分) 12.(14分)已知函数f(x)=-x3+x+1，g(x)=e-2x+1. (1)求曲线y=f(x)过点(1，1)的切线方程；(7分) (2)若曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线与曲线y=g(x)在x=t(t∈R)处的切线平行，求t的值.(8分) 【提升练】 13.已知函数f(x)=其导函数记为f'(x)，则f'(2 026)-f'(-2 026)等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 14.(2025·西安模拟)已知二次函数y=-x2+(b-a)x+ab的图象与x轴交于A，B两点，图象在A，B两点处的切线相交于点P.若a>0，b>0且ab=1，则△ABP的面积的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D.4 15.(多选)(2024·南昌模拟)已知直线l1是曲线f(x)=ln x上任一点A(x1，y1)处的切线，直线l2是曲线g(x)=ex上点B(y1，x1)处的切线，则下列结论中正确的是(　　) A.当x1+y1=1时，l1∥l2 B.存在x1，使得l1⊥l2 C.若l1与l2交于点C，且△ABC为等边三角形，则x1=2+ D.若l1与曲线g(x)相切，切点为C(x2，y2)，则x1y2=1 16.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当x→0时的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在.早在1696年，洛必达在他的著作《无穷小分析》一书中创造了一种算法(洛必达法则)，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法. 如：===1，则=　　　　　　.  答案精析 1.A　2.C 3.B　[函数f(x)=xex， 由f(x)=0，得x=0，则点P(0，0)， 由f(x)=xex， 求导得f'(x)=(x+1)ex， 则f'(0)=1， 所以该曲线在点P处的切线方程为y=x.] 4.B　[由函数f(x)的图象可知f'(3)>0，f'(2)>0， 设A(2，f(2))， B(3，f(3))，则直线AB的斜率为 =f(3)-f(2)， 由于曲线是上升的，故f(3)>f(2)，∴f(3)-f(2)>0， 作出曲线在x=2，x=3处的切线，设为l1，l3，直线AB为l2，l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3， 结合图象可得l1，l2，l3的斜率满足k3<k2<k1， 即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).] 5.A　[因为f(x)为偶函数， 所以f(x)=f(-x)， 两边求导，可得[f(x)]'=[f(-x)]'⇒f'(x)=f'(-x)·(-x)'⇒f'(x)=-f'(-x). 又f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x-2y+1=0，所以f'(1)=. 所以f'(-1)=-f'(1)=-.] 6.B　[由y=ex+1，可得y'=ex； 由y=ex+1，可得y'=ex+1， 设两个切点的坐标分别为(x1+1)和(x2)，直线l的斜率k== 故x1=x2+1，即x1≠x2， 所以k===1， 即直线l的斜率为1.] 7.AC　[对于A，若y=(x+1)ln x，则y'=ln x+=ln x++1，故A正确； 对于B'=0，故B错误； 对于C'='-2xln 2=-2xln 2，故C正确； 对于D，(ln 2x)'==故D错误.] 8.BCD　[由题意可得 两式相减可得g'(1+x)=-g'(1-x)，① 所以g'(x)的图象关于点(1，0)中心对称，A错误； 由g(x)+g(-x)=4，② ②式两边对x求导可得g'(x)=g'(-x)，可知g'(x)是偶函数， 以1+x替换①中的x可得g'(2+x)=-g'(-x)=-g'(x)， 可得g'(4+x)=-g'(2+x)=g'(x)，所以g'(x)是周期为4的周期函数，B正确； 因为f(x)=6-g'(x)，可知f(x)也是周期为4的周期函数，即f(x+4)=f(x)， 两边求导可得f'(x+4)=f'(x)，所以f'(6)=f'(2)，C正确； 因为g'(1+x)=-g'(1-x)，令x=0，则g'(1)=-g'(1)，即g'(1)=0， 又因为g'(x)是偶函数， 所以g'(-1)=g'(1)=0， 又因为g'(x)是周期为4的周期函数，则g'(3)=g'(-1)=0， 由f(x)=6-g'(x)可得 所以f(1)+f(3)=12，D正确.] 9.2 解析　∵==2，f'(x)=3x2-2， 令3x2-2=2，解得x=-∈[-2，2]或x=∈[-2，2]， ∴f(x)在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2. 10.ln 2 解析　由y=ex+x得y'=ex+1， 当x=0时，y'=e0+1=2， 故曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线方程为y=2x+1. 由y=ln(x+1)+a得y'= 设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0，y0)， 由两曲线有公切线得y'==2， 解得x0=-代入切线方程y=2x+1得y0=2×+1=0， 则y=ln(x0+1)+a=0， 即ln+a=0，解得a=ln 2. 11.解　(1)因为函数f(x)=x3-ax2+b的图象过点(2，4)， 所以b=4a-4.① 又f'(x)=3x2-2ax，f'(1)=1， 所以f'(1)=3×12-2a=3-2a=1，② 由①②解得a=1，b=0. (2)由(1)知f(x)=x3-x2， 设所求切线在曲线y=f(x)上的切点坐标为(m，m3-m2)， 则f'(m)=3m2-2m， 所以切线方程为 y-m3+m2=(3m2-2m)(x-m)， 又切线过点(0，-1)， 所以2m3-m2-1=0， 可得2m3-2-m2+1=0， 即2(m3-1)-(m2-1)=0， 即(m-1)(2m2+m+1)=0， 解得m=1， 所以切点坐标为(1，0)，切线方程为x-y-1=0. 故曲线y=f(x)过点(0，-1)的切线方程为x-y-1=0. 12.解　(1)由导数公式得f'(x)=-3x2+1， 设切点坐标为(x0，y0)，切线方程为y-1=k(x-1)， 由题意可得 解得或 从而切线方程为2x+y-3=0或x-4y+3=0. (2)由(1)可得曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线方程为y=-2x+3， 由g'(x)=-2e-2x+1，可得曲线y=g(x)在x=t(t∈R)处的切线斜率为g'(t)=-2e-2t+1， 由题意可得-2e-2t+1=-2，从而t= 此时切点坐标为曲线y=g(x)在x=处的切线方程为 y-1=-2 即y=-2x+2，符合题意，所以t=. 13.B　[函数f(x)==1+的定义域为R， 令g(x)= 则g(x)的定义域为R，f'(x)=g'(x)， 又g(-x)==-=-g(x)，故g(x)是奇函数， 所以g(x)+g(-x)=0， 故g'(x)-g'(-x)=0， 所以f'(2 026)-f'(-2 026) =g'(2 026)-g'(-2 026)=0.] 14. C [设A(x1，0)，B(x2，0)， 则x1与x2是方程-x2+(b-a)x+ab=0的两根，则x1+x2=b-a，x1x2=-ab， |AB|=|x1-x2|==a+b， 又y'=-2x+b-a， 则函数y=-x2+(b-a)x+ab在点A(x1，0)处的切线方程为y=(-2x1+b-a)(x-x1)， 同理函数y=-x2+(b-a)x+ab在点B(x2，0)处的切线方程为y=(-2x2+b-a)(x-x2)， 则 解得 即点P， 则S△ABP=|AB|·|yP|=(a+b)3≥(2)3=2，当且仅当a=b=1时等号成立.] 15. ACD [由题意得y1=ln x1，由x1+y1=1， 得x1+ln x1=1， 如图，可知y=x+ln x的图象与直线y=1的交点是(1，1)，可得x1=1， y1=ln x1=ln 1=0， 由f(x)=ln x，得f'(x)=， 所以直线l1的斜率为f'(x1)=f'(1)=1， 由g(x)=ex，得g'(x)=ex， 所以直线l2的斜率为g'(y1)=g'(0)=e0=1=f'(x1)， 即直线l1的斜率等于直线l2的斜率，所以l1∥l2，故A对； 因为·=f'(x1)·g'(y1)=·=·=·x1=1≠-1， 所以不存在x1，使得l1⊥l2，故B错； 如图，设l1，l2的倾斜角分别为α，β， 因为△ABC为等边三角形，所以β=α+， 又tan α=f'(x1)=，tan β=g'(y1)===x1， 所以tan β=tan= ==x1， 整理得-2x1-1=0，所以x1=±2， 因为点A(x1，y1)在曲线f(x)=ln x上， 所以x1>0，所以x1=2+，故C对； 若l1与曲线g(x)相切，切点为C(x2，y2)， 则=f'(x1)==g'(x2)=，即=， 又C(x2，y2)在g(x)=ex上， 所以y2=，所以=y2，即x1y2=1，故D对.] 16.2 解析　由题可得 == ===2. 学科网（北京）股份有限公司 $$