2026届高三数学一轮复习课时作业22：导数与函数的单调性

3.2　导数与函数的单调性 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.设f'(x)=x2-2x是函数f(x)的导函数，则y=f(x)的图象可能是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D 2.函数f(x)=x-2ln(2x)的单调递减区间为(　　) A.(1，+∞) B.(0，1) C.(0，2) D.(2，+∞) 3.已知函数f(x)=ln x-ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A.a≥1 B.a>1 C.a≥ D.a> 4.若f(x)=-x3+x2+2ax在(1，+∞)上存在单调递增区间，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，0] B.(-∞，0) C.[0，+∞) D.(0，+∞) 5.已知函数f(x)=x3+x2+x+1在(-∞，0)，(3，+∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C.(-∞，-2] D. 6.已知a=b=c=ln则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.如图为y=f(x)的导函数f'(x)的图象，给出下列四个说法，其中正确的是(　　) A.f(x)有三个单调区间 B.f(-2)<f(-1) C.f(-1)<f(1) D.f(x)在[-1，2]上单调递增，在(2，4]上单调递减 8.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[m-1，m+1]上单调，则实数m的值可能是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.函数y=的单调递减区间为　　　　　　　.  10.(2025·济南模拟)已知函数f(x)=2x-msin x在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)已知函数f(x)=+ax-(ax+1)ln x在x=1处的切线方程为y=bx+(a，b∈R). (1)求a，b的值；(6分) (2)证明：f(x)在(1，+∞)上单调递增.(7分) 12.(15分)(2024·西安模拟)已知函数f(x)=ln(x+1)+(k∈R). (1)若k=-3，求f(x)的单调区间；(7分) (2)若f(x)在其定义域上单调递增，求k的取值范围.(8分) 【提升练】 13.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)=(x-1)(ex+a)在区间(-1，1)上单调递增，则a的最小值为(　　) A.e-1 B.e-2 C.e D.e2 14.(2025·呼和浩特模拟)在区间(0，π)上，函数y=存在单调递增区间，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，1) B. C. D.(-∞，1］ 15.若对任意的x1，x2∈(m，+∞)，且x1<x2<2，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 16.已知f(x)=ex+e2-x，则不等式f(2x+1)<f(x)的解集为(　　) A. B. C.∪(1，+∞) D.(-∞，-1)∪ 答案精析 1.C　2.C　3.A 4.D　[f(x)=-x3+x2+2ax在(1，+∞)上存在单调递增区间， 只需f'(x)>0在(1，+∞)上有解即可. 由已知得f'(x)=-x2+x+2a，该函数图象开口向下，对称轴为x= 故f'(x)在(1，+∞)上单调递减， 所以f'(1)=2a>0，解得a>0.] 5.B　[由f(x)=x3+x2+x+1，得f'(x)=x2+ax+1， ∵f(x)在(-∞，0)，(3，+∞)上单调递增；在(1，2)上单调递减， ∴f'(x)=0的两根分别位于[0，1]和[2，3]内， 则 解得-≤a≤-.] 6.B　[设函数f(x)=ex-x-1，x∈R， 则f'(x)=ex-1， 当x<0时，f'(x)<0， f(x)在(-∞，0)上单调递减； 当x>0时，f'(x)>0， f(x)在(0，+∞)上单调递增， 故f(x)≥f(0)=0， 即ex≥1+x，当且仅当x=0时取等号， ∵ex≥1+x，∴>1-= ∴b>a， 由以上分析可知当x>0时，有ex-1≥x成立，当x=1时取等号， 即ln x≤x-1，当且仅当x=1时取等号， ∴ln <-1= ∴a>c，故b>a>c.] 7.CD　[对于A，由图象可以看出，f'(x)的符号是先负后正，再负再正，所以函数f(x)有四个单调区间，故A错误； 对于B，当x∈[-2，-1]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以f(-2)>f(-1)，故B错误； 对于C，当x∈[-1，2]时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增，所以f(-1)<f(1)，故C正确； 对于D，当x∈(2，4]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，显然D正确.] 8.AC　[由题意得函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=x-= 由f'(x)≥0，可得x≥3，则函数f(x)的单调递增区间为[3，+∞)， 由f'(x)≤0，可得0<x≤3，则函数f(x)的单调递减区间为(0，3]， 因为f(x)在区间[m-1，m+1]上单调， 所以或m-1≥3， 解得1<m≤2或m≥4， 结合选项可得A，C符合题意.] 9.(1，+∞) 解析　函数y=的定义域为(0，+∞)， y'= == 令y'<0得x>1， 所以y=的单调递减区间为(1，+∞). 10.m<-2或m>2 解析　因为f(x)=2x-msin x， 所以f'(x)=2-mcos x， 又f(x)不是单调函数， 所以函数f(x)有极值点， 即f'(x)在R上有变号零点， 则2-mcos x=0成立， 当cos x=0时，2-mcos x=0可化为2=0，显然不成立； 当cos x≠0时，m= 因为x∈R，-1≤cos x≤1， 所以≤-2或≥2， 所以实数m的取值范围为m<-2或m>2(因为要有变号零点，故不能取等号)， 经检验，m<-2或m>2满足要求. 11.(1)解　因为f(x)=+ax-(ax+1)ln x， 所以f'(x)=x+a-aln x-=x--aln x， 依题意可得 即 解得 (2)证明　由(1)可得f(x)=+2x-(2x+1)ln x， 则f'(x)=x--2ln x， 令g(x)=f'(x)=x--2ln x，x∈(1，+∞)， 则g'(x)=1+-=>0， 所以g(x)在(1，+∞)上单调递增， 又g(1)=0， 所以当x∈(1，+∞)时，g(x)>0， 即f'(x)>0， 所以f(x)在(1，+∞)上单调递增. 12.解　(1)函数f(x)=ln(x+1)+的定义域为(-1，+∞)， 求导得f'(x)=+ 当k=-3时，f'(x)=-= = 当-1<x<1-或x>1+时， f'(x)>0， 当1-<x<1+时，f'(x)<0， 所以函数f(x)的单调递增区间是(-1，1-)，(1++∞)，单调递减区间是(1-1+). (2)由(1)知，f'(x)=+ 由f(x)在其定义域上单调递增，得f'(x)≥0在(-1，+∞)上恒成立， 则+≥0， 即2k≥- 当x>-1时， -=- ≤-4，当且仅当x=0时取等号， 因此2k≥-4，解得k≥-2， 当k=-2时， f'(x)=≥0， f(x)在(-1，+∞)上单调递增， 所以k的取值范围是[-2，+∞). 13.A　[由题意得f'(x)≥0在(-1，1)上恒成立， f'(x)=ex+a+(x-1)ex=xex+a， 故xex+a≥0， 即a≥-xex， 令g(x)=-xex，x∈(-1，1)， 则g'(x)=-ex-xex=-(x+1)ex<0在(-1，1)上恒成立， 故g(x)=-xex在(-1，1)上单调递减， 故g(x)<g(-1)=e-1， 故a≥e-1，故a的最小值为e-1.] 14. C [函数y=， 求导得y'=， 依题意，不等式xsin x-a+cos x>0在(0，π)上有解， 即a<xsin x+cos x在(0，π)上有解， 令f(x)=xsin x+cos x，x∈(0，π)， 求导得f'(x)=xcos x， 当x∈时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x∈时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减， 当x=时，f(x)max=，因此a<， 所以实数a的取值范围是.] 15.C　[对任意的x1，x2∈(m，+∞)，且x1<x2， <2， 易知m≥0，x1>0，x2>0， 则x1ln x2-x2ln x1<2x2-2x1， 所以x1(ln x2+2)<x2(ln x1+2)， 即>. 令f(x)= 则函数f(x)在(m，+∞)上单调递减. 因为f'(x)=- 由f'(x)<0，可得x> 所以函数f(x)的单调递减区间为 所以(m，+∞)⊆ 故m≥ 即实数m的取值范围为.] 16. B [因为f(x)=ex+e2-x， f(1-x)=e1-x+e2-(1-x)=e1-x+e1+x， f(1+x)=e1+x+e2-(1+x)=e1+x+e1-x， 所以f(1-x)=f(1+x)，函数的图象关于直线x=1对称， 因为f(x)=ex+e2-x， 所以f'(x)=(ex)'+(e2-x)'=ex-， 根据函数的单调性，f'(x)=ex-单调递增， 令f'(x)=0，得x=1， 所以当x∈(-∞，1)时，函数f(x)单调递减，当x∈(1，+∞)时，函数f(x)单调递增， 因为f(2x+1)<f(x)， 所以|2x+1-1|<|x-1|，即|2x|<|x-1|， 解得-1<x<.] 学科网（北京）股份有限公司 $$