上海市静安区2024-2025学年高二下学期6月期末教学质量调研数学试卷

静安区2024学年第二学期期末教学质量调研 高二数学试卷 2025.06 考生注意： 1． 本试卷共4页，18道试题，满分100分，考试时间90分钟． 2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中1～5题每题3分，6～10题每题4分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】 1．已知直线与互相垂直，则实数的值为_______． 2. 函数在闭区间上的零点_______． 3．函数的导函数_______． 4. 10件产品中有8件正品，2件次品．一次取出2件产品，其中含有次品的概率是_______． 5. 设圆C过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心C在此双曲线上，则圆心C到双曲线中心的距离为_______． 6. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，并记录朝上的一面是正面还是反面，则恰好出现正面与反面朝上都是2次的概率是_______． 7. 在第三十个世界读书日到来之际，为扎实推进学习型社区建设，大力推广全民阅读．某街道在A、B两个社区按照住户比例分别抽取成年居民15人和30人，进行连续15天业余读书时间调查．收集数据整理如下： 社区 调查人数 15天每人平均读书用时（分钟） 15天读书时间的方差 A 15 818 125 B 30 862 380 两个社区调查数据合并成45人后，估计这两个社区15天读书时间的总体方差为_______．（结果保留一位小数） 8.设P是抛物线上一点，则点P到椭圆的左顶点的距离的最小值为_______． 9. _______． 10. 若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是_______． 二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得相应分值，否则一律得零分．】 11．下列关于排列组合的等式成立的个数为（ ）． ① ； ②；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12．自2016年起，每年4月24日设立为“中国航天日”，以纪念1970年4月24日长征一号火箭将我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功送入太空．2025年4月24日是第10个“中国航天日”，搭乘陈冬、 陈中瑞、王杰3名航天员的神舟二十号载人飞船成功发射，以更有纪念意义的太空行动完成了对中国第10个航天日的庆祝活动，同时神舟十九号载人飞船航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽也于五一国际劳动节前夕凯旋回家． 某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，同学们踊跃参与了活动．现从同学们提出的问题中初选40个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：01，02，03，…39，40，从中随机抽取5个问题请大家投票排名．从下列随机数表第1行第16个数字2开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出的5个问题编号依次为（ ） A. 28，03，36，24，40 B. 03，36，24，40，04 C. 28，03，65，67，52 D.28， 03，40，01，11 13．圆心在抛物线上，且与轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）． A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分53分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】 14．（本题满分8分，本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分） 从某学校随机抽取100名学生作为样本进行学生体重分布情况调查．得到频数分布表（体重单位：kg）（假设在每一区间内，体重数据均匀分布，用区间中点值估计区间内含有的数据） 分组 频数 5 25 40 20 10 （1）估计样本的中位数； （2）从样本区间和中按分层抽样抽取6名学生，再从这6人中随机抽取3人，求其中2人体重在，1人体重在的概率． 15．（本题满分8分，本题共有2个小题，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分5分） 质地均匀的正方体骰子，六个面上点数分别为1、2、3、4、5、6. （1）抛掷一次骰子，求点数是偶数的概率； （2）抛掷两次骰子，设事件A为第一次的点数为4，事件B为两次点数和为6，事件C为两次点数和为7.分别判断事件A和B是否独立？事件A和C是否独立？ 16．（本题满分10分，本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分） 设． （1）求函数图像上以点为切点的切线方程； （2）经过点是否还存在函数图像的另一条切线？如果存在，求出该切线与（1）中切线的夹角大小（用反三角函数值表示），如果不存在，请说明理由． 17．（本题满分13分，本题共有2个小题，第(1) 小题满分6分，第(2)小题满分7分） 设函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 18．（本题满分14分，本题共有个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 已知为二次曲线上一点，则过点的二次曲线的切线方程为． 椭圆Γ：的左焦点是、右焦点是，过点的直线l分别交Γ于两点P、Q，其中点P在x轴上方，O为坐标原点． （1）若，求的值； （2）现分别过点P、Q作椭圆Γ的两条切线相交于点T，求△TPQ的面积的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 静安区2024学年第二学期期末教学质量调研 高二数学试卷 2025.06 考生注意： 1． 本试卷共4页，18道试题，满分100分，考试时间90分钟． 2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中1～5题每题3分，6～10题每题4分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】 1．已知直线与互相垂直，则实数的值为_______．1 2. 函数在闭区间上的零点_______．. 3．函数的导函数_______．. 4. 10件产品中有8件正品，2件次品．一次取出2件产品，其中含有次品的概率是_______．. 5. 设圆C过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心C在此双曲线上，则圆心C到双曲线中心的距离为_______． 6. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，并记录朝上的一面是正面还是反面，则恰好出现正面与反面朝上都是2次的概率是_______．.（0.375） 7. 在第三十个世界读书日到来之际，为扎实推进学习型社区建设，大力推广全民阅读．某街道在A、B两个社区按照住户比例分别抽取成年居民15人和30人，进行连续15天业余读书时间调查．收集数据整理如下： 社区 调查人数 15天每人平均读书用时（分钟） 15天读书时间的方差 A 15 818 125 B 30 862 380 两个社区调查数据合并成45人后，估计这两个社区15天读书时间的总体方差为_______．（结果保留一位小数）725.2 8.设P是抛物线上一点，则点P到椭圆的左顶点的距离的最小值为_______． 9. _______．-1 10. 若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是_______．1 二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得相应分值，否则一律得零分．】 11．下列关于排列组合的等式成立的个数为（ C ）． ① ； ②；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12．自2016年起，每年4月24日设立为“中国航天日”，以纪念1970年4月24日长征一号火箭将我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功送入太空．2025年4月24日是第10个“中国航天日”，搭乘陈冬、 陈中瑞、王杰3名航天员的神舟二十号载人飞船成功发射，以更有纪念意义的太空行动完成了对中国第10个航天日的庆祝活动，同时神舟十九号载人飞船航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽也于五一国际劳动节前夕凯旋回家． 某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，同学们踊跃参与了活动．现从同学们提出的问题中初选40个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：01，02，03，…39，40，从中随机抽取5个问题请大家投票排名．从下列随机数表第1行第16个数字2开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出的5个问题编号依次为（ D ） A. 28，03，36，24，40 B. 03，36，24，40，04 C. 28，03，65，67，52 D.28， 03，40，01，11 13．圆心在抛物线上，且与轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ D ）． A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分53分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】 14．（本题满分8分，本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分） 从某学校随机抽取100名学生作为样本进行学生体重分布情况调查．得到频数分布表（体重单位：kg）（假设在每一区间内，体重数据均匀分布，用区间中点值估计区间内含有的数据） 分组 频数 5 25 40 20 10 （1）估计样本的中位数； （2）从样本区间和中按分层抽样抽取6名学生，再从这6人中随机抽取3人，求其中2人体重在，1人体重在的概率． 14（1）体重有序样本的第50个值和第51个值都在内，所以估计样本的中位数为65.（4分） （2）样本和中分别有40人和20人，分层抽样按照2：1抽取6人，即从样本中抽取4人，在中抽取2人. （2分）（6分） 6人抽取3人，其中2人体重在，1人体重在的概率为：=. （2分）（8分） 15．（本题满分8分，本题共有2个小题，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分5分） 质地均匀的正方体骰子，六个面上点数分别为1、2、3、4、5、6. （1）抛掷一次骰子，求点数是偶数的概率； （2）抛掷两次骰子，设事件A为第一次的点数为4，事件B为两次点数和为6，事件C为两次点数和为7.分别判断事件A和B是否独立？事件A和C是否独立？ 15(1) 点数是偶数的概率是；（3分） （2）p(A)=，6=1+5=2+4=3+3，所以p(B)=， 7=1+6=2+5=3+4, 所以p(C)=，（3分）（6分） 第一次点数为4，则第二次点数只可能为2时，两次点数才会是6，所以p(AB)=，p(A) p(B)=，事件A和B不独立．（1分）（7分） 第一次点数为4，则第二次点数只可能为3时，两次点数才会是7，所以p(AC)=， p(AC)= p(A) p(C). 事件A和C独立．（1分）（8分） 16．（本题满分10分，本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分） 设． （1）求函数图像上以点为切点的切线方程； （2）经过点是否还存在函数图像的另一条切线？如果存在，求出该切线与（1）中切线的夹角大小（用反三角函数值表示），如果不存在，请说明理由． 16．（1）（1分） , , （1分）（2分） 以点为切点的切线方程为;（）（2分）（4分） (2)设经过点与函数图像相切于另一点（）（）的切线存在，则切线方程为： ,将,代入直线方程得 , （2分）（6分） , （1分）（7分） 存在另一条切线，斜率为．（1分）（8分） 设两条切线夹角为，. 夹角=.(或=) （2分）（10分） 17．（本题满分13分，本题共有2个小题，第(1) 小题满分6分，第(2)小题满分7分） 设函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 17．（1）(x)=. （2分） ①当时，(x)>0，在R上严格增；（2分）（4分） ②当时，令(x)=0，解得x=lna，当x>lna时，(x)>0，𝑦=𝑓(𝑥) 在( lna,+∞) 上严格增；（1分）（5分） 当x<lna时，(x)<0，𝑦=𝑓(𝑥) 在(-∞,lna,) 上严格减．（1分）（6分） （2）当x=0时，对恒成立，（1分）（7分） 当x>0时，不等式化为恒成立，令，则只需的最小值．（2分）（9分） ，，所以 ， 所以当时,,严格增,当时,,严格减，的最小值=e4. （2分）（12分） 所以,即的取值范围为．（1分）（13分） 18．（本题满分14分，本题共有个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 已知为二次曲线上一点，则过点的二次曲线的切线方程为． 椭圆Γ：的左焦点是、右焦点是，过点的直线l分别交Γ于两点P、Q，其中点P在x轴上方，O为坐标原点． （1）若，求的值； （2）现分别过点P、Q作椭圆Γ的两条切线相交于点T，求△TPQ的面积的最小值． 18.（1）,,直线l垂直于x轴时或者为x轴时不成立，设直线l的方程为代入化简整理得方程： ,(2分)（k0） 设P(),Q() 由韦达定理，（3分） 由，得（1分）（4分） 由，得，又,得，故 （2分）(6分) （2）当直线l垂直于x轴时，代入椭圆方程得点P（1，），Q （1，），根据已知条件切线PT、QT的方程分别为： ,,联立求得两直线交点T的坐标为（2，0） 此时△TPQ的面积为．（2分）（8分） 直线l显然不为x轴，当直线l不垂直于x轴时，设，由（1） ,（k0） 设P(),Q() ， , （2分）（10分） 设两直线交点T的坐标为, 根据已知结论有： ,,因此直线PQ即直线l的方程为，又PQ恒过（1，0）点，代入此方程得，从而直线PQ的方程为，所以， 点到直线l的距离（2分）（12分） △TPQ的面积=,这是关于k的偶函数，只需考虑k>0， 求导数，得，所以在k>0时递减，在k<0时递增,在即直线l垂直于x轴时取得最小值，此时△TPQ的面积为．（2分）（14分） 学科网（北京）股份有限公司 $$