精品解析：河南省郑州市中牟县2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试题试卷

2024-2025学年九年级下学期第三次联考试卷 数 学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，与相加等于0的数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，有理数的加法，正确掌握绝对值的性质是解题关键．直接利用绝对值的性质化简，再利用有理数的加法得出答案． 【详解】解：∵， ∴与相加等于0的数是． 故选：B． 2. 光明中学新校区建成之际，施工方在墙角处留下一堆沙子（如图所示，两面墙互相垂直），则这堆沙子的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了主视图，解题的关键是掌握从物体正面看到的图形是主视图． 【详解】解：这堆沙子的主视图是： ， 故选：B． 3. 据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：100亿， 故选：C． 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 5. 将一副三角尺如图摆放，点 D在 上，延长交的延长线于点F，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角板中的角度计算，直角三角形的性质等知识，根据直角三角形互余及平角的定义即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 6. 一元二次方程的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴或 解得： 故选：A． 7. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键． 运用网格图中隐藏的条件证明四边形为平行四边形，接着证明，最后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出． 【详解】解：如图： 由题意可知，，， ，而， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ． 故答案为：C． 8. 如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 先利用中位线定理求出菱形的边的长，再利用菱形的性质求得，从而可得，再利用勾股定理求得的长． 【详解】解：∵O为的中点，M为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴，   故选：C ． 9. 如图，点是反比例函数的图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象的对称性的知识点，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得的值． 【详解】解：设圆的半径是，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得： 阴影部分的面积等于圆的面积的， ∴， 解得：． ∵点是反比例与在第三象限的一个交点，． ∴且 ∴， ∴， 则反比例函数的解析式是：． 故选D． 10. 如图，在中，，，，点 P 从点A 出发，沿向点C 以的速度运动，同时点 Q从点C 出发，沿向点B 以的速度运动（当点 Q 运动到点 B 时，点 P，Q 同时停止运动）．在运动过程中，四边形的面积最小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，勾股定理，列函数关系是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再设点 P 运动时间为t，四边形的面积为y，根据题意表示出y与t的函数关系式，进一步利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由题可知，是直角三角形， ∴， 设点 P 运动时间为t，四边形的面积为y， 则， ∴， 则当时，y最小为． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个只含字母x，y的五次单项式___________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了单项式，根据单项式的有关概念即可得出答案，确定单项式的系数和次数的关键． 【详解】解：依题意，这个只含字母x，y的五次单项式为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 关于的不等式有正数解，则m的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式、不等式的整数解等知识点，掌握确定不等式整数解的方法成为解题的关键． 解不等式可得，再根据不等式有正数解确定m的取值范围即可解答． 【详解】解：， 移项可得：， 两边同时乘以，不等号方向改变，得． ∵不等式有正数解， ∴，解得：，m的值可以是2等． 故答案为2． 13. 某校“综合与实践”小组为了解全校名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，绘制了如图所示的统计图． 估计该校名学生中，平均每周阅读课外书时间在“小时及以上”的人数______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了样本估计总体，利用乘以“小时及以上”的人数所占百分比即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由统计图可知抽取的学生中平均每周阅读课外书时间在“小时及以上”的人数所占百分比为， ∴该校名学生中，平均每周阅读课外书时间在“小时及以上”的人数为（人）， 故答案为：． 14. 如图，是的内接三角形，斜边，直角边，点P是外一点，，连接，若与相切，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，切线的性质，等边三角形的判定和性质． 连接，得出，则，求出，再证明为等边三角形，即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，与相切， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：3． 15. 如图，中，，中，，，直线与直线交于点F．现将绕点C旋转1周，在旋转过程中， _____°，线段长度的最大值是______cm． 【答案】 ①. 90 ②. 14 【解析】 【分析】因为和都是等腰直角三角形，可证，所以，又因为，根据三角形内角和定理可得．点F在以为直径的圆上运动，且弦位于下方；D、E在以C为圆心，长为半径的运动，当与相切时，最大；易得四边形是正方形，从而由勾股定理可求得，则由可求得的长度． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设交于点O， ∵，， ∴． ∴点F在以为直径的圆上运动； ∵， ∴； ∵， ∴弦在直径的下方，如图； ∵D、E在以C为圆心，长为半径的运动， 当与相切时，最大； 则， ∴， ∴四边形是矩形； ∵， ∴四边形是正方形， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； 故答案为：90；． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆的切线的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂进行计算即可； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式除法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 17. 为了培养学生的体能素养，某校分别从七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们一周的运动时间，运动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：；B组：；C组：；D组：；E组： ），将数据进行分析，得到如下统计： ①八年级B组学生一周运动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80． ②八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表： 分组 A B C D E 频数 14 b 27 13 6 ③七、八年级各100名学生一周运动时间的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.3 79.5 82 八年级 81.3 c 83 ④七年级100名学生一周运动时间分布扇形统计图 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）_________，_______，______； （2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可） （3）该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于80分钟的学生一共有多少人？ 【答案】（1）10，40，80.5 （2）八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大 （3）724 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，频数分布表、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提． （1）在扇形统计图中，先求出“B组”所占的百分比，再求出“A组”所占的百分比，确定a的值，根据八年级的频数之和等于100可求出b的值，再根据中位数的定义求出c的值； （2）从中位数、众数的大小比较得出答案； （3）求出七年级、八年级一周运动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生数即可． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图可知，“B组”所占的百分比为， 所以“A组”所占的百分比为， 即； ； 八年级的中位数在B组，将100名学生的运动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为， 即； 故答案为：10，40，80.5； 【小问2详解】 八年级的较好，理由：八年级学生一周运动的中位数、众数均比七年级的大； 【小问3详解】 （人）， 答：七、八年级一周运动在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有724人． 18. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，过点D作，垂足为H，若，求的面积． 【答案】（1） 如图1，射线为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，小于的长为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在上方交于一点，过该点与点A作直线交于点D，即可； （2）根据等腰三角形的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到，进而得到，由勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，过点D作，垂足为H，则， ， ， 又平分， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理，得 【点睛】本题考查了角平分线的作法及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的特征，熟练掌握角平分线的作法及性质是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过上的点D，已知． （1）求k的值． （2）连接，以点O为圆心，长为半径画弧，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，三角形的面积，扇形面积． （1）先利用D点在上且得到，再把点坐标代入可得到k的值； （2）设所画弧与交于点E，连接，根据得，进而得，再得，得，再根据计算即可得答案． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，， ，， 又， ， 反比例函数的图象经过点D， ； 【小问2详解】 解：设所画弧与交于点E，连接，如图． ， ， ， ， ， ， ． 20. 风能作为一种清洁的可再生能源，越来越受到世界各国的重视图1是某规格风力发电机，其工作发电时，当风轮叶片末端旋转至最高点，如图2所示，测得；当风轮叶片末端旋转至最低点，如图3所示，测得．已知，，则该规格的风力发电机的风轮叶片长为多少？（结果精确到1m．参考数据：，，，） 【答案】该规格的风力发电机的风轮叶片长为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 根据题意可得：，作点C关于点O的对称点点D，连接，延长交于点F，推出，进而得出，，则，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：， 作点C关于点O的对称点点D，连接，延长交于点F， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴该规格的风力发电机的风轮叶片长， 答：该规格的风力发电机的风轮叶片长为． 21. 下表是牡丹蛋糕店几种蛋糕的售价表： 蛋糕种类 价格/（元/块） （1）小华发现，买块种蛋糕、块种蛋糕共需元，而每块 种蛋糕比每块 种蛋糕便宜元，则表中 ， ． （2）小华原本拿了4块蛋糕去结账，他发现店里正举办优惠活动：若买5块蛋糕，则免去一个最便宜的蛋糕的钱．因此， 小华就多买了一块D 种蛋糕．设小华原本块蛋糕的结账金额为 元，多买一块后的结账金额为元． ①试写出与的函数关系式； ②直接写出的取值范围． 【答案】（1），． （2）①或；② 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列函数关系式，求函数值的范围； （1）根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）①分类讨论，购买的蛋糕最便宜的是否有元的，根据题意列函数关系式； ②根据价格表结合题意，求得最少金额和最多金额，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意， 解得： 故答案为：，． 【小问2详解】 解：①当没有购买蛋糕，则蛋糕是最便宜的，则， 当购买了蛋糕时，， ②当购买最便宜的4块，加上一块D 种蛋糕．则 当购买的是最贵的块，一块D 种蛋糕．则 ∴． 22. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． （2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 【答案】（1）①3，6；②； （2）①8，② 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据， （1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标； （2）①根据第一问可知最大高度为8米； ②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值． 【小问1详解】 解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，， 故答案为：3，6． ②联立得：， 解得：或 ， ∴点A的坐标是， 【小问2详解】 ①由题干可知小球飞行最大高度为8米， 故答案为：8； ②， 则， 解得（负值舍去）． 23. 综合与实践 问题情境： “综合与实践”课上，李老师进行如下操作，将图①中的矩形纸片沿着对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，将和按图②所示的方式摆放，其中点B与点G重合（标记为点B），并将绕点B旋转，直线、相交于点F． 初探发现： （1）如图②，猜想，数量关系是 ． 深入探究： （2）李老师将图②中的绕点B继续旋转． ①“善思”小组提出猜想：旋转过程中，当点E落在的内部，如图③，线段，，有一定的数量关系，请你写出他们的猜想，并说明理由． ②“智慧”小组也提出：在旋转的过程中，当时，过点A做于点H，若给出，，可以求出的长．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】（1） （2） ①由（1）可知 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ②或3 【解析】 【分析】（1）通过来证明即可求解． （2）①主要利用推出，进行等量变换即可． ②Ⅰ．当在上方时，设与交点为M，过点M作交于点N，通过推出，进而得到，利用勾股定理和即可求出,的值，再通过即可求解．Ⅱ．当在下方时，通过，，证明四边形是矩形即可求出． 【小问1详解】 解：连接， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 ①略 ②Ⅰ．当在上方时，设与交点为M，过点M作交于点N ∵ ∴，，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 由勾股定理可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ Ⅱ．当在下方时，如图： ∵ ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴四边形是矩形 ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理、三角函数的应用、矩形的性质和判定，适当添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级下学期第三次联考试卷 数 学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，与相加等于0的数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 光明中学新校区建成之际，施工方在墙角处留下一堆沙子（如图所示，两面墙互相垂直），则这堆沙子的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 5. 将一副三角尺如图摆放，点 D在 上，延长交的延长线于点F，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是反比例函数的图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点 P 从点A 出发，沿向点C 以的速度运动，同时点 Q从点C 出发，沿向点B 以的速度运动（当点 Q 运动到点 B 时，点 P，Q 同时停止运动）．在运动过程中，四边形的面积最小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个只含字母x，y的五次单项式___________ 12. 关于的不等式有正数解，则m的值可以是______（写出一个即可）． 13. 某校“综合与实践”小组为了解全校名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，绘制了如图所示的统计图． 估计该校名学生中，平均每周阅读课外书时间在“小时及以上”的人数______． 14. 如图，是的内接三角形，斜边，直角边，点P是外一点，，连接，若与相切，则的长为________． 15. 如图，中，，中，，，直线与直线交于点F．现将绕点C旋转1周，在旋转过程中， _____°，线段长度的最大值是______cm． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 为了培养学生的体能素养，某校分别从七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们一周的运动时间，运动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：；B组：；C组：；D组：；E组： ），将数据进行分析，得到如下统计： ①八年级B组学生一周运动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80． ②八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表： 分组 A B C D E 频数 14 b 27 13 6 ③七、八年级各100名学生一周运动时间的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.3 79.5 82 八年级 81.3 c 83 ④七年级100名学生一周运动时间分布扇形统计图 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）_________，_______，______； （2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可） （3）该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于80分钟的学生一共有多少人？ 18. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，过点D作，垂足为H，若，求的面积． 19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过上的点D，已知． （1）求k的值． （2）连接，以点O为圆心，长为半径画弧，求图中阴影部分的面积． 20. 风能作为一种清洁的可再生能源，越来越受到世界各国的重视图1是某规格风力发电机，其工作发电时，当风轮叶片末端旋转至最高点，如图2所示，测得；当风轮叶片末端旋转至最低点，如图3所示，测得．已知，，则该规格的风力发电机的风轮叶片长为多少？（结果精确到1m．参考数据：，，，） 21. 下表是牡丹蛋糕店几种蛋糕的售价表： 蛋糕种类 价格/（元/块） （1）小华发现，买块种蛋糕、块种蛋糕共需元，而每块 种蛋糕比每块 种蛋糕便宜元，则表中 ， ． （2）小华原本拿了4块蛋糕去结账，他发现店里正举办优惠活动：若买5块蛋糕，则免去一个最便宜的蛋糕的钱．因此， 小华就多买了一块D 种蛋糕．设小华原本块蛋糕的结账金额为 元，多买一块后的结账金额为元． ①试写出与的函数关系式； ②直接写出的取值范围． 22. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． （2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 23. 综合与实践 问题情境： “综合与实践”课上，李老师进行如下操作，将图①中的矩形纸片沿着对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，将和按图②所示的方式摆放，其中点B与点G重合（标记为点B），并将绕点B旋转，直线、相交于点F． 初探发现： （1）如图②，猜想，数量关系是 ． 深入探究： （2）李老师将图②中的绕点B继续旋转． ①“善思”小组提出猜想：旋转过程中，当点E落在的内部，如图③，线段，，有一定的数量关系，请你写出他们的猜想，并说明理由． ②“智慧”小组也提出：在旋转的过程中，当时，过点A做于点H，若给出，，可以求出的长．请你思考此问题，直接写出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $