第03讲 整式的乘除（4知识点+14大考点+拓展训练+复习提升）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

第03讲 整式的乘除 （4知识点+14大考点+5拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 幂的运算 1、 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 2、幂的乘方 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 3、积的乘方 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 4、同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 5、零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 6、科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点 2 单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 单项式乘多项式的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点 3 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 整式除法 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 知识点 4 乘法公式 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 补充公式 ；； ；. 考点一：同底数幂的乘法 例1．若k为正整数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方、同底数幂相乘等知识点，掌握同底数幂相乘的运算法则成为解题的关键． 先根据乘法的意义和积的乘方的运算法则可得，再根据同底数幂乘法的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 【变式1-1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法，根据幂的乘方法则，同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解∶， 故选∶D． 【变式1-2】若 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．根据同底数幂的乘法的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方逆用．根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 考点二：幂的乘方与积的乘方 例2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】题干主要考查幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算幂的乘方运算，然后计算同底数幂的乘法运算即可； （2）先计算幂的乘方运算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】题目主要考查同底数幂的乘法的运算，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）根据同底数幂的乘法的运算法则计算求解即可； （2）利用幂的逆运算化简，然后根据同底数幂的乘法的运算法则计算求解即可； （3）根据同底数幂的乘法的运算法则计算求解即可； （4）根据同底数幂的乘法、幂的乘方及整式的加减运算可进行求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【变式2-2】计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，先根据同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方进行计算，再合并同类项即可．理清指数的变化是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式2-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查积的乘方及其逆运算，幂的乘方的运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据积的乘方的逆运算计算即可； （2）先算积的乘方，幂的乘方的结果，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点三：单项式乘法 例3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，首先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，然后进行单项式乘单项式运算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式3-1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式的混合运算，原式利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘单项式法则计算即可求出值． 【详解】解：， 故选：B． 【变式3-2】若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到，结合得到，，求出的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ，， ． 故答案为：11． 【变式3-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，积的乘方运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式，积的乘方运算运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点四：多项式乘法 例4．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法法则的知识，解题关键是利用多项式乘法展开式子后，根据等式两边同类项系数相等列方程求解． 【详解】解： ， ，， 解得：，， 则， 故选：C． 【变式4-1】已知：无论取何值时，都成立，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，根据题意，正确计算，进而求出，是解题关键． 先对原式进行多项式乘以多项式，得出，，再将化成，再代入即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ，， ． 故选：B． 【变式4-2】若等式恒成立．无论为何值，的值始终为一个定值，则这个定值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，进而可得，再根据是定值，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵无论为何值，的值始终为一个定值， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式4-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查单项式乘多项式以及多项式乘多项式的运算法则，解题的关键是准确运用相应法则进行计算． （1）利用单项式乘多项式法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相减． （2）利用多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点五：多项式乘法的化简求值 例5．（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，． 【变式5-1】已知，求代数式的值． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式乘多项式、代数式的求值，利用整体代入法是解题的关键．根据多项式乘多项式的运算法则，化简得到，则有，，再整体代入求值即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∴代数式的值为2． 【变式5-2】在计算时，甲错把看成了4，得到结果是：，乙错把看成，得到结果：． (1)求出，的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键． （1）根据题意得出，，得出，，求出a、b即可； （2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可． 【详解】（1）解：甲错把看成了4，得到结果是： ， 乙错把看成，得到结果：， ∴， ，， 解得：； （2）． 【变式5-3】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据已知求出是解题的关键． （1）根据已知求出，然后再根据多项式进行运算，然后将整体代入计算解答； （2）,然后将整体代入计算解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ； ∴的值为． （2）解： ． 考点六：多项式乘法中的规律性问题 例6．请看杨辉三角（如图），并观察下列等式： 根据前面各式的规律，则的第三项系数是（   ） A．730 B．741 C．780 D．820 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，完全平方公式，数学常识．从数字找规律进行计算，即可解答． 【详解】解：的第三项系数为：1； 的第三项系数为：； 的第三项系数为：； …， 的第三项系数， 故选：C． 【变式6-1】我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算术》中提出下表，此表揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如： ；它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项；系数分别为，，，； 根据以上规律，展开式各项系数的和等于 ． 【答案】 【分析】此题考查完全平方公式的应用，能根据已知算式得出规律是解题的关键．根据已知算式得出规律，再求出即可． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：________； 【问题解决】 （3）化简：________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式的运算、数字规律、有理数的混合运算等知识点，发现解答的规律是解题的关键． （1）仿照②进行解答即可； （2）归纳①、②得到规律即可； （3）直接运用（2）的规律对原式进行变形，然后再计算即可． 【详解】解：（1） ． （2）， 故答案为： （3） 故答案为： 【变式6-3】（综合与实践） 杨辉三角是将数字按规律排成的三角形数表，由南宋数学家杨辉记载于《详解九章算法》．其每行两端数字为1，中间数等于上方两数之和，还与二项式展开系数对应，蕴含诸多数学规律与性质． (1)写出杨辉三角第6行的数字：_________． (2)杨辉三角第n行数字之和是：_________，并求出第10行数字之和=_______． (3)求展开式中的系数； (4)若把杨辉三角从第1行开始，每一行的数字依次排列成一个多位数，如第1行为1，第2行为11，第3行为121，第4行为1331，以此类推．求第8个这样的多位数除以11的余数． 【答案】(1)1，5，10，10，5，1 (2) (3)35 (4)2 【分析】本题考查了数字类规律的探索，多项式乘多项式的应用，找到规律是解题的关键． （1）根据规律：两端的两个数为1，中间数等于其上方两数和，由此即可求解； （2）分别求出前面5行中各行数字的和，找到规律即可求解； （3）根据（1）中第6行的数字，可写出第7、8行的数字，从而可得展开式中的系数； （4）把第8个数用10的幂表示出来；在中，取，则当n为偶数时，展开式中最后一项为；当n为奇数时，展开式中最后一项为1；因此每一项除了最后一项外，其展开式中都含有因数11；把所有展开式中最后一项相加，和便是余数． 【详解】（1）解：根据规律得：1，5，10，10，5，1 故答案为：1，5，10，10，5，1； （2）解：第1行数字和为1，第2行数字和为，第3行数字和为， 第4行数字和为，第5行数字和为，……， 一般地，第n行数字和为； 则第10行数字和为：； 故答案为：； （3）解：由（1）得第7行的数字分别为：1，6，15，20，15，6，1； 第8行的数字为：1，7，21，35，35，21，7，1； 则，其展开式中的系数为35； （4）解：由（3）知，第8个数为172135352171，用10的幂表示为； 在中，取，则当n为偶数时，展开式中最后一项为；当n为奇数时，展开式中最后一项为1；因此每一项除了最后一项外，其展开式中都含有因数11； 故当172135352171被11除时，用幂表示的每项中最后一项分别为，其和为2，故余数为2． 考点七：整式乘法混合运算 例7．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．根据定义列出式子，然后根据整式的运算规则进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 故选：C． 【变式7-1】若，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了整体思想，整式混合运算，整体代入到代数式中求值是解题的关键．根据条件得：，用整式乘法运算法则，求出，然后变形求出结果即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ． 故答案为：． 【变式7-2】已知，，．求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则，整式的化简，将式子变形得是解题的关键． 根据整式的混合运算，整式的化简等方法，将式子变形得即可求解． 【详解】解：已知，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【变式7-3】已知，是多项式，计算时，某同学把误写成，结果得，试求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘法，整式的加减，解题的关键是熟练掌握整式运算的法则． （1）利用整式的乘法求出多项式，再计算即可； （2）先进行整式的乘方和乘法运算，再进行整式的减法即可． 【详解】（1）解：根据题意得， （2）解：由（1）得, 考点八：乘法公式 例8．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的乘法运算，掌握单项式乘多项式及乘法公式的解题的关键；利用整式的乘法法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故计算错误； B、，故计算错误； C、，故计算错误； D、，故计算正确； 故选：D． 【变式8-1】已知是一个完全平方式，则的值是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式，熟知完全平方式的结构特征是解答的关键．根据完全平方式的结构特征求解即可． 【详解】解：根据题意，是一个完全平方式， ∴， ∴，解得． 故选：B． 【变式8-2】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，求一个数的平方根，根据完全平方公式把已给等式左边展开，进而得到，求出a的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】已知，，求： (1) (2) 【答案】(1)47 (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，利用完全平方公式变形和平方差公式求值即可，熟练掌握整式的乘法法则是解题的关键． （1）由，得到，推出，同理求得； （2）先分组利用平方差公式将原式求得，将，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵ ， 由（1）得，， ∴原式． 考点九：乘法公式与几何图形 例9．现有若干个长与宽分别为，的小长方形，用这样的两个小长方形，拼成如图1所示的图形，用这样的四个小长方形拼成如图2所示的图形． (1)请认真观察图形，通过图形面积割补的方法，写出图1和图2所蕴含的关于，的关系式．（用含有，的式子表示） 图1表示：________； 图2表示：________； (2)根据上面的思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②如图3，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形，设，正方形，正方形的面积分别为，，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2)①12；②． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用． （1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为，正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （2）①将根据完全平方公式用含有，的式子表示出来，然后代入求值即可． ②根据，，，，可以利用代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中，由图可知， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． 图2中，由图可知，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：； （2）①解：， ，， ； ②解：由题意得， ， ， ， ， ， ， 阴影． 即图中阴影部分的面积为． 【变式9-1】【实践操作】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是________． 【应用探究】 （2）利用（1）中的公式简便计算：； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）90000；（3） 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中阴影部分的面积是正确解答的关键． （1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； （2）先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； （3）利用（1）的结论，连续利用平方差公式即可求解． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为：；图②中阴影部分的面积为：； 则阴影部分的面积可以验证的公式是； 故答案为：； （2） ； （3） ． 【变式9-2】【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． 【应用】根据图②所得的公式，若，，则______． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 【答案】类比探究：；应用：90；拓展：12 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 类比探究：由题意知，； 应用：将，代入，计算求解即可； 拓展：由题意知，，，，由，可得，由，，可得，计算求出的值，根据种草区域的面积和为，计算求值即可． 【详解】类比探究：由题意知，， 故答案为：； 应用：， 故答案为：90； 拓展：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，解得，， ∴种草区域的面积和为， ∴种草区域的面积和为12． 【变式9-3】用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． (1)如图1，若长方形的面积为56，其中阴影部分的面积为，，求的值． (2)如图2，若的长度为，的长度为． ①当______，______时，，的值有无数组； ②当______，______时，，的值不存在． 【答案】(1) (2)①4，12；②， 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．解决本题需仔细观察图形，发现大长方形的边长与、之间的关系是关键．讨论方程组的解情况是本题的难点． （1）由图1中空白部分面积大长方形面积阴影部分面积个小长方形面积，可得，再结合完全平方公式可得，即可得； （2）由长方形的长和宽可列出关于、的方程组，解关于、即可解答． 【详解】（1）解：由图可知：，， ，， ， （负值舍去）； （2）解：①， ，的值有无数组； ，， ，； ②， ，的值不存在． ，， ，； 故答案为：4，12；，． 考点十：乘法公式的变形求值 例10．已知且，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，整体思想的正确运用是解题的关键． 根据已知，求出，再求出，根据得出，求出的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式10-1】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式进行变形求值即可，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 得：， ∴， 故选：． 【变式10-2】已知，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整体法代换和代数式求值，解题的关键在于正确地将已知条件代入代数式，并进行化简求值． 由得，将代入，再结合化简得，由得，平方化简得，故，即可得解． 【详解】解：， ， 将代入，得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 因此，代数式的值是， 故选：D． 【变式10-3】已知，则的值等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式求出，，，展开相加后即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 考点十一：同底数幂的除法 例11．若，，，为正整数，则 （用含、的代数式来表示）． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的除法、幂的乘方等知识，根据同底数幂的除法、幂的乘方变形为再整体代入即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 【变式11-1】 ． 【答案】 【分析】本题考查整式混合运算，幂的乘方和同底数幂的乘除．熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式11-2】已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，指数的相关运算，先将已知的等式转化成以相同的底数3的指数形式，然后通过指数的运算找到a，b与指数的关系，进而求出求出代数式的值． 【详解】解： ， 即 【变式11-3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提公因式进行化简计算即可； （2）先计算同底数幂的乘法以及积的乘方，再计算同底数幂的除法即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点十二：零指数幂与负整数指数幂 例12．计算： (1) (2)． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可； （2）根据整式的乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ， ， ； （2）解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了实数的运算、整式的混合运算，熟练掌握0指数幂，负整数幂的运算法则及底数幂的除法、同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算法则是解题的关键． 【变式12-1】若（，，，都是正整数），则，利用上面结论解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：， ， ． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法与除法，掌握同底数幂的乘法与除法法则是解题的关键． 【变式12-2】计算： 【答案】 【分析】利用有理数的乘方法则和零指数幂的意义解答即可． 【详解】原式=-8+1- = 【点睛】本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则和零指数幂的意义，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键． 【变式12-3】在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（为整数）成立时，，要满足的条件．请解答下列问题： (1)经过讨论，小郑同学总结了三种使（为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整： ①；②；③___________． (2)若，求的值． 【答案】(1)1； (2)或0或． 【分析】此题主要考查有理数的乘方及零指数幂的意义，解题的关键是熟知有理数乘方的运算法则及零指数幂的意义． （1）根据有理数的乘方及零指数幂的意义即可求解． （2）根据有理数的乘方及零指数幂的意义，分，，三种情况即可求解． 【详解】（1）解：，n为任意整数时，， 故答案为：1； （2）解：当时，； 当时，； 此时指数为偶数，符合题意． 当时，， 此时，符合题意． 综上所述或0或． 考点十三：科学记数法 例13．2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出路程，再用科学记数法表示为的形式． 【详解】解：路程=． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 【变式13-1】2021年5月22日，我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面．到目前已经获取约10GB原始科学数据，当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒，已知光速约为米/秒，则地球与火星处于最远位置时的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】用光速乘时间，计算后再根据科学记数法的形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数解答． 【详解】解：21分20秒=1280秒， ×1280 =（米）， 故选：A． 【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 【变式13-2】用四舍五入法把精确到千万位的近似数为 用科学记数法表示． 计算： 结果用科学记数法表示 【答案】 【分析】本题考查了近似数和科学记数法；熟知“科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数”是解题的关键． 先将原数精确到千万位，再用科学记数法表示为的形式即可求解；先计算，然后用科学记数法表示为的形式即可求解． 【详解】解：用四舍五入法把精确到千万位的近似数为； ． 故答案为：；． 【变式13-3】计算式子的结果用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则进行计算，然后将结果化为科学记数法的形式即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查单项式乘单项式及科学记数法，掌握单项式乘单项式的运算法则及科学记数法的形式是解题的关键． 考点十四：整式的除法 例14．如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，根据题意可得：被除式，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：被除式， 故答案为：． 【变式14-1】如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是先求出纸盒底部长方形的宽. 根据长方体纸盒的容积等于底面积乘以高，底面积等于底面长方形的长与宽的乘积可以先求出宽，再计算纸盒底部长方形的周长即可. 【详解】解：根据题意，得该纸盒的容积为， ∴纸盒底部长方形的宽为， ∴纸盒底部长方形的周长为， 故答案为：. 【变式14-2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，掌握相关运算法则即可；根据单项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【变式14-3】（1）计算： （2）计算：． （3）计算：． （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查多项式除以单项式： （1）根据多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加直接进行求解； （2）根据多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加直接进行求解； （3）根据多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加直接进行求解； （4）根据多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加直接进行求解． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式． （4）原式． 拓展训练一：幂的新定义运算 1．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，，，求的值； (3)若运算的结果为810，则t的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义进行计算，得出，将已知式子的值代入进行计算即可求解； （3）根据新定义，列出方程，根据同底数幂的以及幂的乘方运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：当，，时， ； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：． 【点睛】本题考查了幂的乘法与同底数幂的乘法，理解新定义，掌握幂的乘法与同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 2．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． (1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____． (2)写出（1）、、之间满足的关系式______． (3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）． (4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性． 【答案】(1)2，4，6 (2) (3) (4)证明见解析 【分析】（1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，即可找到规律：，； （3）由特殊到一般，得出结论：． （4）设，，根据同底数幂的运算法则：和给出的材料证明结论． 【详解】（1）∵，， ∴， 故答案为：2，4，6； （2）∵，，，， ∴， 故答案为：； （3）由（2）的结果可得， 故答案为：． （4）设，， 则， ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质． 3．请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 4．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果，（，且），那么数叫做以为底的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，，． (1)解方程：， ________； (2)求值：________； (3)计算：________； (4)计算：． 【答案】(1)2 (2)3 (3)1 (4) 【分析】本题考查了新定义下的实数的运算、同底数幂相乘，理解题意的新运算是解此题的关键． （1）由题意可得，求解即可； （2）由结合题意计算即可得解； （3）根据计算即可得解； （4）根据题干所给公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解： ． 拓展训练二：多项式乘法的规律性计算综合 1．方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单到特殊的情况入手，例如：求的值．分别计算下列各式的值： (1)填空： ； ； ； 由此可得 ； (2)计算： ； (3)根据以上结论，计算： 【答案】(1)，，，； (2)； (3)． 【分析】（）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可； （）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （）根据得出的规律将原式变形，计算得到结果，即可做出判断． 【详解】（1）， ， ， 由此可得：， 故答案为：，，，； （2）， 故答案为：； （3）， , ， ． 【点睛】此题考查了多项式的乘法、平方差公式以及探索数字规律，弄清题意，找出题目中因式多项式与乘积多项式之间的特征关系律是解题的关键． 2．已知，，…，的值都是1或－1，设S是这2002个数的两两乘积之和．（参考公式：） (1)求S的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件； (2)求S的最小正值，并指出能达到最小正值的条件． 【答案】(1)当或时，S取得最大值2003001，当，，…，中有1001个1，1001个0时，S取得最小值 (2)57 【分析】（1）由于，可得，时，m有最大值，时，m有最小值，最大值为2003001，最小值为； （2）找到最小的比2002大的偶数完全平方数，即当这2002个数中有1024个1，978个，或有1024个， 978个1时取得最小正值． 【详解】（1）解：， ， 当或时，S取得最大值2003001， 当，，…，中有1001个1，1001个－1时，S取得最小值； （2）∵大于2002的最小完全平方数为，且必为偶数， ∴当或时，即当这2002个数中有1024个1，978个，或有1024个， 978个1时，S取得最小值． 【点睛】本题考查完全平方数和多项式乘法，解题的关键是将由得到，有一定的难度． 3．阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：    也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续．上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______． (2)计算所得多项式的一次项系数为______． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则______． (4)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． (5)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)5，10 (5)10， 【分析】（1）结合已知可得所得多项式的一次项系数，即可求解； （2）结合已知可得所得多项式的一次项系数，即可求解； （3）由所得多项式中不含一次项，可得，即可求解； （4）（5）根据题目中提供的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：7； （2）， 故答案为：； （3）由题意得，， 也就是，， 所以，； 故答案为：； （4） 一次项系数为：； 二次项系数为：． 故答案为：5，10； （5）． ． 一次项系数为：， 二次项系数为：． 故答案为：10；． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数是解决问题的关键． 4．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，它只有一项，系数为1；系数和为1； ，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； ，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； 则 (1)的展开式共有___________项，系数和为___________． (2)___________． (3)___________． (4)___________． (5)的展开式中第三项系数为___________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）根据题意寻找规律即可得到答案； （2）根据规律展开即可得到答案； （3）根据规律展开即可得到答案； （4）根据规律展开即可得到答案； （5）根据规律展开即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 当时有一项，时有两项，时有三项，时有四项， 故的展开式共有项； ∵，，，， ∴的展开式系数和为； （2）解：由（1）中规律可得，的展开式首末项系数都是1，中间项是的相邻两项系数和， 原式 ； （3）解：由（1）中规律可得，的展开式首末项系数都是1，中间项是的相邻两项系数和， 原式 ； （4）解：由（1）中规律可得，的展开式首末项系数都是1，中间项是的相邻两项系数和， 原式 ； （5）解：有上述几式可知第二个式子系数是逐渐增加1的关系，第三个式子系数是从第三个式子开始， ∴的展开式中第三项系数为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的拓展，解题关键是观察分析数据，找出规律，本题的规律是，每个式子展开都有项，它们的系数和是，的展开式首末项系数都是1，中间项是的相邻两项系数和，第二个式子系数是逐渐增加1的关系，第三个式子系数是从第三个式子开始． 拓展训练三：多项式乘法与几何图形综合 1．长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解； （3）求出透光部分的面积，再根据窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，得出等式，即可求出的值． 本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形列出式子进行计算，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题知：，，，， ，， ， ∴长方形窗户的总面积为． （2）解：根据题意可得， ， ， ， ， ∴ ． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . (2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . (3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 【答案】(1)， (2) (3)1，3，2 (4)①，；② 【分析】本题考查拼图与整式的乘法，数形结合是解题的关键. （1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可； （2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案； （3）先画长方形，长为，宽为，观察图形可得答案； （4）①利用和计算即可； ②设，，利用求出，再利用求出，最后把还原后求解即可. 【详解】（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：， 方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即， 故答案为：，； （2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的， ∴， 故答案为： （3）拼图如下：    观察图形可得：需要类卡片1张，类卡片3张，类卡片2张. 故答案为：1，3，2； （4）①根据（2）题可得， ∵,， ∴ ∴， ； ②设，， ∵， ∴， 又∵， ∵ ∴， ∴， 由，得 ∴， 即， 整理，得，即 ∴. 3．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）通过面积关系求长方形的边长． 【详解】（1）解：用竖式计算如下， 的商是，余式是． ∴答案为：，． （2）多项式能被整除，则 ∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0． ∴a=-6，b=2． ∴ab=（-6）2=36． （3）长方形A的周长为：2（x+2+x-2）=4x． 长方形B的周长为：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12． ∵长方形B的周长是A周长的2倍． ∴4x+2a+12=8x． ∴a=2x-6． ∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8） =3x2+16x-64． ∴长方形C的面积为：3x2+16x-140． ∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14． ∴长方形C的另一边长为：3x-14． 【点睛】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键． 4．阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 【答案】(1)（a+2b）2=a2+4ab+4b2； (2)（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2； (3)①见解析；②（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29． 【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各长方形的面积之和求解即可； （2）直接求得长方形的面积，然后再根据长方形的面积=各长方形的面积之和求解即可； （3）①根据题意画出图形即可； ②直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可； ③将a+b+c=9，ab+bc+ac=26代入②中得到的关系式，然后进行计算即可． 【详解】（1）大正方形的面积可表示为=（a+2b）2， 大正方形的面积=各个长方形的面积之和=a2+4ab+4b2， 所以（a+2b）2=a2+4ab+4b2， 故答案为：（a+2b）2=a2+4ab+4b2； （2）大长方形的面积可表示为=（2a+b）（a+2b）， 大长方形的面积=各个长方形的面积之和=2a2++5ab+2b2， 所以（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2， 故答案为：（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2； （3）①所画图形如下： ②正方形的面积可表示为=（a+b+c）2； 正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， 所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca． 故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca； ③∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=92-26×2=81-52=29． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式应用，利用面积法列出等式是解题的关键． 拓展训练四：乘法公式与几何图形综合 1．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)图中阴影部分的正方形的边长是______． (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积： 方法：______；方法：______． (3)观察图，请你写出、、之间的等量关系是______． (4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，则______． 【答案】(1)； (2)， (3)； (4)14． 【分析】（1）由拼图可直接得出答案； （2）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去个长为，宽为的长方形面积即可； （3）由（2）两种方法所表示的面积相等可得答案； （4）由（3）的结论代入计算即可． 【详解】（1）由拼图可得，图中阴影部分的正方形的边长为， 故答案为：； （2）方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去个长，宽为的长方形面积，即 故答案为：， （3）由（2）得，， 故答案为：； （4），，                 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键． 2．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)； 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1： ，方法2： ； （2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的等量关系式是 ； （3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ； 【知识迁移】 （4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： ． 【答案】（1）（a-b）2，（a+b）2-4ab；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）80；（4）x3-x=x（x+1）（x-1） 【分析】（1）利用直接和间接的方法表示出阴影部分面积； （2）由阴影部分面积相等可得结果； （3）直接根据（2）的结论代入求值即可； （4）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可． 【详解】解：（1）方法1：直接根据正方形的面积公式得，（a-b）2， 方法2：大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2-4ab； （2）由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2； （3）由（a+b）2-4ab=（a-b）2， 可得：102-4×5=（a-b）2， ∴（a-b）2=80； （4）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，新几何体的体积=x（x+1）（x-1）， ∴恒等式为x3-x=x（x+1）（x-1）． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． 3．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 【教材片段】：计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：． （1）如图2，用不同的代数式表示大正方形的而积，由此得到的等式为__________；（用a、b表示） （2）利用上面结论解决问题：若，则__________； （3）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示） （4）利用上面结论解决问题：已知，则__________； （5）如图4，用不同的代数式表示大正方形的面积（里面是边长为c的小正方形），由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示） （6）若，请通过计算说明a、b、c满足上面结论． 【答案】（1）；（2）28；（3）；（4）21；（5）；（6）见解析 【分析】（1）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论； （2）由（1）得到，再将已知等式代入计算即可； （3）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论； （4）根据（3）中结论，将已知等式代入计算即可； （5）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论； （6）分别计算出，，，根据整式的混合运算法则可得结论． 【详解】解：（1）大正方形整体表示面积为：， 大正方形部分和表示面积为：， ∴由此可得等式为：； （2）由（1）可得： ， ∴x+y=6，xy=2， ∴， ∴； （3）大正方形面积整体表示为：， 大正方形面积部分和表示为：， 故由此可得公式为： ； （4）∵a+b+c=7，ab+bc+ac=14， ∴由（3）可得： ， ∴； （5）由题可得： 大正方形面积整体表示为：， 大正方形面积部分和表示为：， ∴， ∴； （6）∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，用不同的方式表示出同一个图形的面积，解题时注意数形结合思想的运用． 4．【阅读理解】我们常将一些公式变形，以简化运算过程． 如，可以把公式“”变形成或等形式，运用于下面这个问题的解答： 问题：若满足，求的值． 我们可以作如下解答：设，，则，，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： （1）若满足，则的值为_______； （2）若满足，则的值为______； （3）如图，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，.沿着、所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形的面积． 【答案】（1）120；（2）2021；（3）长方形NDMH的面积为192． 【分析】（1）根据题中提供方法进行计算即可； （2）设a=2020-x，b=2017-x，计算出a-b的值，利用2ab=a2+b2-（a-b）2，进行计算即可； （3）由题意知，a2+b2=400，a-b=4．利用（a-b）2+2ab=a2+b2计算ab的值即可； 【详解】解：（1）设a=80-x，b=x-70，则ab=-10，a+b=80-x+x-70=10， ∴（80-x）2+（x-70）2的值=a2+b2=（a+b）2-2ab=100+20=120， 故答案为：120； （2）设a=2020-x，b=2017-x，则a-b=2020-x-2017+x=3， ∴（2020-x）（2017-x）=ab=[a2+b2-（a-b）2]= （4051-9）=2021， 故答案为：2021； （3）设LD=a，DK=b，则AD=8+a，DC=b+12． 由题意知，8+a=b+12，a2+b2=400， ∴a-b=4． ∴（a-b）2+2ab=a2+b2 ∴42+2ab=400， 所以ab=192． 所以长方形NDMH的面积为ab=192． 即：S矩形NDMH=ab=192． 【点睛】考查完全平方公式的意义和应用，理解公式的变形和结构特征是正确应用的前提． 拓展训练五：配方法求最值 1．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 【解决问题】 (1)数61　 　“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究问题】 (2)已知，则　 　； (3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值； 【拓展结论】 (4)已知、满足，求的最小值． 【答案】(1)是； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）根据新定义求解； （2）先把登上的左边进行配方，再根据非负数的性质求出、的值，再求； （3）先根据的前四项进行配方，再根据相等的条件求解； （4）根据条件求出的值，再进行配方求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是“完美数”， 故答案为：是； （2）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）解：∵ ， 为“完美数”， ∴ ∴； （4）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴当，时，的最小值为：． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 2．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式的最小值． 解：原式． ∵， ∴． ∴当x＝－1时，的最小值是2 (1)请仿照上面的方法求代数式的最小值． (2)已知△ABC的三边a，b，c满足，，．求△ABC的周长． 【答案】(1)-10 (2)9 【分析】（1）根据题干解题过程进行求解即可； （2）由，，可得，，再化简即可得a，b，c，进而得周长； 【详解】（1）解：原式． ∵， ∴． ∴当x=-3时，的最小值是-10； （2）解：由，，可得， ∴ ∴△ABC的周长为：． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． 3．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法。配方法在代数式求值、解方程、最值问题等问题中都有着广泛的应用．例如：若代数式，利用配方法求M的最小值； ， ∵，， ∴ ∴当时，代数式M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)若代数式，求N的最大值； (3)已知，求以a，b为边长的等腰三角形的周长． 【答案】(1)9； (2)N的最大值为5； (3)等腰三角形的周长为40． 【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可； （2）先提出负号，再配成完全平方，即可得答案； （3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a，b，的值，从而利用等腰三角的两腰相等即可求解． 【详解】（1）解：∵a2+6a+9=（a+3）2， 故答案为：9； （2）， ， ∴N的最大值为5； （3）解：， ， ， ， ，， ∴当以等腰三角形的腰长，因为，此时不能构成三角形，当以等腰三角形的腰长，以为底时，等腰三角形的周长为． 【点睛】本题考查了配方法在代数式求值中的应用，明确如何配方及偶次方的非负性，是解题的关键． 4．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”、理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（填序号）． ①29；            ②48：             ③13：            ④28． 探究问题： （2）若可配方成（为常数），则的值________； （3）已知（是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展应用： （4）已知实数满足，求的最小值． 【答案】（1）①③；（2）；（3）当时，S是完美数，理由见详解；（4）的最小值为． 【分析】（1）根据“完美数”的定义分别进行判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论； （4）利用配方法和非负数的性质求得的最小值． 【详解】解：（1）根据题意， ∵，，48和28不能拆解为两数的平方和， ∴“完美数”有29和13； 故答案为：①③； （2）∵， 又∵， ∴，， ∴； 故答案为：； （3）当时，S是完美数； 理由如下： ； ∵是整数， ∴和也是整数， ∴当时，S是完美数； （4）根据题意， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了新定义的运算法则，因式分解的应用，配方法的应用，完全平方公式，解题的关键是仔细阅读材料理解分组分解的方法，难度不大． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）冠状病毒的一个变种是非典型肺炎的病原体，球形冠状病毒的直径是米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示形式即可得到答案． 【详解】解：米 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，完全平方公式等知识点，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 利用同底数幂的除法得出，根据添项得出完全平方式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由得，， 即， 将代入上式得， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为和.若知道下列条件，可以求值的是（　　） A．长方形纸片的面积 B．长方形纸片的周长 C．长方形纸片和①的面积差 D．图1与图2阴影部分的面积差 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法、完全平方公式在图形中的应用，熟记运算法则是解题的关键．设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，   则， ， ， ∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项A、B不符合题意； ∵图1的阴影部分的面积为：， 图2的阴影部分的面积为：， ∴长方形纸片和①的面积差为，故C不符合题意； ∴①和②的面积差为， ∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项D符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示的“小熊幻圆”中，使得每个大圆圈上的四个数字的和都等于，若每个大圆圈上的四个数字的平方和分别记，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据题意可得，则，，所以，再结合，求出，然后对，即，最后代入求值即可，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 【详解】解：∵每个大圆圈上的四个数字的和都等于， ∴， ∴，， 设上面大圆圈四个数字的平方和记为，下面大圆圈四个数字的平方和记为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于x的多项式中x6项的系数为（　　） A．80 B．60 C．40 D．20 【答案】B 【分析】本题考查对“杨辉三角”规律的运用以及多项式乘法法则，解题关键是利用“杨辉三角”得出展开式，再通过分析多项式乘积中项的构成来确定其系数． 由已知规律得，再利用多项式乘多项式法则求出项的系数即可． 【详解】根据“杨辉三角”的规律得： ， ， ，， 项的系数为：． 故答案为：B． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）设，，其中，给出以下结论：①；②当时，；则下列判断正确的是（   ） A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式．本题的关键是结合整体的思想，对已知式子和所求式子进行化简整理． 根据，，直接代入计算即可； ②结合平方差公式可得，从而通过配方代入数据求出； 【详解】解：∵，， ∴，故正确 ②由题意知，， 所以，即， ．故正确． 故选：A． 7．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）已知，则的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，完全平方公式的应用，根据已知式子结合完全平方公式得出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：2025． 8．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，求得的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再把所求式子利用乘法公式去括号并合并同类项化简，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 9．（24-25七年级下·浙江·期中）如图所示，在周长为44的长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形和，其中点E、G分别在、上，点H、K分别在边、上，点P、Q在边上，点N在边上．记如图的三个阴影部分的面积分别为，，，若，则长方形的面积为 ． 【答案】120 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键． 设长方形的长，宽，表示出，则由已知及图形可得、、代的长、宽及面积如何表示，根据，及可整体求得的值，即长方形的面积． 【详解】设长方形的长，宽， ∵周长为44， ∴ ． 的长为，宽为， ． 的长为，宽为， ． ：长为，宽为， 所以． 将、、代入得：      将代入中得： ． ∴长方形的面积为120． 故答案为：120． 10．（24-25七年级下·浙江台州·期中）设，则M与N的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，利用作差法求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当 时，有最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．将多项式变形成，再结合求解即可． 【详解】解：， 由知，当时，多项式有最小值， 故答案为：；． 12．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x，y的方程组，现给出以下结论：①是该方程组的一个解； ②无论a取何值，的值始终是一个定值； ③当时，该方程组的解也是方程的解； ④若，则．其中正确的是 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查平方差公式、二元一次方程的解、二元一次方程组的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用加减消元消掉a，进而得出答案． 【详解】解：， 得，③， ， 则， 故②正确； 将分别代入中，即，故①正确； 当时，，故③正确； 若，则 即， 故， 解得：，故④错误． 故答案为：①②③， 13．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，乘法公式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键； （1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）（1）已知，，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了整式的化简求值，能熟练进行整式混合运算，并利用整体代入法进行计算是解题的关键． （1）先利用幂的运算化为，再整体代入，即可求解； （2）先利用平方差公式和完全平方公式进行运算，再进行加减运算，最后整体代值计算，即可求解； 【详解】解：（1）原式 ，， ，，， 原式 ； （2）原式 ， ， ， 原式 ． 15．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）【理解】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）如图2，请你写出代数式：，，之间的等量关系_____； 【运用】（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：，，求和的值； 【感悟】（3）已知，求 【答案】（1）  （2） ，12；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应用完全平方公式进行变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，． （1）图2的面积可以表示为一个边长为的正方形面积，又可以表示为一个边长为a的正方形面积加上一个边长为b的正方形面积再加上两个长为b，宽为a的长方形面积，据此可得结论； （2）根据可得，再根据（1）中的结论计算即可； （3）设，，则，可得出，再根据（1）中的结论计算即可． 【详解】解：（1）∵图2是边长为的正方形， ∴， ∵图2可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b，宽为a的长方形的组合图形， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴； （3）设，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴ 即． 16．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． (1)如图1，若长方形的面积为56，其中阴影部分的面积为，，求的值． (2)如图2，若的长度为，的长度为． ①当______，______时，，的值有无数组； ②当______，______时，，的值不存在． 【答案】(1) (2)①4，12；②， 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．解决本题需仔细观察图形，发现大长方形的边长与、之间的关系是关键．讨论方程组的解情况是本题的难点． （1）由图1中空白部分面积大长方形面积阴影部分面积个小长方形面积，可得，再结合完全平方公式可得，即可得； （2）由长方形的长和宽可列出关于、的方程组，解关于、即可解答． 【详解】（1）解：由图可知：，， ，， ， （负值舍去）； （2）解：①， ，的值有无数组； ，， ，； ②， ，的值不存在． ，， ，； 故答案为：4，12；，． 17．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）乘法公式的探究及应用： (1)如图1所示，可以求出阴影部分的面积是_____________（写成两数平方差的形式）． (2)若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是______________（写成多项式乘法的形式）． (3)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_____________． (4)应用所得的公式计算： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了本题考查了平方差公式的几何推导和应用. （1）根据题意得出阴影部分面积后整理可得； （2）根据矩形的面积公式计算即可； （3）根据阴影部分面积相同列等式即可； （4）根据平方差的公式进行分析计算即可． 【详解】（1）阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积； 故答案为； （2）长方形的宽为，长为，面积=长×宽， 故答案为； （3）由（1）、（2）得到， 故答案为； （4）由（3）得到， ∴ = = =. 18．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)根据用两种不同的方法表示图2中正方形的面积，直接写出一个因式分解的等式_______． (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求和的值． ②已知，求． (4)如图3，用三张边长为x的正方形纸片，五张长为x，宽为1的长方形纸片和两张边长为1的正方形纸片．试一试，能否把这些纸片拼成一个长方形，若能，求出新长方形的长和宽． 【答案】(1) (2)3；10；8 (3)①，15  ② (4)能；长，宽 【分析】本题考查拼图与整式的乘法，乘法公式和因式分解，数形结合是解题的关键. （1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案； （2）利用多项式乘法展开即可得到答案； （3）①利用和计算即可； ②设，，利用求出，再利用求出，最后把还原后求解即可. （4）拼成图形，即可得到答案. 【详解】（1）解：阴影部分是两个正方形，面积为：， 阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即， ∵两种方法计算的面积是相等的， ∴， 即 故答案为：， （2）∵ ， ∴要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片3张，类卡片10张，类卡片8张． 故答案为：3；10；8 （3）①根据（1）题可得， ∵,， ∴， ∴， ； ②设，， ∵， ∴， 又∵， ∵ ∴， ∴， 由，得 ∴， 即， 整理，得，即 ∴. ∴ （4）如图， 则能把这些纸片拼成一个长方形，新长方形的长为，宽为． 19．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定： ．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公变形应用，整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， ， ， 是完全平方式， ， ； （2） ， 去括号得：， 合并同类项得：， ， ， ， ， 解得：； （3），， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为：， ，， 阴影部分的面积为：． 20．（24-25七年级下·浙江·期中）若一个正整数m是两个连续正奇数的乘积，即，其中n为正奇数，则称m为“相邻奇数积”，n为m的“较小奇因数”．例如，，则35是“相邻奇数积”，5为35的“较小奇因数”． (1)a是“相邻奇数积”，它的“较小奇因数”为3，则 ；b是63的“较小奇因数”，则 ． (2)求证：“相邻奇数积”比构成它的两个奇因数的和的一半的平方小1． (3)若x，y均为“相邻奇数积”，且它们的较小奇因数是两个连续奇数，设，若正数p是一个两位数，求x的最大值． 【答案】(1)15，7 (2)见解析 (3)575 【分析】本题考查对列代数求值，整式的混合运算，新定义的理解与运用，解题关键是紧扣新定义，通过代入计算、代数恒等变形、建立变量关系等方法，分别求解与新定义相关的问题． （1）直接代入定义计算； （2）通过对变形为，恒等变形证明； （3）设，得出，根据p是两位数确定a的取值范围，取满足条件的最大奇数，进而求得x最大值为．， 【详解】（1）解：∵ “相邻奇数积”（为正奇数），a的 “较小奇因数”为3，即， 将代入，得． 因为63是“相邻奇数积”，设较小奇因数为b，则， 解得或， ∵为正奇数， ∴较小奇因数． 故答案为：15，7 （2）解：设相邻奇数积为，两个奇因数的和的一半的平方小1可表示为： 右边， 左边， 左边右边，所以成立 ． （3）解：设，则 ， 因为正数p是一个两位数， ． 这意味着当时，，但100是三位数，不符合p是两位数的条件 ． 由于a是奇数，比25小的最大奇数是23， 此时，满足p是两位数的要求． 所以奇数a的最大值为23， 所以x的最大值为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 整式的乘除 （4知识点+14大考点+5拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 幂的运算 1、 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 2、幂的乘方 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 3、积的乘方 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 4、同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 5、零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 6、科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点 2 单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 单项式乘多项式的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点 3 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 整式除法 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 知识点 4 乘法公式 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 补充公式 ；； ；. 考点一：同底数幂的乘法 例1．若k为正整数，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若 ． 【变式1-3】已知，则的值是 ． 考点二：幂的乘方与积的乘方 例2．计算： (1)； (2)． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】计算：． 【变式2-3】计算： (1)； (2)． 考点三：单项式乘法 例3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】若，则 ． 【变式3-3】计算： (1)； (2)． 考点四：多项式乘法 例4．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】已知：无论取何值时，都成立，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】若等式恒成立．无论为何值，的值始终为一个定值，则这个定值为 ． 【变式4-3】计算： (1)； (2)． 考点五：多项式乘法的化简求值 例5．（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中，． 【变式5-1】已知，求代数式的值． 【变式5-2】在计算时，甲错把看成了4，得到结果是：，乙错把看成，得到结果：． (1)求出，的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 【变式5-3】已知． (1)求的值； (2)求的值． 考点六：多项式乘法中的规律性问题 例6．请看杨辉三角（如图），并观察下列等式： 根据前面各式的规律，则的第三项系数是（   ） A．730 B．741 C．780 D．820 【变式6-1】我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算术》中提出下表，此表揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如： ；它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项；系数分别为，，，； 根据以上规律，展开式各项系数的和等于 ． 【变式6-2】【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：________； 【问题解决】 （3）化简：________． 【变式6-3】（综合与实践） 杨辉三角是将数字按规律排成的三角形数表，由南宋数学家杨辉记载于《详解九章算法》．其每行两端数字为1，中间数等于上方两数之和，还与二项式展开系数对应，蕴含诸多数学规律与性质． (1)写出杨辉三角第6行的数字：_________． (2)杨辉三角第n行数字之和是：_________，并求出第10行数字之和=_______． (3)求展开式中的系数； (4)若把杨辉三角从第1行开始，每一行的数字依次排列成一个多位数，如第1行为1，第2行为11，第3行为121，第4行为1331，以此类推．求第8个这样的多位数除以11的余数． 考点七：整式乘法混合运算 例7．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】若，则 ． 【变式7-2】已知，，．求的值为 ． 【变式7-3】已知，是多项式，计算时，某同学把误写成，结果得，试求： (1)的值； (2)的值． 考点八：乘法公式 例8．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知是一个完全平方式，则的值是（     ） A．1 B． C． D． 【变式8-2】已知，则的值为 ． 【变式8-3】已知，，求： (1) (2) 考点九：乘法公式与几何图形 例9．现有若干个长与宽分别为，的小长方形，用这样的两个小长方形，拼成如图1所示的图形，用这样的四个小长方形拼成如图2所示的图形． (1)请认真观察图形，通过图形面积割补的方法，写出图1和图2所蕴含的关于，的关系式．（用含有，的式子表示） 图1表示：________； 图2表示：________； (2)根据上面的思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②如图3，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形，设，正方形，正方形的面积分别为，，且，求图中阴影部分的面积． 【变式9-1】【实践操作】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是________． 【应用探究】 （2）利用（1）中的公式简便计算：； （3）计算：． 【变式9-2】【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． 【应用】根据图②所得的公式，若，，则______． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 【变式9-3】用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． (1)如图1，若长方形的面积为56，其中阴影部分的面积为，，求的值． (2)如图2，若的长度为，的长度为． ①当______，______时，，的值有无数组； ②当______，______时，，的值不存在． 考点十：乘法公式的变形求值 例10．已知且，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【变式10-1】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】已知，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】已知，则的值等于 ． 考点十一：同底数幂的除法 例11．若，，，为正整数，则 （用含、的代数式来表示）． 【变式11-1】 ． 【变式11-2】已知，求的值． 【变式11-3】计算： (1) (2) 考点十二：零指数幂与负整数指数幂 例12．计算： (1) (2)． 【变式12-1】若（，，，都是正整数），则，利用上面结论解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【变式12-2】计算： 【变式12-3】在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（为整数）成立时，，要满足的条件．请解答下列问题： (1)经过讨论，小郑同学总结了三种使（为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整： ①；②；③___________． (2)若，求的值． 考点十三：科学记数法 例13．2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】2021年5月22日，我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面．到目前已经获取约10GB原始科学数据，当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒，已知光速约为米/秒，则地球与火星处于最远位置时的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式13-2】用四舍五入法把精确到千万位的近似数为 用科学记数法表示． 计算： 结果用科学记数法表示 【变式13-3】计算式子的结果用科学记数法表示为 ． 考点十四：整式的除法 例14．如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为 ． 【变式14-1】如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为 ． 【变式14-2】计算： ． 【变式14-3】（1）计算： （2）计算：． （3）计算：． （4）计算：． 拓展训练一：幂的新定义运算 1．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，，，求的值； (3)若运算的结果为810，则t的值是多少？ 2．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． (1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____． (2)写出（1）、、之间满足的关系式______． (3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）． (4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性． 3．请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 4．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果，（，且），那么数叫做以为底的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，，． (1)解方程：， ________； (2)求值：________； (3)计算：________； (4)计算：． 拓展训练二：多项式乘法的规律性计算综合 1．方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单到特殊的情况入手，例如：求的值．分别计算下列各式的值： (1)填空： ； ； ； 由此可得 ； (2)计算： ； (3)根据以上结论，计算： 2．已知，，…，的值都是1或－1，设S是这2002个数的两两乘积之和．（参考公式：） (1)求S的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件； (2)求S的最小正值，并指出能达到最小正值的条件． 3．阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：    也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数． 延续．上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______． (2)计算所得多项式的一次项系数为______． (3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则______． (4)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． (5)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______． 4．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，它只有一项，系数为1；系数和为1； ，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； ，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； 则 (1)的展开式共有___________项，系数和为___________． (2)___________． (3)___________． (4)___________． (5)的展开式中第三项系数为___________． 拓展训练三：多项式乘法与几何图形综合 1．长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 2．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . (2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . (3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 3．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 4．阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 拓展训练四：乘法公式与几何图形综合 1．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)图中阴影部分的正方形的边长是______． (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积： 方法：______；方法：______． (3)观察图，请你写出、、之间的等量关系是______． (4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，则______． 2．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)； 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1： ，方法2： ； （2）由(1)可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的等量关系式是 ； （3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ； 【知识迁移】 （4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： ． 3．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 【教材片段】：计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：． （1）如图2，用不同的代数式表示大正方形的而积，由此得到的等式为__________；（用a、b表示） （2）利用上面结论解决问题：若，则__________； （3）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示） （4）利用上面结论解决问题：已知，则__________； （5）如图4，用不同的代数式表示大正方形的面积（里面是边长为c的小正方形），由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示） （6）若，请通过计算说明a、b、c满足上面结论． 4．【阅读理解】我们常将一些公式变形，以简化运算过程． 如，可以把公式“”变形成或等形式，运用于下面这个问题的解答： 问题：若满足，求的值． 我们可以作如下解答：设，，则，，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： （1）若满足，则的值为_______； （2）若满足，则的值为______； （3）如图，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，.沿着、所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形的面积． 拓展训练五：配方法求最值 1．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 【解决问题】 (1)数61　 　“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究问题】 (2)已知，则　 　； (3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值； 【拓展结论】 (4)已知、满足，求的最小值． 2．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式的最小值． 解：原式． ∵， ∴． ∴当x＝－1时，的最小值是2 (1)请仿照上面的方法求代数式的最小值． (2)已知△ABC的三边a，b，c满足，，．求△ABC的周长． 3．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法。配方法在代数式求值、解方程、最值问题等问题中都有着广泛的应用．例如：若代数式，利用配方法求M的最小值； ， ∵，， ∴ ∴当时，代数式M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)若代数式，求N的最大值； (3)已知，求以a，b为边长的等腰三角形的周长． 4．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”、理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（填序号）． ①29；            ②48：             ③13：            ④28． 探究问题： （2）若可配方成（为常数），则的值________； （3）已知（是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展应用： （4）已知实数满足，求的最小值． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）冠状病毒的一个变种是非典型肺炎的病原体，球形冠状病毒的直径是米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为和.若知道下列条件，可以求值的是（　　） A．长方形纸片的面积 B．长方形纸片的周长 C．长方形纸片和①的面积差 D．图1与图2阴影部分的面积差 4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示的“小熊幻圆”中，使得每个大圆圈上的四个数字的和都等于，若每个大圆圈上的四个数字的平方和分别记，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于x的多项式中x6项的系数为（　　） A．80 B．60 C．40 D．20 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）设，，其中，给出以下结论：①；②当时，；则下列判断正确的是（   ） A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 7．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）已知，则的值是 ． 8．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，求得的值为 ． 9．（24-25七年级下·浙江·期中）如图所示，在周长为44的长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形和，其中点E、G分别在、上，点H、K分别在边、上，点P、Q在边上，点N在边上．记如图的三个阴影部分的面积分别为，，，若，则长方形的面积为 ． 10．（24-25七年级下·浙江台州·期中）设，则M与N的大小关系为 ． 11．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当 时，有最小值是 ． 12．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x，y的方程组，现给出以下结论：①是该方程组的一个解； ②无论a取何值，的值始终是一个定值； ③当时，该方程组的解也是方程的解； ④若，则．其中正确的是 （填序号） 13．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）计算 (1)； (2)． 14．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）（1）已知，，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 15．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）【理解】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）如图2，请你写出代数式：，，之间的等量关系_____； 【运用】（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：，，求和的值； 【感悟】（3）已知，求 16．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． (1)如图1，若长方形的面积为56，其中阴影部分的面积为，，求的值． (2)如图2，若的长度为，的长度为． ①当______，______时，，的值有无数组； ②当______，______时，，的值不存在． 17．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）乘法公式的探究及应用： (1)如图1所示，可以求出阴影部分的面积是_____________（写成两数平方差的形式）． (2)若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是______________（写成多项式乘法的形式）． (3)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_____________． (4)应用所得的公式计算： 18．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)根据用两种不同的方法表示图2中正方形的面积，直接写出一个因式分解的等式_______． (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求和的值． ②已知，求． (4)如图3，用三张边长为x的正方形纸片，五张长为x，宽为1的长方形纸片和两张边长为1的正方形纸片．试一试，能否把这些纸片拼成一个长方形，若能，求出新长方形的长和宽． 19．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定： ．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 20．（24-25七年级下·浙江·期中）若一个正整数m是两个连续正奇数的乘积，即，其中n为正奇数，则称m为“相邻奇数积”，n为m的“较小奇因数”．例如，，则35是“相邻奇数积”，5为35的“较小奇因数”． (1)a是“相邻奇数积”，它的“较小奇因数”为3，则 ；b是63的“较小奇因数”，则 ． (2)求证：“相邻奇数积”比构成它的两个奇因数的和的一半的平方小1． (3)若x，y均为“相邻奇数积”，且它们的较小奇因数是两个连续奇数，设，若正数p是一个两位数，求x的最大值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$