湖南省长沙市南雅中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

南雅中学2025年上学期五月月考试卷 高二数学 时量：120分钟 分值150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则的真子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知中，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 5. 已知角，满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 把函数的图象向右平移a个单位长度后得到偶函数的图象，则a的最小正值为（ ） A. B. C. D. 7. 一个不透明的袋子中装有除颜色外，大小，质地完全相同的5个黑球，个白球，已知一次从中任意取出3个球，取出的球是2个黑球，1个白球的概率为．现一次从中任取4个球，若取出一个黑球得1分，取出一个白球得2分，设随机变量为取出4个球的总得分，则（ ） A. B. C. D. 8. 记函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则（ ） A. 函数在区间上增函数 B. 直线是函数图像的一条对称轴 C. 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到 D. 对任意，恒有 10. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，，则 B. 若，则为钝角三角形 C. 若是等边三角形，则，的夹角为 D. 在中，若，则必等腰直角三角形 11. 在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（ ） A B. C. 第项为 D. 从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 某校组队参加辩论赛，从名学生中选出人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为________(结果用数值表示) 13. 已知函数且，若在上为减函数，则的取值范围是________. 14. 将一个圆锥整体放入棱长为2的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内，圆锥的轴线与容器的体对角线重合，则圆锥体积的最大值为______________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据． 10 20 30 40 50 650 640 600 590 580 （1）一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由． （2）请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度． 参考公式：； 相关系数． 参考数据：． 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，点Q为棱PC上一点． （1）证明：平面； （2）当二面角的余弦值为时，求． 17. 在中，． （1）若的面积为，求； （2）若，且为锐角三角形，求周长的取值范围． 18. 已知椭圆，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，，R是直线上一动点，的最小值为1． （1）求E的方程： （2）过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求面积的取值范围． 19. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值； （2）若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围； （3）当时，若，（其中）满足，求证：. 南雅中学2025年上学期五月月考试卷 高二数学 时量：120分钟 分值150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 【12题答案】 【答案】180 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【15题答案】 【答案】（1）拟合效果非常好，理由见解析 （2）； 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）极大值，无极小值 （2） （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$