掌握统计解题技巧，洞悉概率科学备考-《中学生数理化》高考数学2025年6月刊

■河南省实验中学 丁振楠 统计与概率是高中数学中的一个核心知 识,在高考中的地位与重要性不言而喻。这 部分内容注重对逻辑思维能力、信息获取能 力及运算化简能力的考查。高考要求同学们 理解、掌握这部分内容的基本知识与方法,能 快速提炼题干条件并运用所学数学知识解决 实际问题。本文通过对部分省市模拟考试中 较为典型的统计概率解答题进行详解,总结 常见题型的解题方法,为同学们提供实用的 做题思路与技巧。 一、数据处理是基础,常见分布要清楚 在统计概率问题中,数据的收集与整 理是做题的基础和关键,它决定了我们解 决问题的速度和准确率。作为解答题,统 计概率类问题通常会涉及抽样方法(分层 抽样为主)、数据的数字特征(如平均数、中 位数、众数、方差等)、回归方程、独立性检 验,以及高中阶段常见的特殊分布(超几何 分布、二项分布及正态分布)等相关知识内 容。同学们要熟练掌握这一模块的基础知 识与基本内容,通过提炼题干信息判断题 目所 属 类 别,保 证 又 快 又 准 地 解 决 相 关 问题。 例 1 (湖南益阳一模)某公园为了提 升公园形象,提高游客旅游的体验感和满意 度,他们更新了部分设施,调整了部分旅游线 路。为了解游客对新措施是否满意,随机抽 取了100名游客进行调查,男游客与女游客 的人数之比为2∶3,其中男游客有35名满 意,女游客有15名不满意。 (1)请完成表1所示的2×2列联表,依 据表中数据及小概率值α=0.05的独立性检 验,能否认为游客对公园新措施满意与否与 性别有关? 表1 满意 不满意 合计 男游客 35 女游客 15 合计 100 (2)从被调查的游客中按性别分层抽样 抽取5名游客,再随机从这5名游客中抽取3 名游客征求他们对公园进一步提高服务质量 的建议,其中抽取男游客的人数为 X。求 X 的分布列及数学期望。 参考公式:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , 其中n=a+b+c+d。 参考数据(表2): 表2 α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 解析:(1)由题意知,调查的男游客人数 为 2 2+3×100=40 ,调查的女游客人数为100 -40=60,于是可完成2×2列联表,如表3 所示: 表3 满意 不满意 合计 男游客 35 5 40 女游客 45 15 60 合计 80 20 100 零假设为 H0:游客对公园新措施满意与 否与性别无关。 根 据 表 3 中 的 数 据,可 得 χ2 = 100×(35×15-45×5)2 80×20×40×60 = 75 32<3.841= x0.05。 根据小概率值α=0.05的χ2 独立性检 验,没有充分证据推断 H0 不成立,因此可以 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年6月 认为 H0 成立,即游客对公园新措施满意与 否与性别无关。 (2)由(1)可知,男游客抽取2人,女游客 抽取3人,所以X 的可能取值为0,1,2,且X 服从超几何分布,即P(X=0)= C02C33 C35 = 1 10 , P(X=1)= C12C23 C35 = 6 10 ,P(X=2)= C22C13 C35 = 3 10 。 所以X 的分布列如表4所示: 表4 X 0 1 2 P 110 6 10 3 10 故E(X)=0× 1 10+1× 6 10+2× 3 10= 6 5 。 点评:本题主要考查统计概率中的独立 性检验、分层抽样及超几何分布等知识内容, 考查同学们对基础知识的掌握情况,命题方 法较为常规,属于基础题。但需要注意的是: 在给定小概率值判断分类变量是否相关时, 需要先设出原假设(或零假设),计算χ2 的值 再与临界值表作比较,最后给出结论,一定要 确保解题步骤的规范性与严谨性。 例 2 (上海崇明一模)某工厂为了提 高精度,采购了一批新型机器,现对这批机器 的生产效能进行测试,对其生产的第一批零 图1 件的内径进行 测量,统 计 绘 制了如图1所 示的频率分布 直方图。 (1)求 a 的值,以 及 这 批零件内径的平均值􀭺x 和方差s2(每一组数 据用该组区间的中点值作代表); (2)已知这批零件的内径 X(单位:mm) 服从正态分布N(μ,σ2),现以频率分布直方图 中的平均数􀭵x 作为μ的估计值,频率分布直方 图中的标准差s作为σ的估计值,则在这批零 件中随机抽取200个,记内径在区间[2.285, 2.705]上的零件个数为Y,求Y 的方差。 参考 数 据: 0.011 ≈0.105,若 X ~ N(μ,σ2),则 P (μ-σ≤X ≤μ+σ)≈ 0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3。 解析:(1)由1.0×0.1+a×0.1+3.5× 0.1+3.0×0.1+0.5×0.1=1,解得a= 2.0。 这批零件内径的平均值􀭺x= 2.35+2.45 2 ×(1.0×0.1)+ 2.45+2.55 2 × (2.0×0.1)+ 2.55+2.65 2 × (3.5×0.1)+ 2.65+2.75 2 × (3.0×0.1)+ 2.75+2.85 2 × (0.5×0.1)= 2.4×0.1+2.5×0.2+2.6×0.35+2.7× 0.3+2.8×0.05=2.6。 这批零件内径的方差s2=(2.4-2.6)2 ×0.1+(2.5-2.6)2×0.2+(2.6-2.6)2× 0.35+(2.7-2.6)2×0.3+(2.8-2.6)2× 0.05=0.011。 (2)由题意知,μ=􀭺x=2.6,σ= s2 = 0.011≈0.105。 又因为2.285=μ-3σ,2.705=μ+σ,所 以P(μ-3σ≤Y≤μ+σ)= 1 2P (μ-σ≤Y≤μ +σ)+ 1 2P (μ-3σ≤Y≤μ+3σ)= 0.682 7 2 + 0.997 3 2 =0.84 。 由二项分布的定义知Y~B(200,0.84)。 由二 项 分 布 的 方 差 公 式 知,D(Y)= 200×0.84×(1-0.84)=26.88。 点评:本题以频率分布直方图为载体进 行试题命制,属于较为常见的出题模式。第 (1)问主要考查频率分布直方图中数字特征 的运算,提醒同学们在平时要熟练记忆相应 的公式;第(2)问则是检验同学们对正态分布 与二项分布之间区别与联系的掌握情况,同 时考查了二项分布方差的计算公式。题目整 体计算量较大,同学们在计算时要认真细致, 确保计算结果准确。 二、基础知识掌握牢,综合问题多思考 高考与模拟考试中的统计概率类问题多 4 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年6月 以基础知识的考查为主,因此,熟练掌握基本 内容与方法是做题的根本。此外,部分统计 概率类问题的综合性较强,涉及的知识或者 方法跨度较大,在处理这类题目时,我们要仔 细分析条件,明确其考查的知识内容及所属 模块,快速提炼信息,高效解决问题。 例 3 (甘肃兰州一模)2024年某校一 次高三数学适应性考试中选择题由单选和多 选两种题型组成。单选题每题四个选项,有 且仅有一个选项正确,选对得5分,选错得0 分;多选题每题四个选项,有两个或三个选项 正确,全部选对得6分,部分选对得3分,有 错误选择或不选择得0分。 (1)已知某同学对其中4道单选题完全 没有答题思路,只能随机选择一个选项作答, 且每题的解答相互独立,记该同学在这4道 单选题中答对的题数为随机变量X。 ①求P(X=1|X≤1); ②求使得P(X=k)取最大值时的整数k。 (2)若该同学在解答最后一道多选题时, 除确定B,D选项不能同时选择之外没有其 他答题思路,只能随机选择若干选项作答。 已知此题正确答案是两个选项与三个选项的 概率均为 1 2 ,求该同学在答题过程中使得得 分数学期望最大的答题方式,并写出得分的 最大数学期望。 解析:(1)①因为 X~B 4, 1 4 ,所以 P(X=0)=C04 1 4 0 3 4 4 = 81 256 ,P(X=1) =C14 1 4 1 3 4 3 = 27 64 ,所以P(X=1|X≤1) = P(X=1) P(X=0)+P(X=1)= 4 7 。 ②由①知P(X=k)=Ck4 1 4 k 3 4 4-k , k=0,1,…,4。 依题意有 P(X=k)≥P(X=k+1), P(X=k)≥P(X=k-1), 即 Ck4 1 4 k 3 4 4-k ≥Ck+14 1 4 k+1 3 4 3-k , Ck4 1 4 k 3 4 4-k ≥Ck-14 1 4 k-1 3 4 5-k , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解 得 1 4≤k≤ 5 4 。又因为k为整数,所以k=1,即 当k=1时,P(X=k)取最大值。 (2)由题意知,B,D选项不能同时选择, 故该同学可以单选、双选和三选。 正确答案是两个选项的可能情况为AB, AC,BC,AD,CD,每种情况的概率为 1 2× 1 5= 1 10 。 正确答案是三个选项的可能情况为ABC, ACD,每种情况出现的概率为 1 2× 1 2= 1 4 。 若该同学做出的决策是单选,则得分的 数学期望为 E(A)=E(C)= 1 10×3×3+ 1 4×2×3= 12 5 (分);E(B)=E(D)=3× 1 10× 2+1× 1 4×3= 27 20 (分)。 若该同学做出的决策是双选,则得分的 数学期望为 E(AB)=E(AD)=E(BC)= E(CD)= 1 10×6+ 1 4×3= 27 20 (分);E(AC)= 1 10×6+ 1 4×2×3= 21 10 (分)。 若该同学做出的决策是三选,则得分的数学 期望为E(ABC)=E(ACD)= 1 4×6= 3 2 (分)。 经比较可知,该同学单选A或单选C得 分的数学期望最大,最大值为12 5 分。 点评:本题以新高考中的多选题得分情 况为背景命题,贴近实际生活,对高中数学中 的条件概率、独立事件的概率公式、离散型随 机变量的数学期望及二项分布等内容进行考 查,涉及的知识较多且较为分散,检验同学们 的应变能力与综合应用能力。 三、数列融合莫畏难,递推关系是关键 在高考改革之后,数学学科总题数减少, 为了保证知识点考查的全面性,一些题目就 不得不与其他章节内容进行融合,而统计概 率就是一个典型。事实上,早在2019年全国 Ⅰ卷理科数学试卷的最后一题就已经考查过 统计概率与数列模块融合类的题目,此后,这 类问题的热度也越来越高,近两年则出现得 5 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年6月 尤为频繁。在解决这类问题时,同学们要先 找出事件发生概率构成数列的递推关系式, 利用递推关系式解决相关问题。 例 4 (概率与数列融合原创题)若一个 正三棱锥 M-ABC,AB=BC=AC=3,MA= MB=MC=6,假设一个质点在三棱锥的四个顶 点之间来回运动。质点一开始位于点 M,且该 质点向各点运动的概率与二者之间的距离成正 比,每次运动时必然会到达剩余三个顶点中的 其中一个,且质点的每次运动相互独立。 (1)求该质点运动两次运动后位于点B 的概率; (2)求该质点经过n 次运动后位于点A 的概率。 解析:因为 MA=MB=MC,所以该质 点从点 M 运动到点A,B,C 的概率均为 1 3 ; 而AM=2AB=2AC,则该质点从点A 运动 到点M,B,C 的概率分别为 1 2 ,1 4 ,1 4 。同 理,从点B 运动到点M,A,C 的概率分别为 1 2 ,1 4 ,1 4 ;从点C 运动到点M,B,A 的概率 分别为 1 2 ,1 4 ,1 4 。 (1)设该质点第k(k≥1,k∈Z)次运动后位于 点M,A,B,C分别记为事件Mk,Ak,Bk,Ck,所以 P(B2)=P(A1B2)+P(C1B2)=P(A1)P(B2)+ P(C1)P(B2)= 1 3× 1 4+ 1 3× 1 4= 1 6 。 (2)设经过n 次运动后,质点位于点 M 的概率为Pn,则质点位于点A 或B 或C 的 概率为1-Pn,且易知P1=0。 由正三棱锥的对称性知,经过n 次运动 后,质点位于A,B,C 三点的概率相等,所以 经过n 次运动后,质点位于A,B,C 三点的 概率均为 1-Pn 3 。 设经过n+1次运动后,质点位于点 M 的 概 率 为 Pn+1,则 Pn+1 = 1-Pn 3 × 1 2 + 1-Pn 3 × 1 2+ 1-Pn 3 × 1 2= 1 2- 1 2Pn ,即 Pn+1- 1 3=- 1 2 Pn- 1 3 ,所以 Pn-13 是 以P1- 1 3=- 1 3 为首项,- 1 2 为公比的等比 数列,故Pn= 1 3- 1 3 - 1 2 n-1 ,n∈N*。 所以该质点经过n 次运动后位于点A 的概率为 1-Pn 3 = 2 9+ 1 9 - 1 2 n-1 ,n∈N*。 点评:本题考查同学们的信息获取及处 理能力,题目的创设情景较为新颖,容易“唬” 住不少同学。在解决统计概率问题时,对于 含有n次运动、n 个回合、n 轮操作等字眼的 题目,同学们要有意识地构建概率对应数列 的递推关系式,以达到解决问题的目的。本 题中如果直接假设经过n次运动后质点位于 点A 的概率为Pn,则无法寻找出其满足的递 推关系式。由于该正三棱锥的三个顶点 A, B,C 对称,且顶点 M 最为特殊,所以将其作为 突破口,先计算质点第n 次运动后位于点 M 的概率,再计算出其位于点A 的概率即可。 例 5 (统计与数列融合原创题)一种 游戏规则如下:投掷一枚均匀的正六面体骰子 (6个面分别标有1,2,3,4,5,6),若掷出的点 数为6点,则游戏终止,否则一直投掷,直到掷 出6点为止,且投掷到第n次结束时游戏强制 终止。记X 为投掷骰子的总次数,求X 的数 学期望E(X)(用含n的式子表示)。 解析:因 为 每 次 投 掷 相 互 独 立,所 以 P(X=k)= 56 k-1 × 1 6 ,k=1,2,…,n-1, P(X=n)= 56 n-1 。 可得X 的分布列如表5: 表5 X 1 2 … n-1 n P 16 1 6× 5 6 … 1 6× 5 6 n-2 5 6 n-1 所以E(X)=1× 1 6+2× 1 6× 5 6+3× 1 6× 5 6 2 +…+(n-1)× 1 6× 5 6 n-2 + n× 56 n-1 。 6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年6月 􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨 将上式左右两侧同乘以 5 6 ,得5 6E (X)= 1 6× 5 6+2× 1 6× 5 6 2 +3× 1 6× 5 6 3 +… +(n-1)× 1 6× 5 6 n-1 +n× 56 n 。 所以 1 6E (X)=E(X)- 5 6E (X)= 1 6× 1+ 5 6+ 5 6 2 +…+ 56 n-2 + 16 × 5 6 n-1 。 故E(X)=1+ 5 6+ 5 6 2 +…+ 56 n-2 + 56 n-1 = 1× 1- 56 n-1 1- 5 6 + 56 n-1 =6× 1- 56 n-1 + 56 n-1 =6-5× 56 n-1 , n∈N*。 点评:本题考查离散型随机变量数学期 望的计算。先求出投掷次数的分布列,列出 数学期望的算式,发现其符合等差数列乘以 等比数列的形式,故而采用错位相减法对和 式进行计算和化简。但需要注意的是:由于 游戏有强制终止的规则,因此 X=n 的概率 需要单独运算(这是强制终止类问题的常见 易错点)。一般地,在求解与数学期望有关的 分布列问题时,通常有两种思路:①若随机变 量的可能取值情况较少,可直接写出分布列 并列式求和,这也是最常用的求解数学期望 的方法;②写出数学期望E(X=n)的递推关 系式,借助递推关系式构造等差、等比数列解 决问题(类似例4求概率的方法)。 最后,希望本文所探讨的解题技巧与备 考策略能够为同学们提供有益的参考,助力 同学们在高考中取得理想成绩。 注:本文系河南省基础教育课题“高中生 数学错题管理现状调查及方案研究”(课题编 号:JCJYC2303000103)的阶段性成果。 (责任编辑 王福华) ■河南省实验中学 奈小辉 统计与概率作为高中数学的核心知识之 一,在高考中占据重要地位,重点考查同学们 的逻辑思维、信息获取及运算化简能力。它 与函数、几何等其他数学知识相互补充,共同 构成了完整的数学知识体系。例如,在统计 模块中,数据的收集、整理和分析需要运用到 函数的思想。同时,概率模块与组合数紧密 相关,涉及排列组合的知识,这些内容在高中 数学中占据重要位置。 研究发现,近三年高 考概率与统计试题具有生活化素材立意、真 实性问题解决及跨学科交叉融合等特点。 展 望未来高考概率与统计试题的命制,将会进 一步加强生活实践情境的创设,丰富情境背 景,关注科技发展;贴近真实问题,激活基础 知识;紧跟时代热点,引领核心价值;渗透社 会文化,导向综合素养。统计与概率在2025 年高考将会怎么考? 同学们不妨从以下几个 方面着手复习。 一、非线性回归与相关系数 1.高考考查方向 模型选择与拟合:给定实际数据,判断变 量间的非线性关系类型,选择合适的非线性 函数模型(如指数函数模型、对数函数模型、 幂函数模型等)进行拟合,并求解模型中的参 7 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年6月