“概率与统计”试题精选-《中学生数理化》高考数学2025年6月刊

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(2)根据(1)中的选择及表中数据,建立 y 关于x 的非线性回归方程,并用其估计当 每件产品的非原料成本为21元时,产量约为 多少千件? 参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2, v2),…,(un,vn),其回归直线v̂=̂a+̂βu的斜 率和截距的最小二乘估计公式分别为β̂= ∑ n i=1 uivi -n􀭵u􀭵v ∑ n i=1 u2i -n􀭵u2 ,̂a=v̂ -β̂􀭵u;相 关 系 数 r = ∑ n i=1 uivi -n􀭵u􀭵v ∑ n i=1 u2i -n􀭵u2 ∑ n i=1 v2i -n􀭵v2 。 4.正态分布与指数分布均是用于描述连续 型随机变量的概率分布。对于一个给定的连续 型随机变量X,定义其累积分布函数为F(x)= P(X≤x)。已知某系统由一个电源和并联的 A,B,C三个元件组成,在电源电压正常的情况 下,至少一个元件正常工作才可保证系统正常 运行,电源及各元件之间工作相互独立。 (1)已知电源电压X(单位:V)服从正态 分布 N(40,4),且 X 的累积分布 函 数 为 F(x),求F(44)-F(38)。 (2)在数理统计中,指数分布常用于描述 事件发生的时间间隔或等待时间。已知随机 变量T(单位:天)表示某高稳定性元件的使 用寿命,且服从指数分布,其累积分布函数为 G(t)= 0,t<0, 1- 1 4t ,t≥0。 ①设t1>t2>0,证明:P(T>t1|T>t2) =P(T>t1-t2); ②若第n天元件A 发生故障,求第n+1 天系统正常运行的概率。 附:若随机变量Y 服从正态分布N(μ, σ2),则P(|Y-μ|<σ)=0.682 7,P(|Y-μ| <2σ)=0.954 5,P(|Y-μ|<3σ)=0.997 3。 5.为了解客户对A,B 两家快递公司的 配送时效和服务满意度情况,现随机获得了 某地区客户对这两家快递公司评价的调查问 54 演练篇 核心考点AB卷 高考数学 2025年6月 卷,已知 A,B 两家公司的调查问卷分别有 120份和80份,全部数据统计如表5: 表5 快递公司 A 快递公司 B 快递公司 项目 份数 评价分数 配送时效服务满意度 配送时效 服务满意度 85≤x≤95 29 24 16 12 75≤x<85 47 56 40 48 65≤x<75 44 40 24 20 假设客户对A,B 两家快递公司的评价 相互独立,用频率估计概率。 (1)从该地区选择A 快递公司的客户中 随机抽取1人,估计该客户对A 快递公司配 送时效的评价不低于75分的概率。 (2)分别从该地区A 和B 快递公司的样 本调查问卷中,各随机抽取1份,记X 为这2 份问卷中的服务满意度评价不低于75分的 份数,求X 的分布列和数学期望。 (3)记评价分数x≥85为“优秀”等级, 75≤x<85为“良好”等级,65≤x<75为“一 般”等级。已知小王比较看重配送时效的等 级,根据该地区A,B 两家快递公司配送时效 的样本评价分数的等级情况,你认为小王选 择A,B 哪家快递公司合适? 说明理由。 6.甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮, 规则如下:若命中则此人继续投篮;若未命中 则换为对方投篮。无论之前投篮情况如何,甲 每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命 中率均为0.8。由抽签确定第1次投篮的人 选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5。 (1)求第2次投篮的人是乙的概率。 (2)求第i次投篮的人是甲的概率。 (3)已知随机变量 Xi 服从两点分布,且 P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…, n,则E ∑ n i=1 Xi =∑ n i=1 qi。 记前n次(即从第 1次到第n次)投篮中甲投篮的次数为Y,求 E(Y)。 7.在数字通信中,信号是由数字0和1 组成的序列,发送每个信号数字之间相互独 立。由于随机因素的干扰,发送的信号0或1 有可能被错误地接收为1或0。 (1)记发送信号变量为X,接收信号变量 为Y,且满足P(X=0)= 1 2 ,P(Y=1|X=0) = 1 3 ,P(Y=0|X=1)= 1 4 ,求P(Y=0)。 (2)当发送信号0时,接收为0的概率为 3 4 ,定义随机变量η 的“有效值”为 H(η)= -∑ n i=1 P(η=xi)lg P(η=xi)(其中xi 是η 的所有可能的取值,i=1,2,…,n),发送信号 “000”的接收信号为“y1y2y3”,记ξ为y1,y2, y3 三个数字之和,求ξ的“有效值”。(lg 3≈ 0.48,lg 2≈0.30) 参考答案: 1.(1)列联表补充如表6: 表6 男性 女性 总计 刷脸支付 4 16 20 非刷脸支付 8 12 20 总计 12 28 40 χ2= 40×(4×12-8×16)2 12×28×20×20 =1.905< 2.706,所以没有90%的把握认为使用刷脸 支付与性别有关。 (2)在抽取的40名顾客的样本中,按照 分层抽样的方法在女性中抽取7名,则抽到 刷脸支付的女性人数为4,非刷脸支付的女 性人数为3,故X 的可能取值为1,2,3,4。 P(X=1)= C14C33 C47 = 4 35 ;P(X=2)= C24C23 C47 = 18 35 ;P(X=3)= C34C13 C47 = 12 35 ;P(X=4)= C44 C47 = 1 35 。 故X 的分布列为表7: 表7 X 1 2 3 4 P 435 18 35 12 35 1 35 所以E(X)=1× 4 35+2× 18 35+3× 12 35+ 64 演练篇 核心考点AB卷 高考数学 2025年6月 4× 1 35= 16 7 。 2.(1)由题意知,ξ的所有可能取值为0, 1,2,3,则P(ξ=0)= 1 4× 4 5× 4 5= 4 25 ,P(ξ =1)= 3 4× 4 5× 4 5+ 1 4×C 1 2× 1 5× 4 5= 14 25 , P(ξ=2)= 3 4×C 1 2× 1 5× 4 5+ 1 4× 1 5× 1 5= 1 4 ,P(ξ=3)= 3 4× 1 5× 1 5= 3 100 。 所以ξ的分布列如表8: 表8 ξ 0 1 2 3 P 425 14 25 1 4 3 100 故E(ξ)=0× 4 25+1× 14 25+2× 1 4+3× 3 100= 23 20 。 (2)记事件A为“该学生复评晋级”,事件B 为“该学生初评是C等级”,则P(B|A)= P(AB) P(A) = 0.15× 1 5 0.6× 1 4+0.15× 1 5+0.05× 1 6 = 18 113 。 3.(1)令u= 1 x ,则y=̂a+ b̂ x 可转化为 y=̂a+̂bu。 所 以 y 与 u 的 相 关 系 数 r1 = ∑ 8 i=1 uiyi -8􀭵u􀭵y ∑ 8 i=1 u2i -8􀭵u2 ∑ 8 i=1 y2i -8􀭵y2 = 61 0.61×6 185.5 = 61 61.4≈0.99 。 因为|r1|>|r2|,所以模型①的拟合效 果更好。 (2) 因 为 b̂ = ∑ 8 i=1 uiyi -8􀭵u􀭵y ∑ 8 i=1 u2i -8􀭵u2 = 183.4-8×0.34×45 1.53-8×0.115 = 61 0.61=100 ,所以 â=y-̂bu=45-100×0.34=11。 故y 关于x 的回归方程为ŷ=11+ 100 x 。 当ŷ=11+ 100 x =21 时,解得x=10。 所以当每件产品的非原料成本为21元 时,预计产量约为10千件。 4.(1)由 题 意 得,P(38<X <42)= 0.682 7,P(36<X<44)=0.954 5,所以 F(44)-F(38)=P(X≤44)-P(X≤38)= P(40≤X≤44)+P(38≤X≤40)= 1 2× (0.682 7+0.954 5)=0.818 6。 (2)①由题意得,P(T>t1|T>t2)= P[(T>t1)∩(T>t2)] P(T>t2) = P(T>t1) P(T>t2) = 1-P(T≤t1) 1-P(T≤t2) = 1-G(t1) 1-G(t2) = 1- 1- 1 4t1 1- 1- 1 4t2 = 4t2-t1。 P(T>t1-t2)=1-P(T≤t1-t2)= 1-G(t1-t2)=4t2-t1。 故P(T>t1|T>t2)=P(T>t1-t2)。 ②由 ① 得 P(T>n+1|T >n)= P(T>1)=1-P(T≤1)=1-G(1)= 1 4 ,即 第n+1天元件B,C正常工作的概率均为 1 4 。 为使第n+1天系统仍正常工作,元件 B,C 必须至少有一个正常工作,故所求概率 为1- 1- 1 4 2 = 7 16 。 5.(1)调查问卷中共有120份,其中不低 于75分的份数为29+47=76,则P= 76 120= 19 30 ,故可估计该客户对A 快递公司配送时效 的评价不低于75分的概率为 19 30 。 (2)A 快递公司的样本调查问卷中抽取 的1份服务满意度评价不低于75分的概率 p1= 24+56 120 = 2 3 ;B 快递公司的样本调查问 卷中抽取的1份服务满意度评价不低于75 分的概率p2= 12+48 80 = 3 4 。 74 演练篇 核心考点AB卷 高考数学 2025年6月 由题意可知,X 的所有可能取值为0,1, 2,则 P(X=0)= 1- 2 3 × 1-34 =112, P(X=1)= 1- 2 3 ×34+23× 1-34 = 5 12 ,P(X=2)= 3 4× 2 3= 1 2 。 所以X 的分布列为表9: 表9 X 0 1 2 P 112 5 12 1 2 故E(X)=0× 1 12+1× 5 12+2× 1 2= 17 12 。 (3)A 快递公司的样本调查问卷中“优 秀”等级占比为29 120 ,“良好”等级占比为47 120 , “一般”等级占比为44 120= 11 30 。 B 快递公司的样本调查问卷中“优秀”等 级占比为 16 80= 1 5 ,“良好”等级占比为40 80= 1 2 , “一般”等级占比为24 80= 3 10 。 其中A 快递公司的样本调查问卷中“优 秀”或“良好”等级占比为76 120= 19 30 ,B 快递公 司的样本调查问卷中“优秀”或“良好”等级占 比为 56 80= 7 10> 19 30 ,所以小王应该选择B 快递 公司。 6.(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件 Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi,所以 P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)· P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1- 0.6)+0.5×0.8=0.6。 (2)设P(Ai)=pi,依题意知,P(Bi)= 1-pi,则 P (Ai+1)= P (AiAi+1)+ P(BiAi+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)· P(Ai+1|Bi)。 所以pi+1=0.6pi+(1-0.8)(1-pi)= 0.4pi+0.2。 构造等比数列{pi+λ}。 设pi+1+λ= 2 5 (pi+λ),解得λ=- 1 3 , 则pi+1- 1 3= 2 5 pi- 1 3 。 因为 p1= 1 2 ,所 以 p1- 1 3 = 1 6 ,故 pi- 1 3 是首项为16,公比为25的等比数列。 所以pi- 1 3= 1 6× 2 5 i-1 ,故pi= 1 6× 2 5 i-1 + 1 3 (i∈N*)。 (3)由(2)知pi= 1 6× 2 5 i-1 + 1 3 ,i=1, 2,…,n,所以当n∈N*时,E(Y)=p1+p2+…+ pn= 1 6× 1- 25 n 1- 2 5 + n 3= 5 181- 2 5 n +n3。 7.(1)由 题 意 可 知,P(X=1)=1- P(X=0)= 1 2 ,P(Y=0|X=0)=1-P(Y= 1|X=0)= 2 3 。 所以P(Y=0)=P(Y=0|X=0)P(X =0)+P(Y=0|X=1)P(X=1)= 2 3× 1 2+ 1 4× 1 2= 11 24 。 (2)由题意可知,当发送信号0时,接收 为0的概率为 3 4 ,接收为1的概率为 1 4 。 又ξ的可能取值为0,1,2,3,则P(ξ=0) = 34 3 = 27 64 ,P(ξ=1)=C13× 3 4 2 × 1 4= 27 64 ,P(ξ=2)=C23× 3 4× 1 4 2 = 9 64 ,P(ξ=3) = 14 3 = 1 64 。 所以ξ 的“有效值”H(ξ)=- 27 64lg 27 64 + 27 64lg 27 64+ 9 64lg 9 64+ 1 64lg 1 64 = - 5464(3lg 3 -6lg 2)+ 9 64 (2lg 3-6lg 2)- 6 64lg 2 =-4516lg 3 +6lg 2≈- 45 16×0.48+6×0.30=0.45 ,即ξ 的“有效值”约为0.45。 (责任编辑 王福华) 84 演练篇 核心考点AB卷 高考数学 2025年6月