新高考，统计与概率可以怎么考-《中学生数理化》高考数学2025年6月刊

􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨􀤨 将上式左右两侧同乘以 5 6 ,得5 6E (X)= 1 6× 5 6+2× 1 6× 5 6 2 +3× 1 6× 5 6 3 +… +(n-1)× 1 6× 5 6 n-1 +n× 56 n 。 所以 1 6E (X)=E(X)- 5 6E (X)= 1 6× 1+ 5 6+ 5 6 2 +…+ 56 n-2 + 16 × 5 6 n-1 。 故E(X)=1+ 5 6+ 5 6 2 +…+ 56 n-2 + 56 n-1 = 1× 1- 56 n-1 1- 5 6 + 56 n-1 =6× 1- 56 n-1 + 56 n-1 =6-5× 56 n-1 , n∈N*。 点评:本题考查离散型随机变量数学期 望的计算。先求出投掷次数的分布列,列出 数学期望的算式,发现其符合等差数列乘以 等比数列的形式,故而采用错位相减法对和 式进行计算和化简。但需要注意的是:由于 游戏有强制终止的规则,因此 X=n 的概率 需要单独运算(这是强制终止类问题的常见 易错点)。一般地,在求解与数学期望有关的 分布列问题时,通常有两种思路:①若随机变 量的可能取值情况较少,可直接写出分布列 并列式求和,这也是最常用的求解数学期望 的方法;②写出数学期望E(X=n)的递推关 系式,借助递推关系式构造等差、等比数列解 决问题(类似例4求概率的方法)。 最后,希望本文所探讨的解题技巧与备 考策略能够为同学们提供有益的参考,助力 同学们在高考中取得理想成绩。 注:本文系河南省基础教育课题“高中生 数学错题管理现状调查及方案研究”(课题编 号:JCJYC2303000103)的阶段性成果。 (责任编辑 王福华) ■河南省实验中学 奈小辉 统计与概率作为高中数学的核心知识之 一,在高考中占据重要地位,重点考查同学们 的逻辑思维、信息获取及运算化简能力。它 与函数、几何等其他数学知识相互补充,共同 构成了完整的数学知识体系。例如,在统计 模块中,数据的收集、整理和分析需要运用到 函数的思想。同时,概率模块与组合数紧密 相关,涉及排列组合的知识,这些内容在高中 数学中占据重要位置。 研究发现,近三年高 考概率与统计试题具有生活化素材立意、真 实性问题解决及跨学科交叉融合等特点。 展 望未来高考概率与统计试题的命制,将会进 一步加强生活实践情境的创设,丰富情境背 景,关注科技发展;贴近真实问题,激活基础 知识;紧跟时代热点,引领核心价值;渗透社 会文化,导向综合素养。统计与概率在2025 年高考将会怎么考? 同学们不妨从以下几个 方面着手复习。 一、非线性回归与相关系数 1.高考考查方向 模型选择与拟合:给定实际数据,判断变 量间的非线性关系类型,选择合适的非线性 函数模型(如指数函数模型、对数函数模型、 幂函数模型等)进行拟合,并求解模型中的参 7 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年6月 数,从而得到回归方程。 相关系数应用:计算相关指数R2 =1- ∑ n i=1 (yi -ŷi)2 ∑ n i=1 (yi -􀭵y)2 ,依据 R2 的值判断变量间线 性相关程度的强弱,进而评估所选用的线性 或非线性回归模型的合理性。 2.未来考试趋势 未来可能会更加紧密地结合实际生活场 景,如经济增长预测、生物种群数量变化等, 考查非线性回归模型的构建与应用,同时对 相关系数的理解和运用的考查会更加深入, 可能涉及多变量间的相关分析。 例 1 一只药用昆虫的产卵数y 与一 定范围内的温度x 有关,现收集了该种药用 昆虫的6组观测数据,如表1: 表1 温度x/°C 21 23 24 27 29 32 产卵数y/个 6 11 20 27 57 77 经计算得􀭺x= 1 6∑ 6 i=1 xi=26,􀭵y= 1 6∑ 6 i=1 yi =33,∑ 6 i=1 (xi -􀭺x)(yi -􀭵y)=557,∑ 6 i=1 (xi - 􀭺x)2=84,∑ 6 i=1 (yi-􀭵y)2=3 930,线性回归模型 的残差平方和∑ 6 i=1 (yi -ŷi)2 =236.64,e8.060 5 ≈3 167,其中xi,yi 分别为观测数据中的温 度和产卵数,i=1,2,3,4,5,6。 (1)若用线性回归方程,求y 关于x 的线 性回归方程ŷ=̂bx+̂a(精确到0.1)。 (2)若用非线性回归模型求得y 关于x 回归 方 程 为 ŷ=0.06e0.230 3x,且 相 关 指 数 R2=0.952 2。 ①试与(1)中的回归模型相比,用R2 说 明哪种模型的拟合效果更好。 ②用拟合效果好的模型预测温度为35 °C 时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数)。 附:回归直线ŷ=̂bx+̂a 中斜率和截距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 b̂ = ∑ n i=1 (xi -􀭺x)(yi -􀭵y) ∑ n i=1 (xi -􀭺x)2 ,̂a=􀭵y-̂b􀭺x; 相关指数R2=1- ∑ n i=1 (yi -ŷi)2 ∑ n i=1 (yi -􀭵y)2 。 解析:(1)由题意可知,n=6,所以􀭺x = 1 6∑ 6 i=1 xi = 26,􀭵y = 1 6∑ 6 i=1 yi = 33,̂b = ∑ 6 i=1 (xi -􀭺x)(yi -􀭵y) ∑ 6 i=1 (xi -􀭺x)2 = 557 84 ≈6.6 ,̂a=33- 6.6×26=-138.6,所以y 关于x 的线性回 归方程为ŷ=6.6x-138.6。 (2)①对于线性回归模型,∑ 6 i=1 (yi -􀭵y)2 =3 930,∑ 6 i=1 (yi -ŷi)2=236.64。 故相关指数 R2=1- ∑ 6 i=1 (yi -ŷi)2 ∑ 6 i=1 (yi -􀭵y)2 = 1- 236.64 3 930 ≈1-0.060 2=0.939 8。 因为0.939 8<0.952 2,所以用非线性 回归模型拟合效果更好。 ②当 x=35 时,̂y=0.06e0.230 3×35 = 0.06×e8.060 5=0.06×3 167=190.02≈190。 所以当温度为35 °C时,该种药用昆虫 的产卵数估计为190个。 点评:该题考查同学们对线性回归方程 及非线性回归方程的理解与应用,不仅要求 同学们具有一定的计算能力,还要求同学们 掌握相关指数等概念,能够利用相关指数判 断回归模型的拟合效果。 二、二项分布、超几何分布、正态分布的 综合应用 1.高考考查方向 概念辨析与选择:给出实际问题情境,要 求同学们判断该问题适合用二项分布、超几 何分布,还是正态分布来解决,考查对三种分 布概念的理解和辨析能力。 8 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年6月 综合计算:在一个问题中同时涉及多种 分布,如先利用正态分布确定某事件的概率, 再将其作为二项分布中的参数进行后续计 算,考查同学们的综合分析和计算能力。 2.未来考试趋势 未来可能会以更加复杂和新颖的实际问 题为背景,融合多种分布的知识,考查同学们 运用概率统计知识解决实际问题的能力,同 时可能会结合数学建模思想,要求同学们构 建合适的概率模型进行解答。 例 2 在某地区进行高中学生每周户 外运动调查,随机调查了1 000名高中学生 户外运动的时间(单位:小时),得到如图1所 示的样本数据的频率分布直方图。 图1 (1)求图1中 a 的值,估计该地 区 高 中 学 生 每 周 户 外 运 动 的 平 均 时间;(同 一 组 数 据 用 该 区 间 的 中 点值作代表) (2)为进一步了解这1 000名高中学生户 外运动的时间分配,在(14,16],(16,18]两组内 的学生中,采用分层抽样的方法抽取了5人,再 从这5人中随机抽取3人进行访谈,记在(14, 16]内的人数为X,求X 的分布列和数学期望; (3)以频率估计概率,从该地区的高中学 生中随机抽取8名学生,用“P8(k)”表示这8 名学生中恰有k 名学生户外运动时间在(8, 10]内的概率,当P8(k)最大时,求k的值。 解析:(1)由已知2(0.02+0.03+0.05 +0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1, 解得a=0.1。 所以平均数为1×0.04+3×0.06+5× 0.1+7×0.1+9×0.3+11×0.2+13×0.1 +15×0.08+17×0.02=9.16。 (2)这1 000名高中学生户外运动的时 间分配,在(14,16],(16,18]两组内的学生分 别有1 000×0.08=80(人),1 000×0.02= 20(人)。根据分层抽样知5人中在(14,16] 内的人数为5× 80 80+20=4 ,在(16,18]内的 人数为5-4=1。 所以随机变量 X 的可能取值为2,3,所 以P(X=2)= C24 C35 = 3 5 ,P(X=3)= C34 C35 = 2 5 。 故X 的分布列如表2所示: 表2 X 2 3 P 35 2 5 所以E(X)=2× 3 5+3× 2 5= 12 5 。 (3)由频率分布直方图可知,运动时间在 (8,10]内的频率为0.15×2=0.3= 3 10 。 所以 P8(k)=Ck8 3 10 k 1- 3 10 8-k = Ck8 3 10 k 7 10 8-k 。 若P8(k)为最大值,则 P8(k)≥P8(k+1), P8(k)≥P8(k-1), 即 Ck8 3 10 k 7 10 8-k ≥Ck+18 3 10 k+1 7 10 7-k , Ck8 3 10 k 7 10 8-k ≥Ck-18 3 10 k-1 7 10 9-k , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 即 1 8-k× 7 10≥ 1 k+1× 3 10 , 1 k× 3 10≥ 1 9-k× 7 10 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得1.17≤k≤2.7。 又因为k∈N,且0≤k≤8,所以k=2。 点评:本题第(1)问根据频率和为1,可 得a,再根据平均数公式直接计算平均数即 可。第(2)问要求同学们清晰辨别超几何分 布和二 项 分 布,分 别 计 算 时 间 在 (14,16], (16,18]内的频数,结合分层抽样可得两组分 别抽取的人数,根据超几何分布的概率公式 分别计算概率,可得分布列与数学期望;根据 频率分布直方图可知运动时间在(8,10]内的 频率,利用二项分布的概率公式可得P8(k), 结合最值列不等式,解不等式即可。 三、马尔科夫链问题 1.高考考查方向 基本概念理解:考查对马尔科夫链的定 义、马尔科夫性质及转移概率矩阵的理解,判 断给定的随机过程是否为马尔科夫链。 9 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年6月 概率计算:已知转移概率矩阵和初始状 态,计算经过若干次转移后处于特定状态的 概率,或者求解稳态概率。 2.未来考试趋势 随着人工智能、机器学习等领域的发展, 马尔科夫链在高考中的考查可能会逐渐增 多,并且会与前沿领域的实际应用相结合,如 文本生成、语音识别中的状态转移模型等。 例 3 马尔科夫链因俄国数学家安德 烈·马尔科夫得名,其过程具备“无记忆”的 性质,即第n+1次状态的概率分布只跟第n 次的状态有关,与第n-1,n-2,n-3,…次 状态无关。马尔科夫链是概率统计中的一个 重要模型,也是机器学习和人工智能的基石, 在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气 预测等方面都有着极其广泛的应用。已知 A,B 两个盒子,各装有2个黑球和1个红 球,现从A,B 两个盒子中各任取一个球交换 放入另一个盒子,重复进行n(n∈N*)次这 样的操作后,记A 盒子中红球的个数为Xn, 恰有1个红球的概率为pn。 (1)求p1,p2 的值; (2)求pn 的值(用n表示); (3)求证:Xn 的数学期望E(Xn)为定值。 解析:(1)设第n(n∈N*)次操作后A 盒 子中恰有2个红球的概率为qn,则没有红球 的概率为1-pn-qn。 由题意知 p1= C12C12+C11C11 C13C13 = 5 9 ,q1= C12C11 C13C13 = 2 9 。 p2=p1· C12C12+C11C11 C13C13 +q1· C12C13 C13C13 + (1-p1-q1)· C13C12 C13C13 = 49 81 。 (2)因为pn=pn-1· C12C12+C11C11 C13C13 +qn-1· C12C13 C13C13 +(1-pn-1-qn-1)· C13C12 C13C13 =- 1 9pn-1+ 2 3 ,所以pn- 3 5=- 1 9 pn-1- 3 5 。 又p1- 3 5=- 2 45≠0 ,所以 pn- 3 5 是 以- 2 45 为首项,- 1 9 为公比的等比数列。 所以pn- 3 5=- 2 45 - 1 9 n-1 ,故pn= - 2 45 - 1 9 n-1 + 3 5 。 (3)因为qn= C12C11 C13C13 ·pn-1+ C11C13 C13C13 ·qn-1 = 2 9pn-1+ 1 3qn-1 ,1-qn-pn= C11C12 C13C13 ·pn-1 + C13C11 C13C13 (1-qn-1-pn-1)= 2 9pn-1+ 1 3 (1- qn-1-pn-1),所以两式相减,得2qn+pn-1 = 1 3 (2qn-1+pn-1-1)。 又因为2q1+p1-1=0,所以2qn+pn- 1=0,所以qn= 1-pn 2 。 由题意知 Xn 的可能取值是0,1,2,则 P(Xn=0)=1-pn-qn= 1-pn 2 ,P(Xn=1) =pn,P(Xn=2)=qn= 1-pn 2 。 所以Xn 的分布列如表3所示: 表3 Xn 0 1 2 p 1-pn 2 pn 1-pn 2 所以E(Xn)=0× 1-pn 2 +1×pn+2× 1-pn 2 =1 ,即Xn 的数学期望E(Xn)为定值。 点评:本题需要同学们对马尔科夫链知识 有所了解,同时能够结合数列、古典概型运算 公式及组合的定义进行求解。本题的难点在 于根据古典概型运算公式,用含pn-1 的代数 式表示pn,运用构造法,结合等比数列的定义 进行求解。最后需要根据古典概型运算公式, 结合题意得到qn、qn-1、pn、pn-1 之间的关系, 结合数学期望的运算公式进行求解。 注:本文系2023年度河南省基础教育教 学研究项目“高中生数学错题管理现状调查 及方案研究”(立项编号:JCJYC2303000103) 的研究成果。 (责任编辑 王福华) 01 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2025年6月