知识交汇巧融合，立足概率妙应用-《中学生数理化》高考数学2025年6月刊

■山东省胶州市实验中学 代德才 注重“在数学知识网络的交汇点上”设计 高考试题,实现数学不同知识点之间的交汇 融合及数学思想方法的综合应用,是近年来 新课标高考试题的命题特色与指导思想之 一。从近几年高考数学试题来看,我们会发 现,概率统计的综合应用问题除了考查概率 统计的基础知识与核心素养,还会考虑高考 考查的综合目标功能。其中,函数、数列等知 识的特点决定了它们与概率统计密不可分。 一、概率与函数的结合 概率与函数知识之间的交汇与融合,主 要是依托概率应用场景,合理构建与概率有 关的函数关系式,进而结合函数的图像与性 质、函数与导数的综合应用,以及最值或取值 范围等的求解来达到解决概率综合应用问题 的目的。 例 1 (2024年河南省天一联考高三 (上)调研数学试卷)小李参加某项专业资格 考试,一共要考3个科目,若3个科目都合 格,则考试直接过关;若都不合格,则考试不 过关;若有1个或2个科目合格,则所有不合 格的科目需要进行一次补考,补考都合格的 考试过关,否则不过关。已知小李每个科目 每次考试合格的概率均为p(0<p<1),且每 个科目每次考试的结果互不影响。 (1)记“小李恰有1个科目需要补考”的 概率为f(p),求f(p)的最大值点p0。 (2)以(1)中确定的p0 作为p 的值。 ①求小李这项资格考试过关的概率; ②若每个科目每次考试要缴纳20元的 费用,将小李需要缴纳的费用记为 X 元,求 E(X)。 解析:(1)由题意知f(p)=C23p2(1-p) =3p2(1-p),0<p<1,则f'(p)=-9p2+ 6p=3p(2-3p)。 当0<p< 2 3 时,f'(p)>0;当 2 3<p<1 时,f'(p)<0。 所以函数f(p) 在 0, 2 3 上单调递增, 在 2 3 ,1 上单调递减,故当p=23 时,f(p) 取最大值,即f(p) 的最大值点为p0= 2 3 。 (2)①小李第一次考试3个科目都合格 的概率p1= 2 3 3 = 8 27 ;小李第一次考试有2 个科目合格,补考1个科目且合格的概率p2 =C23× 2 3 2 × 1 3× 2 3= 8 27 ;小李第一次考试 有1个科目合格,补考2个科目且均合格的 概率p3=C13× 2 3× 1 3 2 × 23 2 = 8 81 。 所以小李这项资格考试过关的概率P= p1+p2+p3= 56 81 。 ②由题意知,X 的所有可能取值为60, 80,100,则P(X=60)= 23 3 + 13 3 = 1 3 , P(X=80)=C23× 2 3 2 × 1 3= 4 9 ,P(X= 100)=C13× 2 3× 1 3 2 = 2 9 。 所以E(X)=60× 1 3+80× 4 9+100× 2 9= 700 9 。 点评:在概率与统计的决策问题中,将概 率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为 最佳方案,这往往需要借助函数的有关性质 去实现。回归概率应用问题中的函数性,也 是函数贯穿于整个高中数学知识体系的一个 重要体现。 72 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年6月 二、概率与数列的结合 概率与数列知识之间的交汇与融合,主 要是依托概率应用场景,合理构建与概率有 关的递推关系式,进而结合数列的概念、通项 公式或求和等相关知识来突破,得以有效解 决相应的概率应用问题。 例 2 (2024年江苏省淮阴中学等四 校高考数学联考试卷)运动会期间,某班组织 了一个传球游戏,甲、乙、丙三名同学参与游 戏,规则如下:持球者每次将球传给另一名同 学。已知,若甲持球,则他等可能地将球传给 乙和丙;若乙持球,则他有1 3 的概率传给甲; 若丙持球,则他有1 3 的概率传给甲。游戏开 始时,由甲持球。记经过n 次传球后甲持球 的概率为pn。 (1)若三次传球为一轮游戏,并且每轮游 戏开始都由甲持球,规定:在一轮游戏中,若 在第3次传球后,持球者是甲,则甲胜利。记 随机变量X 为三轮游戏后甲胜利的次数,求 X 的分布列和均值; (2)求pn。 解析:(1)根据题意知,一轮游戏后甲胜 利的传球方式的所有可能情况为甲乙丙甲, 甲丙乙甲,故一轮游戏后甲胜利的概率P= 1 2× 2 3× 1 3+ 1 2× 2 3× 1 3= 2 9 。 由题意知,随机变量X 的所有可能取值 为0,1,2,3,则P(X=0)=C03× 1- 2 9 3 = 343 729 ,P(X=1)=C13× 2 9× 1- 2 9 2 = 98 243 , P(X=2)=C23 × 2 9 2 × 1- 2 9 = 28243, P(X=3)=C33× 2 9 3 = 8 729 。 所以随机变量X 的分布列为表1: 表1 X 0 1 2 3 P 343 729 98 243 28 243 8 729 所以E(X)=0× 343 729+1× 98 243+2× 28 243 +3× 8 729= 2 3 。 (2)记事件An 表示“n 次传球后,球在甲 同学手上”,事件Bn 表示“n 次传球后,球在 乙同学手上”,事件Cn 表示“n 次传球后,球 在丙同学手上”。 设n 次传球后,乙持球的概率为qn,则 P(An)=pn,P(Bn)=qn,P(Cn)=1-pn- qn。 由全概率公式得pn=P(An)=P(An| An-1)+P(An|Bn-1)+P(An|Cn-1) = 1 3qn-1+ 1 3 (1-pn-1-qn-1),整理得 pn= 1 3- 1 3pn-1 ,于是pn- 1 4=- 1 3 pn-1- 1 4 (n≥2,n∈N*)。 因为 p1=0,即 p1- 1 4=- 1 4 ,所 以 pn- 1 4 是以-14为首项,-13为公比的等 比数列。 所以pn- 1 4=- 1 4× - 1 3 n-1 ,故pn = 1 4- 1 4× - 1 3 n-1 。 点评:在概率问题中,经常出现“承上启 下”的概率关系,也就是说,第n+1(n∈N*) 步的概率pn+1 与第n步的概率pn 之间有着 十分紧密的关系,这种关系正是数列研究的 对象。解决这类问题的一般步骤为:①理清 初始事件的概率p1(或p0);②利用事件关系 寻求第n 步的概率pn 与第n+1步的概率 pn+1 之间的关系,即递推关系pn+1=f(pn); ③利用数列的相关知识,由已知p1 与pn+1= f(pn)求出通项公式pn。 总之,作为高中数学知识体系中的一个 重要的综合应用点,概率知识自然而然成为 知识交汇与巧妙融合的实际应用场景,合理 与其他知识加以交汇与融合,以“问题”为核 心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,很好 地融入创新意识与创新精神,成为高中数学 试题命制与创新中的一道亮丽风景线,合理 创设情境,巧妙创新应用。 (责任编辑 王福华) 82 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年6月