15 2025年新高考全国Ⅰ卷中三角函数，解三角形和平面向量的试题分析及解题启示-《中学生数理化》高考数学2025年10月刊

中学生表理化学经圣孩方萨 2025年新高考全国I卷中三角函数、 解三角形和平面向量的试题分析及解题启示 ■郑州市第一。一中学 冯连福 康旭东 2025年新高考全国I卷对三角函数、解 特点二：创设问题情景，落实应用功能 三角形及平面向量的考查延续了基础性与综 例2(2025年新高考全国I卷第6 合性并重的命题思路。三角函数部分侧重性 题)帆船比赛中，运动员可惜助风力计侧定风 质考查；平面向量则与现实生活情境相结合； 速的大小和方向，测出的结果在航海学中称 解三角形题目融合二倍角公式、正余弦定理 为视风风速，视风风速对应的向量是真风风 与面积公式，需综合运用三角恒等变换等技 速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 巧。整体难度偏难，对考生的综合应用能力 其中船行风速对应的向量与船速对应的向量 提出了较高要求。本文旨在通过对2025年 大小相等，方向相反。表1给出了部分风力 新高考全国工卷中三角函数、解三角形及平 等级、名称与风速大小的对个 面向量试题的分析，追根溯源，回归教材，深 应关系。已知某帆船运动 视疯速工 入探究丰富的解题思路；在此基础上，提供备 员在某时刻测得的视风风 考方略，为同学们的复习备考提供一些帮助。 速对应的向量与船速对应 一、真题呈现及方法探究 的向量如图1（风速的大小 特点一：聚焦主干知识，强化基础考查 和向量的大小相同)，单位 图1 例1(2025年新高考全国I卷第4题) (m/s),则真风为( )。 若点a,0)(a>0)是函数y=2an(x-牙)的 A.轻风B.微风C.和风D.劲风 表1 图像的一个对称中心，则a的最小值为( )。 A B c 等级 风速大小(m/s) 名称 D 2 1.13.3 轻风 解析：因为函数y=tanx的对称中心为 3 3.4-5.4 微风 4 5.57.9 和风 (经，0)小，k∈Z,所以y=2am(x一号)的对称 5 8.0-10.1 劲风 中心为（经+号，0小，k∈Z。又因为点(a,0) 解析：由题可知，真风风速对应的向量是 视风风速对应的向量减船行风速对应的向 (a>0)是函数y=2an(x-)的图像的一 量，且船行风速对应的向量与船速对应的向 量大小相等，方向相反，即真风风速对应的向 个对称中心，所以a=经+晋k∈乙.又因 量为图1中两个向量之和，所以真风风速的 为a>0,所以a的最小值为否。 大小为2√2，即真风为轻风。 ,点评：本题的设计注重学用结合，创设真 ,点评：本题的设计注重考查三角函，数图 实情景，把课本知识与“具体真实的世界”联 像的基本概念、基本方法，聚焦三角函数图像 系起来。通过题目条件和向量加法的三角形 的主干知识，强化对重要的原理、方法的基础 法则找到真风向量，再通过估算得出结果，亦 考查。此解法通过找到y=tanx的对称中 可将所有向量用坐标表示，再通过计算得出 心，从而推出y=21an(x一子)的对称中心未 结果。 解决问题，推导的过程可以用平移或者换元 特点三：坚持综合考查，突出选才功能 来理解。 例3(2025年新高考全国1卷第11 38 解数学经腰要孩方清中学生表理化 题)（多选）已知△ABC的面积为子，若 sin B= 6 ,所以选项C正确。 2 cos 2A+cos 2B+2sin C=2,cos Acos Bsin C 因为SAAe= =子，则( ab 2 absin C-1。 1 2c. )。 sinA·ccos A= A.sin C=sin2A+sin'B 82-1 1 ，所以AB=c= B.AB=√2 √2，所以选项B正确。 由以上可知AC2十BC2=c2=2≠3，所 C.sin A+sin B=6 2 以选项D错误。 D.AC+BC=3 故选ABC。 解析：已知cos2A十cos2B+2sinC= 方法二：（和差化积法）由(*)式结合正 2,由二倍角公式得1-2sinA+1-2sinB+ 弦定理得a(sinA一cosB)十b(sinB一 2sinC=2,整理得sinC=sinA十sinB,所 cosA)=0,所以sinA一cosB和sinB一 以A选项正确。 cosA同时为0或异号，即(sinA一cosB)· 因为sin(A+B)=sin(π-C)=sinC, (sinB-cosA)≤0，展开可得sin Asin B一 展开得sin Acos B+sin Bcos A=sinA+ sin Acos A-cos Bsin B+cos Acos B≤0， sinB,所以sinA(sinA-cosB)十sinB(sinB 即cos(A-B)-(sin2A+sn2B)≤0. -c0sA)=0。(￥) 由和差化积得cos(A一B)一sin(A+ 方法一：（边角转化）因为cos Acos Bsin C B)cos(A-B)≤0，即cos(A-B)[1 =>0,所以c0sA0sB>0,于是c0sA> sin(A十B)]≤0，注意到cos Acos Bsin C 0,cosB>0(两者同负会有两个钝角，不成 >0,则eos Acos B>0,所以cosA>0, 立)，故A,B∈(0,2)。由C∈(0，x),则 osB>0,故A,B∈(0,2)，则A-B∈ sinC∈(0,1]，故sinA+sinB=sinC≥ sinC,所以a2十b2≥c2。由余弦定理得cosC (,2),所以os(A-B)≥0，所以1 -0+。≥0，则C∈(o,]A+B≥ sin(A+B)≤0，即sinC≥1，所以sinC=1, 2ab 故C=2,所以A十B=空，osB=simA。 若C∈(o,受)，则A十B>2,即受> 因为cos Acos Bsin C=1 4 =cos Acos B, A>2-B>0,则sinA>sin(受-B）= 所以sin AcosA=子，则sin2A=子。同理 cosB>0。于是sinC=sinA+sinB> sin 2B-2. cos2B+sinB=1,这与sinC≤1矛盾，故 因为A,B∈(0,2)，所以2A,2B∈(0， C∈o,受)不成立，则C=受，A+B=空 ),不妨设A<B,则2A=吾，2B=,所以 因为cos Acos Bsin C=子，所以sinA· A=径B-F放simA十simB=sin是十 casA=子，则(sinA十sinB)y=(sinA十 n5π-6-E+6+2_6 sin 12 4 4 ，所以C选 c0sA)2=1+2 sin AcosA=多，则sinA+ 项正确，同方法一知D选项错误。 39 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高三数学2025年10月 故选ABC。 你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现 方法三：（特殊值法）根据选项C,即 象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同 样的问题。 sin A+sin B= ，联想sin15°= √6 6-√2 4 题源2 (1)(人教A版必修第一册第 sin75°= 6+√ ,而sin15+sin75°= -2[sin(a+ 1 4 2 225页例8)求证：①sin acos B= 猜想A=15°，B=75°，则C=90°。 B)+sin(a-B)]; 再验证条件：cos2A十cos2B+2sinC= sin 0+sin-2sincos cos30°+cos150°+2sin90°=2，cos Acos Bsin C 2 2 (2)(1983年苏联数学奥林匹克式题)两 =cos15°cos75°sin90°= 一E×+E 4 4 个锐角a,B满足：sin'a十sinB=sin(a十B), =子满足条件。 证明：a十B=受。 Sabsin Cbesin 1 1 (3)(2005年克罗地亚数学奥林匹克试 题)已知三角形的三个内角为a,B,Y,且a,3是 c0s15=名=子，得AB=c=E,所以选 锐角，满足：sin'a十sinB=sinY,证明：y=2。 项B正确。 (4)(2025届浙江省金丽衢十二校高三 由以上知AC”十BC2=c2=2≠3，所以 第二次联考第8题)在△ABC中，“sinA+ 选项D错误。 sinB=sin(A十B)”是“C为直角”的 故选ABC。 )。 ,点评：本题的设计通过对知识的重构，考 A.充分不必要条件 查同学们的关键能力和核心素养。对于第一 B.必要不充分条件 个条件S△c=子，虽然SAc=子 .1 besin A= C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 1 2 acsin B=2 absin C有3个公式，但是没 点评：横向对比高考试题与教材可知，高 有已知角，不能选择公式；对于第二个条件 考命题始终紧扣教材主干知识，却在考查维 cos2A+cos2B十2sinC=2,联想消常数项， 度上实现显著跃升。因此，在平时的学习过 由二倍角公式可推知A选项正确；对于sinC 程中，同学们要以教材为主，吃透教材当中的 =sinA十sinB,有三种处理方式，即边角转 例题、习题，掌握不同解法对应的思维量和运 化、分类讨论、和差化积。本题强调对三角函 算量，才能在高考中更好地解决相应问题。 数变换的原理、方法的深入理解和综合运用， 三、备考方略 考查三角函数知识之间的内在联系。当然小 2025年高考试题侧重于基础知识考查， 题尽量小做，采用特殊值法，能在短时间内找 但也对思维品质提出了更高的要求。为了更 出正确答案，视为最佳方法。 好地进行高考复习，同学们可从以下几点提 二、课本溯源 升自己： 题源1（人教A版必修第一册第214 1.回归教材，夯实基础 页第19题)容易知道，正弦函数y=sinx是 高考数学备考首先要回归教材，夯实基 奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正 础。教材是命题的源头活水，近几年的考题 弦曲线的对称中心。除原点外，正弦曲线还 中随处可见教材内容的影子。以三角函数为例， 有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心 虽然题目呈现形式多样，但核心考查点始终围绕 的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图 教材中的定义与定理展开。建议同学们以教材 形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？ 目录为框架，系统梳理每个章节的核心概念、公式 40 解题管￥经臭题突酸方清中学生教理化 高三数学2025年10月 修夯买基础融会贯通 L.6 2025年新高考全国Ⅱ卷中三角、平面简量的试题分桥及复习启示 ■山东省聊城第一中学 叶金焕 纵观2025年新高考全国Ⅱ卷，我们可以 分析1：首先，根据倍角公式可求出 发现涉及三角函数、解三角形和平面向量三 cosa;其次，根据同角三角函数基本关系可 块内容的试题比较基础，难度不大。三角函 求出sina;最后，根据两角差的正弦公式可 数、解三角形及向量作为高考数学的必考内 容，重点考查对三角函数公式、三角函数的图 求出sin(。一) 像与性质、正弦定理、余弦定理、平面向量的 解法1：因为cos 性质与坐标运算等基础知识的理解和应用。 2 5,所以cosa- 针对新高考背景下的三角函数、解三角形及平 2c0s-1=-。因为0<<，所以sin 面向量问题，我们以2025年新高考全国Ⅱ卷为 例，总结解题策略和技巧，以提高解题效率和 4 --osa=号，所以sin(a-牙) 准确性，为高考取得优异成绩奠定坚实基础。 一、三角函数试题分析 π7√2 sin acos 4-cos asin-10. 故选D。 1.三角函数恒等变换求值的考查 分析2：首先，根据角的范围和同角三角 例1(2025年新高考全国Ⅱ卷第8 题)已知0<a<x,c0s号-号， 函数基本关系求出tan乞：其次，根据万能公 =号，则sin(a- 式求出sina,cosa;最后，根据两角差的正弦 )=( )。 公式可求出sim(。一牙)的值。 4 B.2 C.310 D.72 10. 10 解法2：因为0<a<元所以0<号 十十十十十十十十++十十十十十十十十中十十十十十十中十十十十十十十十十十十 与定理，特别是那些看似简单却容易忽略的 编条件或结论，举一反三，真正做到触类旁通。 基础知识。对于教材中的例题和习题要反复 3.锤炼思维，提升素养 揣摩，因为很多高考题都是教材习题的变式 数学思维的锤炼是提升解题素养的核 或组合。同时要重视教材中的阅读材料、探 心。面对越来越灵活的高考数学题，仅靠题 究活动等拓展内容，这些往往成为命题的创 海战术难以取得突破。要在日常训练中培养 新点。基础扎实了，解题时才能准确理解题 数学建模能力，学会将实际问题转化为数学 意，快速找到突破口。 问题：要发展多角度思考能力，对同一个问题 2.精研真题，把握规律 尝试不同的解题路径；要注重解题的严谨性 精研真题是把握命题规律的关键途径。 规范使用数学语言表达。建议同学们在复习 通过分析近五年的高考真题可以发现，试题 中多进行“一题多解”的训练，比较不同解法 在知识点分布、难度梯度、考查方式等方面都 的优劣；要定期整理错题，分析错误背后的思 有规律可循。建议同学们按专题分类整理真 维缺陷；还要适当挑战一些综合性强的题目， 题，既要关注高频考点，也要留意新兴的考查 在限时条件下培养快速决策能力。通过持续 方向。在研读真题时，不仅要会做，更要理解 的有针对性的思维训练，逐步建立起解决新 命题意图，分析每个选项的设计思路，总结常 问题的能力体系，这样才能在高考中从容应 见陷阱和易错点。对于典型题目，可以尝试改 对各种创新题型。 (责任编辑王福华) 41