均值与方差的实际应用-《中学生数理化》高考数学2025年6月刊

■江苏省南京市临江高级中学 李玉山 离散型随机变量的均值与方差是离散型 随机变量的数字特征,只有知道离散型随机 变量的均值与方差,才能从总体上把握离散 型随机变量的特征。均值或方差能够从最大 程度上刻画、反映出各种随机因素的影响,从 而成为风险决策的重要数字特征,为实际问 题的科学决策起到最优的决策作用。 一、收益或利润方面的应用问题 当今世界,经济快速发展,在个人或企业 作出决定的过程中,相应情况下要考虑对应 的收益或利润问题,这往往离不开数学均值, 它可以帮助投资者预测其平均利润。投资就 有风险,投资当然希望获利,以数学均值来估 算投资效益也是经常碰到的。 例 1 某猎人发现在距离他100米处的 位置有一只猎物,如果直接射击,则只射击一 次就击中猎物的概率为 3 5 ,为了有更大的概率 击中猎物,猎人准备多次射击。假设每次射击 结果之间相互独立,猎人每次射击击中猎物的 概率与他和猎物之间的距离成反比。 (1)如果猎人第一次射击没有击中猎物, 则猎人经过调整后进行第二次射击,但由于 猎物受到惊吓奔跑,使得第二次射击时猎物 和他之间的距离增加了50米;如果第二次射 击仍然没有击中猎物,则第三次射击时猎物 和他之间的距离又增加了50米。如此进行 下去,每次射击如果没有击中,则下一次射击 时猎物和他之间的距离都会增加50米。当 猎人击中猎物或发现某次射击击中的概率小 于 2 9 时就停止射击,求猎人停止射击时射击 次数的分布列与均值。 (2)如果猎人直接连续射击,由于射击速 度很快,可以认为在射击期间猎物和猎人之间 的距离保持不变,若希望至少击中猎物一次的 概率超过98%,求至少要连续射击的次数。 附参考数据:ln 2≈0.693,ln 5≈1.609。 解析:(1)已知猎人每次射击击中猎物的 概率与他和猎物之间的距离成反比,设第i 次射击击中猎物的概率为pi(i∈N*),猎人 和猎物之间的距离为di(i∈N*),则pi= k di (k 为常数,i∈N*)。 因为p1= 3 5 ,d1=100,所以k=p1·d1 =60,所以pi= 60 di ,则p2= 60 150= 2 5 ,p3= 60 200= 3 10 ,p4= 60 250= 6 25 。 当i≥5 时,pi≤ 60 300= 1 5< 2 9 ,停止射击。 设猎人的射击次数为X,由题意知X 的 所有可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)= 3 5 , P(X=2)= 1- 3 5 ×25=425,P(X=3)= 1- 3 5 × 1-25 ×310= 9125,P(X=4)= 1- 3 5 × 1-25 × 1-310 =21125。 所以随机变量X 的分布列如表1所示: 表1 X 1 2 3 4 P 3 5 4 25 9 125 21 125 所以均值E(X)=1× 3 5+2× 4 25+3× 9 125+4× 21 125= 226 125 。 (2)记“第i 次射击击中猎物”为事件 Ai,i=1,2,…,n,则n 次连续射击至少击中 猎物一次的概率P=1-P(A1 A2…An)= 1- 1- 3 5 n > 98 100 ,故 n> 2ln 5+ln 2 ln 5-ln 2 ≈ 2×1.609+0.693 1.609-0.693 ≈4.270 。 61 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年6月 所以至少要连续射击5次。 点评:均值刻画了离散型随机变量所取得的 平均值,是描述这类随机变量集中趋势的一个特 征数。利用数学均值可以初步从理论上评估投 资的均值效益,以供投资、决策选择时的参考。 二、策划或决策方面的应用问题 对于生活中部分未知的利益,只有通过 合理科学的计算,结合生活实际加以分析和 测算,而数学均值可以帮助我们达到这个策 划或决策目的。一个好的策划或决策往往可 以为成功的事业奠定相应的基础。 例 2 根据气象预报,某地区下个月有 小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为 0.01。现工地上有一台大型设备,为保护设 备有以下三种方案。 方案1:运走设备,此时需花费3 800元。 方案2:建一保护围墙,需花费2 000元。 但围墙无法防止大洪水,当大洪水来临,设备 受损,损失费为60 000元。 方案3:不采取措施,希望不发生洪水。 当大洪水来临,损失费为60 000元,当小洪 水来临,损失费为10 000元。 试比较哪一种方案好。 附参考数据:0.99910≈0.99。 解析:对于方案1,花费为3 800元,损失 费为0元,花费与期望损失之和为3 800元。 对于方案2,花费为2 000元,损失费的 分布列如表2所示: 表2 损失费/元 60 000 0 概率 0.01 0.99 期望损失为60 000×0.01+0×0.99= 600(元)。 所以花费与期望损失之和为2 000+600 =2 600(元)。 对于方案3,花费为0元,损失费的分布 列如表3所示: 表3 损失费/元 60 000 10 000 0 概率 0.01 0.25 0.74 期望损失为60 000×0.01+10 000× 0.25+0×0.74=3 100(元)。 所以花费与期望损失之和为3 100元。 比较三种方案,我们发现方案2的花费 与期望损失之和最小,故方案2较好。 点评:解答此类问题的关键是确定随机 变量的可能取值,这是求概率分布的重点与 难点,概率分布的求解正确与否直接影响相 应数学均值的计算,以及正确的策划或决策。 在实际生活中,数学均值是一个特殊的概念, 反映随机变量的某个确定的特征,对生活中 一些相关问题的分析大有用处,因此,同学们 在学习的过程中要引起重视,学以致用。 三、鉴别或比较方面的应用问题 品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确状 况、武器的性能等很多指标往往是通过数学 均值与方差的综合来进行鉴别或比较。要鉴 别或比较两个对比问题的好坏与差别,包括 它们实际水平的高低和稳定性,需要计算它 们实际水平中对应数值的数学均值和方差, 再利用数学均值和方差的实际意义即可加以 判断。 例 3 在一个人数很多的地区普查某 种疾病,由以往经验知道,该地区居民得此病 的概率为0.1%。设有1 000人去验血,给出 下面两种化验方法。 方法1:每人逐一进行检查。 方法2:将1 000人分为100组,每组10 人。对于每个组,先将10人的血各取出部 分,并混合在一起进行一次化验,如果结果呈 阴性,那么可断定这10人均无此疾病;如果 结果呈阳性,那么再逐一化验。 试问:哪种方法较好? 附参考数据:0.99910≈0.99。 解析:第1种方法的化验次数为1 000。 第2种方法:如果一组的混合血液化验 结果是阴性的,就可以断定这10个人均无此 病,那么对这10个人只化验1次;如果结果 呈阳性,那么必须对这10个人逐个化验,这 时对这10个人共需进行11次化验。 因为对所有人来说,化验结果呈阳性的 概率均为0.001,而且这些人的化验结果是相互 71 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年6月 􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯􀤯 独立的,所以每个人的化验次数 X 的分布列 如表4所示: 表4 X 1 10 11 10 P (1-0.001)10 1-(1-0.001)10 故每个人化验次数X 的均值E(X)= 1 10 ×(1-0.001)10+ 11 10× [1-(1-0.001)10]≈ 0.11。 所以1 000个人的化验次数的均值为 1 000E(X)≈1 000×0.11=110。 所以第2种方法远好于第1种方法。 点评:随机变量ξ 的方差的意义在于描 述随机变量稳定与波动或集中与分散的状 况。若有两 个 随 机 变 量ξ1、ξ2,且 E(ξ1)= E(ξ2)或E(ξ1)与E(ξ2)比较接近时,我们常 用D(ξ1)与 D(ξ2)来比较这两个随机变量。 若方差值大,则表 明ξ 较 为 离 散;若 方 差 值 小,则表明ξ较为集中。在实际问题中,仅靠 均值还不能完全说明随机变量的分布特征, 还必须研究其偏离平均值的离散程度,即方 差的大小问题。 其实,利用样本的数字特征解决有关决 策的问题就是根据提取的数据,建立相应的 概率模型,然后利用概率知识求出样本的数 字特征———均值、方差等,通过比较得到最优 方案,从而解决问题。随机变量的均值与方 差反映了随机变量取值的平均水平与离散程 度,该模块的知识往往与生产、生活中的问题 相联系,因此必须从实际问题的情景中抽象 出概率模型,然后运用这个模型和相关知识 来求解问题。 (责任编辑 王福华) ■江苏省沭阳高级中学 武 洲 概率综合应用问题,往往是基于一些常 见的概率分布模型的场景来巧妙设置,进而 全面考查概率的基础知识及其应用。而常见 的概率分布模型主要包括超几何分布、二项 分布、正态分布这“三大”类型,相互之间有其 独特的概念、特征性质与计算公式等,正确识 别并判断这“三大”概率分布类型,结合相应 的概念、性质、公式来分析与解决问题,从而 实现概率问题的突破与应用。 一、超几何分布 超几何分布概率模型,其实质就是古典 概型中的不放回抽样模型,经常用于一些产 品抽检、摸球应用等问题。需要注意的是:在 超几何分布中,随机变量为抽到的某类个体 的个数。 例 1 在心理研究与应用过程中,心理 暗示有时起着一定的作用。在试验中,将参 加的志愿者随机分成两种,分别接受甲、乙两 种不同的心理暗示,借此加以对比与分析。 现有6名男志愿者A1,A2,…,A6,4名女志 愿者B1,B2,B3,B4,从中各随机抽取5人接 受甲、乙两种不同的心理暗示。 (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中不 包含A1 但包含B1 的概率; (2)记接受乙种心理暗示的女志愿者人 数为随机变量X,试确定X 的分布列; (3)记接受甲种心理暗示的女志愿者人 数为随机变量Y,求E(Y)。 解析:(1)记事件C=“接受甲种心理暗 示的志愿者中不包含 A1,但包含B1”,则有 P(C)= C48 C510 = 5 18 。 (2)由题意可知,随机变量 X 的可能取 值为0,1,2,3,4。 结合超几何分布可知P(X=0)= C56 C510 = 1 42 ,P(X=1)= C46C14 C510 = 5 21 ,P(X=2)= C36C24 C510 = 10 21 ,P(X=3)= C26C34 C510 = 5 21 ,P(X=4)= 81 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年6月