概率易错题归类剖析 解题关键点精准探寻-《中学生数理化》高考数学2025年6月刊

■江苏省宜兴市和桥高级中学 周 颖 概率知识在高中数学体系中占据关键位 置,不仅与实际生活紧密相连,还是高考的重 要考点。然而,由于概率概念的抽象性和解 题方法的多样性,同学们在学习过程中容易 出现各种错误。本文对易错题进行系统分类 和深入分析,希望能帮助同学们清晰把握知 识漏洞,提高解题能力。 易错点一、混淆互斥、对立、独立事件的 概念 例 1 一只装有6个大小和质地都相 同的小球的盒子,对应小球的编号分别为1, 2,3,4,5,6,从中任意摸出两个小球。设事件 A1=“摸出两个小球的编号之和不超过6”, 事件A2=“摸出两个小球的编号都大于3”, 事件A3=“摸出两个小球中有编号为4的 球”,则以下事件之间的关系中判断正确的是 ( )。 A.A1 与A2 是相互独立的 B.A1 与A3 是对立事件 C.A1∪A2 与A3 是互斥事件 D.A1∩A3 与A2∩A3 是互斥事件 易错提醒:相互独立事件、互斥事件、对 立事件是三个不同的概念,相互之间是互不 相同的,在实际操作与应用时,往往要借助各 自的定义分析与判断。需要特别注意的是: 对于互斥事件与对立事件之间的关系,对立 事件一定是互斥事件,反之则不成立;对于相 互独立事件与互斥事件之间的关系,前者是 表示两个事件各自的发生对对方没有影响, 后者强调两个事件不可能同时发生。 解析:由题意可知,摸出两个小球的所有 基本事件U={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4), (3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}。其中对 应的事件A1={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4)};A2={(4,5),(4,6),(5,6)}; A3={(1,4),(2,4),(3,4),(4,5),(4,6)}。 所以P(A1)= 6 15= 2 5 ,P(A2)= 3 15= 1 5 , P(A3)= 5 15= 1 3 。 对于选项A,因为P(A1A2)= 0 C26 =0,且 P(A1)·P(A2)= 2 25 ,所以A错误。 对于选项B,因为A1∩A3={(1,4),(2, 4)},所以事件A1 与事件A3 不是对立事件, 所以B错误。 对于选项C,因为A1∪A2={(1,2),(1, 3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(4,5),(4, 6),(5,6)},所以(A1∪A2)∩A3={(1,4), (2,4),(4,5),(4,6)},故事件 A1∪A2 与事 件A3 不是互斥事件,所以C错误。 对于选项D,因为A1∩A3={(1,4),(2, 4)},A2∩A3={(4,5),(4,6)},所以(A1∩ A3)∩(A2∩A3)=∅,故事件 A1∩A3 与事 件A2∩A3 是互斥事件,所以D正确。 故选D。 易错点二、混淆“有放回”与“不放回” 例 2 (多选题)一只口袋中装有形状、 大小都相同的6个小球,其中红球1个,黑球 2个,白球3个,分别以两种不同的方式摸出 3个球,方式一:依次有放回;方式二:依次无 放回。则下列结论正确的是( )。 A.若按方式一,则摸出是同一种颜色的 球的概率为 1 8 B.若按方式一,设摸出黑球的个数为 X,则方差D(X)= 2 3 92 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年6月 C.若按方式二,已知共有两种不同颜色 的球的条件下,则2白1黑的概率为 6 13 D.若按方式一、二等可能地抽签决定, 则最终摸出2白1黑的概率为 11 40 易错提醒:在处理与抽样有关的概率问 题时,要区分“有放回抽取”和“无放回抽取” 的不同,有放回抽取是指每一次抽取背景是 一样的,即总体个数不变,概率不变;无放回 抽取是指每一次抽取背景是变化的,即总体 个数要变,概率也变。 解析:对于选项A,按方式一摸到白球的 概率为 1 2 ,摸到黑球的概率为1 3 ,摸到红球的 概率为 1 6 。 三次全摸白球,由乘法公式可得摸出是 同一种颜色的球的概率为 1 2× 1 2× 1 2= 1 8 ; 三次全摸黑球,由乘法公式可得摸出是 同一种颜色的球的概率为 1 3× 1 3× 1 3= 1 27 ; 三次全摸红球,由乘法公式可得摸出是 同一种颜色的球的概率为 1 6× 1 6× 1 6= 1 216 。 所以摸出是同一种颜色的球的概率为 1 8 + 1 27+ 1 216= 1 6 ,故选项A错误。 对于选项B,由题意可得,按方式一摸出 黑球的个数符合 X~B 3, 1 3 ,则 D(X)= np(1-p)=3× 1 3× 1- 1 3 =23,故选项B 正确。 对于选项C,按方式二,2白1黑的概率 为 C23C12 C36 = 6 20 。 按方式二,已知共有两种不同颜色的球 的概率为1- C33 C36 + C11C12C13 C36 =1320。 由条件概率的公式可得,按方式二,已知 共有两种不同颜色的球的条件下,则2白1 黑的概率为 6 20 13 20 = 6 13 ,故选项C正确。 对于选项D,若按方式一、二等可能地抽 签决定,则按方式一摸出2白1黑的概率为 1 2× 1 2× 1 2× 1 3×3= 1 8 ; 按方式二摸出2白1黑的概率为 1 2× C23C12 C36 = 3 20 。 所以最终摸出2白1黑的概率为 1 8+ 3 20 = 11 40 ,故选项D正确。 故选BCD。 易错点三、古典概型问题忽略“等可能性” 例 3 甲、乙两人进行一场抽卡游戏, 规则如下:有编号1,2,3,4,5,6,7的卡片各1 张,两人轮流从中不放回地随机抽取1张卡 片,直到其中1人抽到的卡片编号之和等于 12或者所有卡片被抽完时,游戏结束。若甲 先抽卡,则当甲抽了3张卡片时,恰好游戏结 束的概率是 。 易错提醒:在解决这类问题时,首先,确 认试验是否符合古典概型的特征。构建样本 空间,这一过程中需特别注意两点:一是样本 中的元素是否存在顺序性,因为顺序的不同 会构成不同的样本空间;二是取样时是否允 许元素重复,即取样是放回还是不放回,这直 接决定了样本中元素是否可以重复出现。明 确了这两点后,就可以计算出样本空间的总 样本点数量,以及所求事件对应的样本点数 量。最后,利用古典概型的概率计算公式,得 出所求事件的概率。 解析:根据题意可知,当甲抽了3张卡片 时,恰好游戏结束,相当于从7张卡片中抽取 了5张,且甲抽取的3张卡片数字之和为12, 乙抽取的2张卡片数字之和不为12。总的情 况相当于从7张卡片中抽取了5张并进行全 排列,即共A57 种排法,其中3张卡片数字之 和为12的组合有(1,4,7),(1,5,6),(2,3, 7),(2,4,6),(3,4,5),共5种情况。 03 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年6月 当甲抽取的数字为1,4,7;1,5,6;2,3, 7;3,4,5时,乙在剩余的4张卡片中随意抽 取2张卡片再进行排列,共有4A33A24 种。 当甲抽取的数字为2,4,6时,而乙抽取 的2张卡片数字可能为5,7,不符合题意,此 时共有A33(A24-A22)种。 所以符合题意的排列总数为[4A33A24+ A33(A24-A22)]种。 故所求概率 P= 4A33A24+A33(A24-A22) A57 = 4×6×12+6×10 7×6×5×4×3 = 29 210 。 故答案为 29 210 。 易错点四、对条件概率理解不透彻 例 4 (多选题)对于一个有限样本空 间,现有不同的事件 A,B,C,若 P(A)= P(B)=P(C)= 1 3 ,且事件A 与事件B 是相 互独立事件,事件 A 与事件C 是互斥事件, 则以下判断中正确的是( )。 A.P(A∪B)= 2 3 B.P(􀭺C|A)=2P(A|􀭺C) C.P(􀭺C|AB)=1 D.若P(C|B)+P(C|􀭺B)= 1 2 ,则事件 B 与事件C 是互斥事件 易错提醒:解决条件概率问题的步骤: 第一步,判断是否为条件概率,若题目中 出现“已知”“在……前提下”等字眼,一般为 条件概率。题目中若没有出现上述字眼,但 已知事件的出现影响所求事件的概率时,也 需注意是否为条件概率。若为条件概率,则 进行第二步。 第二步,计算概率,这里有两种思路:一 是通过缩减样本空间来计算条件概率,如求 P(A|B),可分别求出事件B,AB 包含的基 本事 件 的 个 数,再 利 用 公 式 P(A|B)= n(AB) n(B) 计算;二是直接利用公式计算条件概 率,即先分别计算出P(AB),P(B),再利用 公式P(A|B)= P(AB) P(B) 计算。 解析:对于选项A,由于事件A 与事件B 是相互独立事件,利用概率的乘法公式可得 P(AB)=P(A)P(B)= 1 3× 1 3= 1 9 ,而结合 概率的加法公式有 P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(AB)= 1 3+ 1 3- 1 9= 5 9 ,故选项 A错误。 对于选项B,由于事件A 与事件C 是互 斥事件,结合事件的基本性质可知A⊆􀭺C,利 用条件概率公式有 P(􀭺C|A)= P(􀭺CA) P(A)= 3P(􀭺CA),而P(A|􀭺C)= P(􀭺CA) P(􀭺C) = P(􀭺CA) 1- 1 3 = 3 2P (􀭺CA),则知P(􀭺C|A)=2P(A|􀭺C),故选 项B正确。 对于选项C,结合条件概率公式有P(􀭺C| AB)= P(􀭺CAB) P(AB) ,而事件A 与事件C 是互斥 事件,即事件A 发生则事件C 一定不发生, 则有 P(􀭺CA)=P(A),即 P(􀭺C|AB)= P(􀭺CAB) P(AB)= P(AB) P(AB)=1 ,故选项C正确。 对于选项D,显然有P(C)=P(BC)+ P(􀭺BC)= 1 3 ,则知 P(􀭺BC)= 1 3-P (BC), 结合条件P(C|B)+P(C|􀭺B)= 1 2 ,由此 可得 P(BC) P(B)+ P(􀭺BC) P(􀭺B) =3P(BC)+ 3 2 · 1 3-P (BC) =12,解得P(BC)=0,所以 事件B 与事件C 是互斥事件,故选项D正 确。 故选BCD。 高中概率模块的易错点涵盖概念混淆、 忽视条件、计数错误及计算失误等多种类型。 同学们在学习概率知识时,要深刻理解概率 的基本概念,养成认真审题的习惯,仔细分析 题目中的条件,尤其是隐含条件,从而有效提 升解题能力和数学素养。 (责任编辑 王福华) 13 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年6月