把脉命题逻辑 指导破题思维——以高考概率题的命题方向预测为例-《中学生数理化》高考数学2025年6月刊

■江苏省陶都中等专业学校 潘 静 概率内容是高考数学的热点之一。回顾 近几年的高考概率试题,多与社会实际紧密 结合,以现实生活为背景设置试题,注重知识 的综合与实际应用。这类试题信息量大、综 合性强,需要同学们在复杂的问题情境中准 确提取信息并进行加工分析,选择合适的概 率模型解决问题。本文归纳高考概率的命题 视角与解题策略,供同学们备考时借鉴。 命题视角一:超几何分布与二项分布 超几何分布和二项分布是两种特殊的概 率分布类型,需要认清本质、合理区分,才能 准确选择。超几何分布需要知道总体的容 量,而二项分布不需要;超几何分布是“不放 回”抽取,在每次试验中某一事件发生的概率 是不相同的,而二项分布是“有放回”抽取,在 每次试验中某一事件发生的概率是相同的。 例 1 (2024年浙江绍兴高三统考期 末)临近新年,某水果店购入A,B,C 三种水 果,数量分别为36箱,27箱,18箱。现采用 分层抽样的方法抽取9箱,进行质量检查。 (1)应从A,B,C 三种水果各抽多少箱。 (2)若抽出的9箱水果中,有5箱质量上 乘,4箱质量一般,现从这9箱水果中随机抽 出4箱送有关部门检测。 ①用X 表示抽取的4箱中质量一般的 箱数,求随机变量X 的分布列和数学期望; ②设A 为事件“抽取的4箱水果中,既 有质量上乘的,也有质量一般的水果”,求事 件A 发生的概率。 解析:(1)由题意知, 36 36+27+18×9=4 , 27 36+27+18×9=3 , 18 36+27+18×9=2 ,所以 应从A,B,C 三种水果各抽4箱,3箱,2箱。 (2)①由题意知,X 的可能取值为0,1, 2,3,4,则P(X=0)= C45 C49 = 5 126 ,P(X=1)= C35C14 C49 = 20 63 ,P(X=2)= C25C24 C49 = 10 21 ,P(X=3) = C15C34 C49 = 10 63 ,P(X=4)= C44 C49 = 1 126 。 所以随机变量X 的分布列为表1: 表1 X 0 1 2 3 4 P 5126 20 63 10 21 10 63 1 126 故随机变量X 的数学期望E(X)=0× 5 126+1× 20 63+2× 10 21+3× 10 63+4× 1 126= 16 9 。 ②由题意知,A 为事件“抽取的4箱水果 中,都是质量上乘的,或都是质量一般的水 果”,所以P(A)=1-P(A)=1-P(X=0) -P(X=4)=1- 5 126- 1 126= 20 21 。 点评:梳理此题的解题逻辑,应重点把握 四个核心要点:一是明确超几何分布的适用 范围;二是理解分层抽样的性质,准确求解各 类对象的抽样数目;三是应用超几何分布的 概率模型求解分布列和数学期望;四是利用 对立事件简化概率运算,强化正难则反的逆 向思维。 例 2 (2024年全国名校联考模拟预 测)“男男女女向前冲”是一档热播的闯关类 电视节目。该节目一共设置了四关,由以往 的数据可得,男生闯过一至四关的概率依次 是 5 6 ,4 5 ,3 4 ,2 3 ,女生闯过一至四关的概率依 次是 4 5 ,3 4 ,2 3 ,1 2 。男生甲、乙,女生丙、丁四 人小组前往参加闯关挑战(个人赛)。 (1)求甲闯过四关的概率; (2)设随机变量X 为该四人小组闯过四 关的人数,求E(X)。 解析:(1)记事件A 为“男生闯过四关”, 53 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年6月 则P(A)= 5 6× 4 5× 3 4× 2 3= 1 3 ,故甲闯过 四关的概率为 1 3 。 (2)记事件 B 为“女生闯过四关”,则 P(B)= 4 5× 3 4× 2 3× 1 2= 1 5 。 由题意知,X 的所有可能取值为0,1,2, 3,4,则 P(X=0)= 1- 1 3 2 × 1- 1 5 2 = 64 225 ,P (X =1)=C12 × 1 3 × 1- 1 3 × 1- 1 5 2 +C12× 1 5× 1- 1 5 × 1-13 2 = 96 225 ,P(X=3)=C12× 1 3× 1- 1 3 × 15 2 +C12× 1 5× 1- 1 5 × 13 2 = 12 225 ,P(X= 4)= 13 2 × 15 2 = 1 225 ,P(X=2)=1- P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X= 4)=1- 64 225- 96 225- 12 225- 1 225= 52 225 。 所以X 的分布列为表2: 表2 X 0 1 2 3 4 P 64225 96 225 52 225 12 225 1 225 所以E(X)=0× 64 225+1× 96 225+2× 52 225 +3× 12 225+4× 1 225= 16 15 。 点评:解决本题的关键在于定型,“独立” “重复”是二项分布的基本特征,“每次试验事 件发生的概率都相等”是二项分布的本质特 征,据此可判断男生、女生各自闯关相当于各 做了两次独立重复实验,P(A)、P(B)分别为 成功概率,利用二项分布的概率模型可求解 分布列和数学期望。值得注意的是:对于情 况最复杂的“X=2”的概率不必正面计算,可 以利用分布列的性质简化处理。 命题视角二:概率与其他知识的交汇 应用 概率常与排列组合、函数、数列等知识交 汇考查,这类问题的命题方向大致有两大类: 一是所给问题是以集合、函数、立体几何、数 列、向量等知识为载体的概率问题,求解时需 要利用相关知识把所给问题转化为概率模 型,然后利用概率知识求解;二是所给问题是 概率问题,求解时需要把所求概率转化为某 一变量的函数,然后利用函数、导数知识进行 求解,或者把问题转化为与概率变量相关的 数列递推关系,再通过构造特殊数列求通项 或前n项和。 例 3 为了增强身体素质,寒假期间小 王每天坚持在“跑步20分钟”和“跳绳20分 钟”中选择一项进行锻炼。在不下雪的时候, 他跑步的概率为0.8,跳绳的概率为0.2;在 下雪天他跑步的概率为0.2,跳绳的概率为 0.8。若前一天不下雪,则第2天下雪的概率 为0.6;若前一天下雪,则第2天仍下雪的概 率为0.4。已知寒假第1天不下雪,跑步20 分钟大约消耗能量300卡路里,跳绳20分钟 大约消耗能量200卡路里。 记寒假第n 天不 下雪的概率为Pn。 (1)求P1、P2、P3 的值,并求Pn; (2)设小王寒假第n 天通过运动消耗的 能量为X,求X 的数学期望。 解析:(1)由题意得P1=1,P2=1×0.4 =0.4,第3天不下雪,分两种情况:第2天不 下雪且第3天不下雪,第2天下雪且第3天 不下雪,故 P3=0.4×0.4+0.6×0.6= 0.52。 依题意Pn=0.4Pn-1+0.6(1-Pn-1)= - 1 5 Pn-1 + 3 5 ,整 理 得 Pn - 1 2 = - 1 5 Pn-1- 1 2 ,所以 Pn-12 是以P1-12 = 1 2 为首项,- 1 5 为公比的等比数列,故Pn- 1 2 = 1 2× - 1 5 n-1 ,即Pn= 1 2+ 1 2× - 1 5 n-1 。 (2)由题意知X 的所有可能取值为200, 300,由(1)得P(X=300)=0.8Pn+0.2(1- Pn)=0.6Pn+0.2,则小王第n天通过运动锻 炼消耗的能量 X 的数学期望为300P(X= 300)+200[1-P(X=300)]=200+100P(X 63 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年6月 =300)=220+60Pn=250+30× - 1 5 n-1 。 点评:本题第一问从特殊到一般,先依据 条件概率公式、概率乘法公式、全概率公式求 解P3,然后在运用全概率公式的基础上归纳 Pn 与Pn-1 之间的递推关系,进而构造等比 数列求解Pn;第二问是对第一问全概率公式 的同构应用,利用Pn 的通项公式求解随机变 量X 的数学期望。本题将全概率公式、数列 的递推公式、数列的通项公式及随机变量的 数学期望自然融合,有效体现了创新性和综 合性的考查要求。 命题视角三:利用概率解决决策类问题 决策的工具是概率,决策方案的最佳选择 是将概率最大(最小)作为最佳方案,可能需要 借助函数、不等式、导数等工具去实现。 例 4 (2024年安徽模拟预测)现需要 抽取甲、乙两个箱子的商品,检验其是否合 格。其中甲箱中有9个正品和1个次品;乙 箱中有8个正品和2个次品。从这两个箱子 中随机选择一个箱子,再从该箱子中等可能 地抽出一个商品,称为首次检验。 将首次检 验的商品放回原来的箱子中,再进行二次检 验,若两次检验都为正品,则通过检验。首次 检验选到甲箱或乙箱的概率均为 1 2 。 (1)求首次检验抽到合格产品的概率。 (2)在首次检验抽到合格产品的条件下, 求首次检验选到的箱子为甲箱的概率。 (3)将首次检验抽出的合格产品放回原 来的箱子中,继续进行二次检验时有如下两 种方案:方案一,从首次检验选到的箱子中抽 取;方案二,从另外一个箱子中抽取。比较两 个方案,哪个方案检验通过的概率大。 解析:(1)将首次检验选到甲箱记为事件 A1,选到乙箱记为事件A2,首次检验抽到合 格品记为事件B,则首次检验抽到合格品的 概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B| A2)= 1 2× 9 10+ 1 2× 8 10= 17 20 。 (2)在首次抽到合格品的条件下,首次抽 到甲 箱 的 概 率 P(A1|B)= P(A1B) P(B) = P(A1)P(B|A1) P(B) = 1 2× 9 10 17 20 = 9 17 。 (3)将二次检验抽到合格品记为事件C。 由(2)可知,在首次抽到合格品的条件 下,首次抽到甲箱的概率P(A1|B)= 9 17 ,则 在首次抽到合格品的条件下,首次抽到乙箱 的概率P(A2|B)=1- 9 17= 8 17 。 P(C|B)=P(CA1|B)+P(CA2|B)= P(CA1B) P(B) + P(CA2B) P(B) = P(A1B) P(B) · P(CA1B) P(A1B) + P(A2B) P(B) ·P (CA2B) P(A2B) =P(A1| B)P(C|A1B)+P(A2|B)P(C|A2B)。 从而,在首次检验通过,即事件 B 发生 的条件下: ①若选择方案一,则P(C|A1B)=P(B| A1)= 9 10 ,P(C|A2B)=P(B|A2)= 8 10 。 故在此条件下二次检验抽到合格品的概 率P(C|B)= 9 17× 9 10+ 8 17× 8 10= 145 170 。 所以在选择方案一的条件下,检验通过 的概率P(BC)=P(C|B)P(B)= 145 170× 17 20 。 ②若选择方案二,则P(C|A1B)=P(B| A2)= 8 10 ,P(C|A2B)=P(B|A1)= 9 10 。 故在此条件下二次检验抽到合格品的概 率P(C|B)= 9 17× 8 10+ 8 17× 9 10= 144 170 。 所以在选择方案二的条件下,检验通过 的概率P(BC)=P(C|B)P(B)= 144 170× 17 20 。 因为 145 170× 17 20> 144 170× 17 20 ,故选择方案一 检验通过的概率更大。 点评:本题前两问直接考查了条件概率 公式、全概率公式和贝叶斯公式,指向基础知 识的应用,而第三问以概率作为决策标准,需 要通过运算推理,建立不等关系,才能作出合 理选择。在没有明确指明决策标准时,概率、 73 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年6月 􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹􀤹 期望和方差都可以作为决策依据,只要言之 有理都可以得分。可以预计开放性试题在高 考中出现的频率将越来越多。 注:本文系江苏省教育科学“十四五”规 划重点课题“学习进阶理论下高中数学单元 学习元指导研究”(编号:B/2022/03/65)的阶 段性研究成果。 (责任编辑 王福华) 新教材中统计新定义的变化方向及总结提升 ■浙江省龙泉中学 林建平 项少婷 概率统计是新教材变化最大的一个模 块,是数学建模和数据分析的一个重要载体, 是抽象数学和实际问题紧密联系的重要桥 梁,是研究大数据分析和人工智能技术等的 重要工具。《普通高中数学课程标准》中统计 方面主要考查:数据收集和整理的方法、数据 直观图表的表示方法、数据统计特征的刻画、 成对数据的统计相关性、回归模型的建立、独 立性检验及其应用等。因此,高考对统计的 考查要求有所提高,特别是统计与其他知识 的结合,其中统计新定义问题是难点,不仅考 查同学们的阅读能力、提取信息能力,还考查 理解能力、自学能力等。 一、统计量和指标变化 例 1 (2025届景德镇高三第一次质 检)第一组数据(x1,x2,…,xn),其中x1<x2 <…<xn,第二组数据(z1,z2,…,zn,zn+1), 这n+1个数互不相等,z1,z2 分别为其中最 大与第二大的数。先从第二组数据中剔除一 个数(剩余数相对位置保持不变)得到一组新 数据,若将该组数据中相邻两数对换位置称 为一次对换,经过至少k 次对换得到最终数 据(y1,y2,…,yn),简记τ(k)。若用直线y= a+bx拟合点列Pi(xi,yi)(i=1,2,…,n),相 关系数r= ∑ n i=1 xiyi-n􀭵x􀭵y ∑ n i=1 x2i -n􀭵x2 ∑ n i=1 y2i -n􀭵y2 。 (1)已知一组数据(10,8,2,5,-1,4),若 剔除10,则经过τ(k1)后得到(8,5,4,2,-1) 拟合最佳;若剔除8,则经过τ(k2)得到(-1, 2,4,5,10)最佳。求k1+k2 的值。 (2)在一组互不相等的数的排列(a1, a2,…,an)中,定义在ai 的右边比其小的数 的个数称为ai 的逆序数。已知a1,a3 的逆序 数分别为n-1,n-3,剩余各数按相对顺序 从大到小排列。若经过τ(k)后将这n 个数 从小到大顺序排列,求k的所有可能取值。 (3)若剔除z1 后经过至少 m1 次对换 τ(m1)后得到拟合效果最佳,相关系数为r1。 剔除z2 后经过至少m2 次对换τ(m2)后得到 拟合效果最佳,相关系数为r2。若r1r2<0, 求证:m1+m2 为定值,并求出该定值。 解析:(1)剔除10后将(8,2,5,-1,4)经过 k1 次对换后得到(8,5,4,2,-1),可得k1=3。 剔除8后将(10,2,5,-1,4)经过k2 次 对换后得到(-1,2,4,5,10),可得k2=7。 所以k1+k2=10。 (2)因为a1 的逆序数为n-1,所以a1 必 为这n个数中的最大数,将a1 对换到末位需 要n-1次。 因为a3 的逆序数为n-3,所以a3 可能 是这n个数中第二大或者第三大的数。 若a3 是第二大的数,再将a3 对换到倒 数第二位需要n-3次对换,而后将其余各数 对换到相应位置分别需要n-3,n-2,…,1, 0次对换,所以k= n2-n-2 2 ; 若a3 是第三大的数,则a2 只能是第二 大的数,则各数对换到相应位置分别需要 n-2,n-3,…,1,0次对换,所以k= n2-n 2 。 综上所述,k= n2-n-2 2 或k= n2-n 2 。 (3)先证明排序不等式。 不妨假设a1<a2<…<an,b1<b2<… <bn,k1,k2,…,kn 是1,2,…,n的一个排列。 83 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2025年6月