内容正文:
独立的,所以每个人的化验次数 X
的分布列
如表4所示:
表4
X
1
10
11
10
P
(1-0.001)10
1-(1-0.001)10
故每个人化验次数X
的均值E(X)=
1
10
×(1-0.001)10+
11
10×
[1-(1-0.001)10]≈
0.11。
所以1
000个人的化验次数的均值为
1
000E(X)≈1
000×0.11=110。
所以第2种方法远好于第1种方法。
点评:随机变量ξ 的方差的意义在于描
述随机变量稳定与波动或集中与分散的状
况。若有两 个 随 机 变 量ξ1、ξ2,且 E(ξ1)=
E(ξ2)或E(ξ1)与E(ξ2)比较接近时,我们常
用D(ξ1)与 D(ξ2)来比较这两个随机变量。
若方差值大,则表 明ξ 较 为 离 散;若 方 差 值
小,则表明ξ较为集中。在实际问题中,仅靠
均值还不能完全说明随机变量的分布特征,
还必须研究其偏离平均值的离散程度,即方
差的大小问题。
其实,利用样本的数字特征解决有关决
策的问题就是根据提取的数据,建立相应的
概率模型,然后利用概率知识求出样本的数
字特征———均值、方差等,通过比较得到最优
方案,从而解决问题。随机变量的均值与方
差反映了随机变量取值的平均水平与离散程
度,该模块的知识往往与生产、生活中的问题
相联系,因此必须从实际问题的情景中抽象
出概率模型,然后运用这个模型和相关知识
来求解问题。 (责任编辑 王福华)
■江苏省沭阳高级中学 武 洲
概率综合应用问题,往往是基于一些常
见的概率分布模型的场景来巧妙设置,进而
全面考查概率的基础知识及其应用。而常见
的概率分布模型主要包括超几何分布、二项
分布、正态分布这“三大”类型,相互之间有其
独特的概念、特征性质与计算公式等,正确识
别并判断这“三大”概率分布类型,结合相应
的概念、性质、公式来分析与解决问题,从而
实现概率问题的突破与应用。
一、超几何分布
超几何分布概率模型,其实质就是古典
概型中的不放回抽样模型,经常用于一些产
品抽检、摸球应用等问题。需要注意的是:在
超几何分布中,随机变量为抽到的某类个体
的个数。
例 1 在心理研究与应用过程中,心理
暗示有时起着一定的作用。在试验中,将参
加的志愿者随机分成两种,分别接受甲、乙两
种不同的心理暗示,借此加以对比与分析。
现有6名男志愿者A1,A2,…,A6,4名女志
愿者B1,B2,B3,B4,从中各随机抽取5人接
受甲、乙两种不同的心理暗示。
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中不
包含A1 但包含B1 的概率;
(2)记接受乙种心理暗示的女志愿者人
数为随机变量X,试确定X 的分布列;
(3)记接受甲种心理暗示的女志愿者人
数为随机变量Y,求E(Y)。
解析:(1)记事件C=“接受甲种心理暗
示的志愿者中不包含 A1,但包含B1”,则有
P(C)=
C48
C510
=
5
18
。
(2)由题意可知,随机变量 X 的可能取
值为0,1,2,3,4。
结合超几何分布可知P(X=0)=
C56
C510
=
1
42
,P(X=1)=
C46C14
C510
=
5
21
,P(X=2)=
C36C24
C510
=
10
21
,P(X=3)=
C26C34
C510
=
5
21
,P(X=4)=
81
解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2025年6月
C16C44
C510
=
1
42
。
所以X 的分布列为表1。
表1
X 0 1 2 3 4
P 142
5
21
10
21
5
21
1
42
(3)由(2)可知E(X)=0×
1
42+1×
5
21+
2×
10
21+3×
5
21+4×
1
42=2
。
因为共有4名女志愿者,所以Y=4-
X,则有E(Y)=4-E(X)=2。
点评:解决超几何分布模型问题时,要充
分理解并掌握解题的“三步骤”:①验证关,正
确判断题设条件中的随机变量服从超几何分
布;②计算关,结合超几何分布中相关参数的
确定,并结合对应的概率公式来计算与应用;
③列表关,以表格的形式列出对应的超几何
分布,必要时再根据均值或方差的定义进行
求解。
二、二项分布
二项分布概率模型主要用于解决涉及独
立重复试验等的概率问题,问题所考虑的试
验往往可以看成一个结果只有A 与A 两种
状态的试验的n 次独立重复。需要注意的
是:在二项分布中,借助独立重复试验概率公
式往往可以简化求解相应概率的过程。
例 2 某学校为了提升学生学习数学
的兴趣,举行了“趣味数学”闯关比赛,每轮比
赛从10道题中任意抽取3道题回答,每答对
一道题积1分。已知小明同学能答对10道
题中的6道题。
(1)求小明同学在一轮比赛中所得积分
X 的分布列和均值。
(2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2
分才视为闯关成功,若参赛者每轮闯关成功
的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立。
试问:小明同学在5轮闯关比赛中,需闯关成
功几次才能使得对应概率取值最大?
解析:(1)由题意知,在一轮比赛中所得积
分变量X 的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)
=
C06C34
C310
=
1
30
,P(X=1)=
C16C24
C310
=
3
10
,P(X=2)=
C26C14
C310
=
1
2
,P(X=3)=
C36C04
C310
=
1
6
。
所以X 的分布列为表2。
表2
X 0 1 2 3
P 130
3
10
1
2
1
6
所以E(X)=0×
1
30+1×
3
10+2×
1
2+
3×
1
6=
9
5
。
(2)方法一(直接法):参赛者在一轮比赛
中至少积2分才视为闯关成功,则闯关成功
的概率p=
1
2+
1
6=
2
3
。
小明同学在5轮闯关比赛中,记闯关成
功的次数为Y,则Y~B 5,
2
3 。
故P(Y=k)=Ck5×
2
3
k
× 13
5-k
(k=
0,1,…,5)。
所以随机变量Y 的分布列为表3。
表3
Y 0 1 2 3 4 5
P 1243
10
243
40
243
80
243
80
243
32
243
由表3可知,小明同学在5轮闯关比赛
中,需闯关成功3次或4次才能使得对应概
率取值最大。
方法二(不等式法):参赛者在一轮比赛
中至少积2分才视为闯关成功,则闯关成功
的概率p=
1
2+
1
6=
2
3
。
小明同学在5轮闯关比赛中,记闯关成
功的次数为Y,则Y~B 5,
2
3 。
故P(Y=k)=Ck5×
2
3
k
× 13
5-k
(k=
0,1,…,5)。
假设当Y=k
时,对应概率取值最大,则
Ck-15 ×
2
3
k-1
× 13
6-k
≤Ck5 ×
2
3
k
×
91
解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2025年6月
1
3
5-k
≥Ck+15 ×
2
3
k+1
× 13
4-k
,解得3≤
k≤4。
而P(Y=3)=P(Y=4)=
80
243
,故小明
同学在5轮闯关比赛中,需闯关成功3次或4
次才能使得对应概率取值最大。
点评:在解决二项分布的应用问题时,关
键在于正确确定随机变量服从二项分布。而
确定随机变量服从二项分布的关键在于充分
理解对应的概念及问题的应用场景,需要从
以下三个方面来切入与判断:①概率的相同
性;②事件的独立性;③试验的对立性。
三、正态分布
正态分布概率模型主要用于解决涉及生
产、科研和日常生活中一类诸多相互独立的
偶然因素各自的作用是均匀和细微的,而对
事件整体往往产生综合的“累积”效果的随机
现象问题。需要注意的是:在正态分布中,经
常借助正态分布密度曲线的对称性来研究相
关的概率模型问题。
例 3 “网购”已经成为网络时代的一
个代名词。随机在市场中选取100个丑橘购
物群,根据过年前后这一销售旺季的销售情
况进行数据统计,对应的销售数量情况如表
4所示(销售数量在100箱到600箱之间):
表4
销售数量(箱)
[100,
200)
[200,
300)
[300,
400)
[400,
500)
[500,
600]
购物群数量(个) a
18 a+8
a+20
18
(1)试确定常数a的值,并估计这100个
购物群中丑橘的销售总量的平均数(用各组
的组中值加以近似估计)。
(2)根据传统数据模型及其数据分析可
知,购物群销售的丑橘数量 X 服从正态分布
N(μ,σ2),其中的常数μ
为(1)中所对应的估
计这100个购物群中丑橘的销售总量的平均
数,同时σ2=12
100。若某丑橘产地的商会
为了进一步促进销售,全面提升“网购”效益,
对该地区的2
000个购物群进行适当奖励,
对销售的丑橘数量在[266,596](单位:箱)内
的“一级”购物群奖励200元,对销售的丑橘
数量在(596,600]内的“优质”购物群奖励
1
000元,对销售的丑橘数量在[100,266)内
的“二级”购物群不奖励。试问:该丑橘产地
的商会大约需要准备多少元奖励基金?
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤
μ+σ)≈0.682
7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈
0.954
5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997
3。
解析:(1)由题意得a+18+a+8+a+
20+18=100,解得a=12。
故平均数为
1
100×
(150×12+250×18+
350×20+450×32+550×18)=376(箱)。
(2)由题意得,μ=376,σ=110,且266=
376-110=μ-σ,596=376+220=μ+2σ。
故P(X>596)=P(X>μ+2σ)≈
1
2×
(1-0.954
5)≈0.022
8,所以“优质”购物群
约有2
000×0.022
8≈46(个)。
P(266≤X≤596)=P(μ-σ≤X≤μ+
2σ)≈
1
2×0.682
7+
1
2×0.954
5=0.818
6,
所以“一级”购物群约有2
000×0.818
6≈
1
637(个)。
所以需要资金为46×1
000+1
637×
200=373
400(元),故该丑橘基地大约需要
准备奖励基金373
400元。
点评:在解决正态分布的应用问题时,关键
在于把握正态分布所对应的正态曲线的基本性
质:①正态曲线的对称轴为x=μ;②正态分布
中的标准差为σ;③正态曲线中对应的概率问题
往往可以转化为3σ
特殊区间所对应的概率来
分析与处理。需要注意的是:在标准正态分布
中,对应直线x=0是其曲线的对称轴,两者之
间的图像及对应的概率等关于y轴对称。
其实,熟练理解并掌握超几何分布、二项
分布、正态分布这“三大”概率分布模型,根据
各自的概念与基本性质加以正确识别与判
断,并借助具体概率分布的特征与公式来分
析与解决,通过合理的数据处理与数据分析,
准确的数学运算,严谨的逻辑推理,可以全面
夯实数学“四基”,提升数学“四能”,从而促使
同学们养成良好的数学思维品质,培养数学
核心素养。 (责任编辑 王福华)
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解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2025年6月