20 聚焦统计问题中的常考题型-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■蒋荣荣 题型1:抽样方法 要掌握两种抽样方法,即简单随机抽样 和分层抽样。简单随机抽样包括抽签法和随 机数表法;分层抽样又叫按比例抽样,其抽样 比p= 样本容量n 总体容量N 。无论哪种抽样,抽到每 个个体都是等可能的。 例1 某 学 校 有 教 师200人,男 学 生 1200人,女学生1000人。现用分层随机抽 样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的 样本,若女学生一共抽取了80人,则n 的值 为 。 解:由分层随机抽样的抽样比得1000× n 200+1200+1000=80 ,解得n=192。 跟踪训练1:2022年北京冬奥会吉祥物 “冰墩墩”设计造型可爱,市场供不应求,某厂 的三个车间在一个小时共生产450个冰墩 墩,在出厂前要检查这批冰墩墩的质量,决定 采用分层随机抽样方法进行抽取,若从一、 二、三车间中抽取的冰墩墩数量分别为a,b, c,且满足a+c=2b,则第二车间生产的冰墩 墩的数量为 。 提示:由a+c=2b,结合抽样比得第二 车间生产的冰墩墩数量为 b a+b+c×450= b 3b×450=150 。 题型2:频率分布直方图及应用 频率分布直方图是高考的考查热点之 一,高考主要考查利用频率分布直方图计算 数字特征及事件的概率,进而作出相应判断。 例2 从某小学随机抽取100名同学,将 他们的身高(单位:cm)数据绘制成频率分布 直方图(如图1)。由图中数据可知a= 。 若从身高在[120,130),[130,140),[140, 150]三组的学生中,用分层随机抽样的方法 选取18人参加一项活动,则从身高在[140, 150]的学生中选取的人数为 。 图1 解:因为0.005×10+0.035×10+a× 10+0.02×10+0.01×10=1,所以a= 0.03。 设身高在[120,130),[130,140),[140, 150]三组的学生分别有x,y,z 人,则 x 100= 0.03×10,解得x=30。同理可得,y=20, z=10。故从[140,150]的学生中选取的人数 为 10 30+20+10×18=3 。 跟踪训练2:(多选题)对300名考生的数 学竞赛成绩进行统计,得到如图2所示的频 率分布直方图,则下列说法正确的是( )。 图2 A.a=0.01 B.成绩落在[80,90)的考生人数最多 C.成绩的中位数大于80 D.成绩的平均分落在[70,80)内 提示:由(a+0.02+0.035+0.025+a) ×10=1,解得a=0.01,A正确。由频率分 布直方图可知,成绩落在[70,80)的考生人数 最多,B错误。由频率分布直方图得[50,70) 的频率为(0.01+0.02)×10=0.3,[70,80) 的频率为0.035×10=0.35,所以成绩的中 位数位于[70,80)内,C错误。成绩的平均分 为x=55×0.01×10+65×0.02×10+75× 0.035×10+85×0.025×10+95×0.01× 74 经典题突破方法 高一数学 2025年6月 10=75.5,所以成绩的平均分落在[70,80) 内,D正确。应选AD。 题型3:数据的集中趋势和离散程度的 估计 解答这类问题,利用数字特征估计总体的 问题时,要认真审题,注意众数、中位数、平均 数、标准差、最大值的定义和意义的合理运用。 例3 甲、乙两位学生参加数学竞赛培 训,现分别从他们在培训期间参加的若干次 预赛成绩中随机抽取8次,记录如下: 甲:82,81,79,78,95,88,93,84。 乙:92,95,80,75,83,80,90,85。 (1)求甲成绩的80%分位数。 (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从 统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选 两个)考虑,你认为选派哪位学生参加合适? 请说明理由。 解:(1)把甲的成绩按照从小到大的顺序 排列可得:78,79,81,82,84,88,93,95。 因为8×80%=6.4(不是整数),所以甲 成绩的80%分位数是第7个数据93。 (2)由平均数的定义易得x甲=85,x乙= 85。s2甲= 1 8 [(78-85)2+(79-85)2+(81- 85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+ (93-85)2+(95-85)2]=35.5,s2乙= 1 8 [(75 -85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2 +(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95 -85)2]=41。因为x甲=x乙,s2甲<s2乙,所以 甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适。 跟踪训练3:从某项综合能力测试中抽 取100人的成绩,统计如表1所示,则这100 人成绩的标准差为 。 表1 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 提示:因为x= 100+40+90+60+10 100 = 3,所以s2= 1 n [(x1-x)2+(x2-x)2+…+ (xn-x)2]= 1 100 (20×22+10×12+30× 12+10×22)= 160 100= 8 5 ,所以s= 2 10 5 。 题型4:样本的百分位数 四分位数即为第25百分位数,第50百 分位数,第75百分位数,这三个百分位数把 一组由小到大排列后的数据分成四等份,因 此称为四分位数。由频率分布直方图求百分 位数时,一般采用方程的思想,设出第p 百分 位数,列出方程求解。 例4 某校排球社的同学为训练动作组 织了垫排球比赛,图3是根据排球社50位同 学的垫球个数画出的频率分布直方图,所有 同学垫球数都在5~40之间。估计垫球数的 样本数据的75%分位数是( )。 图3 A.17.5 B.18.75 C.27 D.28 解:垫球数在区间[5,25)内的人数占总 数的(0.01+0.01+0.04+0.06)×5× 100%=60%,垫球数在区间[5,30)内的人数 占总数 的(0.01+0.01+0.04+0.06+ 0.05)×5×100%=85%,所以75%分位数 位于区间[25,30)内,且25+5× 0.75-0.6 0.85-0.6 =28,所以估计垫球数的样本数据的75%分 位数是28。应选D。 跟踪训练4:某中学高一年级8名学生某 次考试的数学成绩(满分150分)分别为85, 90,93,99,101,103,116,130,则这8名学生 数学成绩的75%分位数为 。 提示:因为这组数据已经按照由小到大 的顺序排列,且8×75%=6,所以这8名学生 数学成绩的75%分位数为第6个数与第7个 数的平均数,即为103+116 2 =109.5 。 作者单位:广西壮族自治区桂林市第十八中学 (责任编辑 郭正华) 84 经典题突破方法 高一数学 2025年6月