1.1 直线的斜率与倾斜角（讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线与方程”第一章核心知识点，系统梳理直线倾斜角的定义及取值范围，斜率的概念（k=tana）与坐标公式，构建倾斜角与斜率的对应关系，形成从几何直观到代数表达的学习支架，为后续直线方程及位置关系学习奠定基础。 资料通过“特别提醒”“易错提醒”强化概念理解，结合不同地区阶段检测题设计随学随练与题型分类，培养学生用数学眼光观察倾斜程度，用数学思维推理斜率变化规律，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

第一章 直线与方程 1.1 直线的斜率与倾斜角 课标要点 1.理解倾斜角、斜率定义，掌握倾斜角取值范围，清楚倾斜角与斜率的对应存在关系。 2.熟记斜率两点计算公式与k=tana关系式，熟练完成倾斜角和斜率的互算。 3.体会解析几何坐标思想，能用斜率描述直线倾斜程度，夯实后续直线相关知识基础。 学习重难点 重点： 1.倾斜角、斜率的概念与取值范围。 2.两点求斜率公式的运用。 3.倾斜角与斜率之间的转化运算。 难点： 1.倾斜角为 90° 时斜率不存在的理解。 2.倾斜角在钝角区间时正切值与角度的对应关系。 3.结合图像判断斜率大小与倾斜角变化规律。 知识点 直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的___________. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.. 特别提醒 直线倾斜角以 x 轴正向为始边，绕交点逆时针转到直线向上方向形成的最小正角，范围是(0≤a≤1800)。直线与 x 轴重合时倾斜角为(00)，垂直 x 轴时倾斜角为(900)，不存在大于等于平角的倾斜角，每条直线有唯一倾斜角，用来定量刻画直线的倾斜程度。 易错提醒 易误将倾斜角范围记成(0≤a≤1800)；钝角倾斜角易错取正切正值；垂直 x 轴直线有倾斜角但无斜率，容易遗漏该特殊情况；两点求斜率时分母为零对应倾斜角 90°，切勿强行套用斜率公式计算，做题需优先判断分母是否为零。 教材延伸 由倾斜角引出斜率(k=tana)，搭建几何角度与代数数值的桥梁。结合正切单调性可分析倾斜角变化时斜率的增减规律，也可推导两点斜率公式。该内容是直线方程、位置关系判定的基础，也是解析几何数形结合思想的典型入门应用。 随学随练 1．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26高一下·吉林松原·期末）过两点的直线的倾斜角为，求的值为______． 知识点 直线的斜率（重点） 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即__________ （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率__________. 特别提醒 斜率依托倾斜角定义为 k=tana，仅在倾斜角不等于 90° 时存在，垂直 x 轴的直线只有倾斜角、没有斜率，不可强行套用公式计算。使用两点式斜率公式时，两点横坐标不能相等，分子分母差值顺序要对应一致，避免符号出错。锐角倾斜角斜率为正，钝角倾斜角斜率为负，倾斜角增大时斜率并非单调递增，90° 附近会出现正负突变。斜率是直线倾斜程度的量化代数表达，也是判断两直线平行、垂直的重要依据，解题需先判断斜率是否存在再运算。 随学随练 1．（24-25高二上·天津滨海新区·期末）若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为______. 2．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为________. 3．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）求经过两点，的直线l的斜率． 知识点 斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 随学随练 1．（25-26高一下·吉林松原·期末）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为______． 2．（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东·阶段检测）已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点 直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序__________，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 特别提醒 斜率坐标公式使用时，两点横坐标不可相等，否则分母为零，斜率不存在，对应直线垂直 x 轴。分子与分母的坐标差值顺序必须同步调换，不可前后乱序，防止符号出错。选取两点无先后之分，代入结果一致。计算前先观察坐标特征，钝角倾斜角算出斜率为负值。该公式适用于所有存在斜率的直线，是解析几何运算基础，代入数值务必细心核对正负，避免基础计算失误。 随学随练 1．（25-26高二上·广西钦州·开学考试）（多选）下列三点在同一条直线上的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高二上·福建三明·期中）若经过两点和的直线的倾斜角为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高二上·山东临沂·期中）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 拓展 直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 活学活用 1．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）若图中直线，，的斜率分别为，，，则（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 3．（25-26高二下·上海·期末）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 拓展 斜率公式的用途 （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 活学活用 1．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海·期末）设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 3．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则的取值范围是________． 拓展 两直线平行与垂直的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则．反之，若，则． 两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为．若，则． 活学活用 1．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知三点共线，则实数的值为______. 2．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）（多选）下列叙述错误的是（   ） A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知直线经过两点，直线的倾斜角为，若与平行，则（　　） A． B．2 C．3 D．6 题型 直线的倾斜角与斜率定义 解题贴士 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角． （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度． （3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． （4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． ▌例1（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知直线的斜率为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高三下·浙江·开学考试）已知直线的方程为，则该直线的斜率为（    ） A． B． C．2 D． ▌对点练1-1．（25-26高二下·浙江·开学考试）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26高一上·河北邯郸·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 题型 斜率与倾斜角的变化关系 解题贴士 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． ▌例1（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 ▌例2（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（24-25高二上·天津红桥·阶段检测）若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． ▌对点练1-2（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 已知两点求斜率、已知斜率求参数 解题贴士 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如）． 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． ▌例1（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . ▌例2（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高二上·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为___________． ▌对点练1-3（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 题型 直线与线段相交关系求斜率范围 解题贴士 直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． ▌例1（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. ▌对点练1-1（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型 直线平行 解题贴士 判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）． 判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合． ▌例1（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 ▌例2（25-26高二上·广东清远·期末）（多选）已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 ▌对点练1-1（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 ▌对点练1-2（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）（多选）下列直线与直线平行的有（    ） A．直线经过点，直线过点 B．直线经过点，直线过点 C．直线经过点，直线的倾斜角为且过原点 D．直线经过点，直线的斜率为0 ▌对点练1-3（24-25高二上·贵州六盘水·期中）（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 题型 直线垂直 解题贴士 利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想． ▌例1（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 ▌例2（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 ▌对点练1-1（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）下列说法中不正确的有（   ） A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率之积等于，则两直线垂直 C．过点且斜率为1的直线方程可表示为： D．直线倾斜角的范围是：，且当倾斜角增大时，斜率也增大 ▌对点练1-2（22-23高二下·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3（25-26高二·青海西宁·期中）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 基础通关 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）直线的倾斜角等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线的倾斜角为，则“直线的斜率”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 6．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 7．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知直线l：，则直线l的倾斜角为（   ） A．120° B．60° C．30° D．150° 8．（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） A． B． C．2 D． 9．（25-26高二上·广东广州·期末）经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（    ） A． B．2 C． D．6 10．（25-26高二上·山西晋城·期末）若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 素养提升 1．（25-26高二上·上海·期末）平面直角坐标系内，直线和上分别取点和，这三个点和原点可以围成一个正方形，则直线的斜率为__________. 2．（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南常德·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 迁移创新 1．（24-25高二上·江苏苏州·期中）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如下图是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为16m.最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（【常考压轴题】（苏教版2019选择性必修第一册））已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则___________. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 直线与方程 1.1 直线的斜率与倾斜角 课标要点 1.理解倾斜角、斜率定义，掌握倾斜角取值范围，清楚倾斜角与斜率的对应存在关系。 2.熟记斜率两点计算公式与k=tana关系式，熟练完成倾斜角和斜率的互算。 3.体会解析几何坐标思想，能用斜率描述直线倾斜程度，夯实后续直线相关知识基础。 学习重难点 重点： 1.倾斜角、斜率的概念与取值范围。 2.两点求斜率公式的运用。 3.倾斜角与斜率之间的转化运算。 难点： 1.倾斜角为 90° 时斜率不存在的理解。 2.倾斜角在钝角区间时正切值与角度的对应关系。 3.结合图像判断斜率大小与倾斜角变化规律。 知识点 直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.. 特别提醒 直线倾斜角以 x 轴正向为始边，绕交点逆时针转到直线向上方向形成的最小正角，范围是(0≤a≤1800)。直线与 x 轴重合时倾斜角为(00)，垂直 x 轴时倾斜角为(900)，不存在大于等于平角的倾斜角，每条直线有唯一倾斜角，用来定量刻画直线的倾斜程度。 易错提醒 易误将倾斜角范围记成(0≤a≤1800)；钝角倾斜角易错取正切正值；垂直 x 轴直线有倾斜角但无斜率，容易遗漏该特殊情况；两点求斜率时分母为零对应倾斜角 90°，切勿强行套用斜率公式计算，做题需优先判断分母是否为零。 教材延伸 由倾斜角引出斜率(k=tana)，搭建几何角度与代数数值的桥梁。结合正切单调性可分析倾斜角变化时斜率的增减规律，也可推导两点斜率公式。该内容是直线方程、位置关系判定的基础，也是解析几何数形结合思想的典型入门应用。 随学随练 1．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率（直线的倾斜角）求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率是，所以， 又因为，所以，即直线的倾斜角为． 故选：C 2．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 3．（25-26高一下·吉林松原·期末）过两点的直线的倾斜角为，求的值为______． 【答案】． 【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出的值． 【详解】解：因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率， 又，整理得， 解得或， 当时，，不符合， 当时，，符合， 综上：． 故答案为： 知识点 直线的斜率（重点） 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在. 特别提醒 斜率依托倾斜角定义为 k=tana，仅在倾斜角不等于 90° 时存在，垂直 x 轴的直线只有倾斜角、没有斜率，不可强行套用公式计算。使用两点式斜率公式时，两点横坐标不能相等，分子分母差值顺序要对应一致，避免符号出错。锐角倾斜角斜率为正，钝角倾斜角斜率为负，倾斜角增大时斜率并非单调递增，90° 附近会出现正负突变。斜率是直线倾斜程度的量化代数表达，也是判断两直线平行、垂直的重要依据，解题需先判断斜率是否存在再运算。 随学随练 1．（24-25高二上·天津滨海新区·期末）若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为______. 【答案】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系计算可得. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以该直线的斜率. 故答案为： 2．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为________. 【答案】 【分析】根据直线方向与直线斜率的关系进行求解即可. 【详解】因为直线l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率为， 故答案为： 3．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）求经过两点，的直线l的斜率． 【答案】答案见解析 【分析】由斜率的概念以及过两点的斜率公式可直接求解，注意讨论斜率不存在的情况. 【详解】当，即时，直线l垂直于x轴，其斜率不存在； 当，即时，直线l的斜率． 知识点 斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 随学随练 1．（25-26高一下·吉林松原·期末）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用斜率的两点公式及已知得，结合正切函数的图象及倾斜角的范围确定直线的倾斜角的取值范围. 【详解】若直线的倾斜角为，则且，如下图示，    由图知，直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为： 2．（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 3．（24-25高二上·广东·阶段检测）已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据斜率公式求出斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意，     因为，所以，所以， 所以，即， 所以， 即直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D． 知识点 直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 特别提醒 斜率坐标公式使用时，两点横坐标不可相等，否则分母为零，斜率不存在，对应直线垂直 x 轴。分子与分母的坐标差值顺序必须同步调换，不可前后乱序，防止符号出错。选取两点无先后之分，代入结果一致。计算前先观察坐标特征，钝角倾斜角算出斜率为负值。该公式适用于所有存在斜率的直线，是解析几何运算基础，代入数值务必细心核对正负，避免基础计算失误。 随学随练 1．（25-26高二上·广西钦州·开学考试）（多选）下列三点在同一条直线上的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BCD 【分析】根据各项的坐标，应用两点斜率公式判断点是否共线即可. 【详解】A：，故三点不共线，错； B：，故三点共线，对； C：三点的横坐标都相等，斜率不存在，故三点共线，对； D：三点的纵坐标都相等，斜率为0，故三点共线，对. 故选：BCD 2．（24-25高二上·福建三明·期中）若经过两点和的直线的倾斜角为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用倾斜角与斜率间的关系及过两点的斜率公式，即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又因为直线经过两点和，因此，解得， 故选：B． 3．（20-21高二上·山东临沂·期中）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：A. 拓展 直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 活学活用 1．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）若图中直线，，的斜率分别为，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线、、的倾斜角分别为，，， 由已知为钝角，为锐角， 所以，即． 综上， 故选：D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 3．（25-26高二下·上海·期末）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 【答案】或 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】的斜率为，所以其倾斜角为， 如图，直线恒过点,若直线与直线的夹角为， 则的倾斜角为或者，所以斜率为或．    拓展 斜率公式的用途 （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 活学活用 1．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线过定点，再利用过定点的直线与两点的斜率，结合图象可得到斜率范围，从而可确定倾斜角范围. 【详解】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交，由题意设直线的斜率为或． 由于在及上均单调递增， 直线的倾斜角的范围为． 故选:C． 2．（25-26高二上·上海·期末）设常数，若直线与直线的夹角为，则______. 【答案】或 【分析】分别设出两直线的倾斜角，根据斜率公式列出方程即可求解. 【详解】依题意，设直线与直线的倾斜角分别为，则； 又，所以； 又直线与直线的夹角为， 所以当时， ，即，此时直线的斜率不存在，即； 所以当时， ，即，解得；所以，即，解得； 综上，或. 故答案为：或. 3．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】将看成是平面直角坐标系中点与点连线的斜率，然后根据的范围求出斜率的范围，进而得出结果. 【详解】表示平面直角坐标系中点与点连线的斜率， 其中点在直线的的部分上，点在线段上， 取点，点的坐标为时，直线的斜率为， 当时，直线的斜率小于0且趋近于0， 所以的取值范围是． 故答案为：. 拓展 两直线平行与垂直的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则．反之，若，则． 两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为．若，则． 活学活用 1．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知三点共线，则实数的值为______. 【答案】4 【分析】根据A，B，C三点共线可得，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可. 【详解】因为三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为：. 2．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）（多选）下列叙述错误的是（   ） A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 【答案】BCD 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，逐项判断各项的正误即可. 【详解】对于A，与轴垂直的直线的倾斜角为，与轴垂直的直线的倾斜角为， 所以与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故A正确； 对于B：由于直线倾斜角的取值范围是， 因此不在此范围内时不是直线的倾斜角， 如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故B错误； 对于C，设直线的倾斜角为， 当，斜率，当，斜率，故C错误； 对于D，若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，故D错误. 故选：BCD. 3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知直线经过两点，直线的倾斜角为，若与平行，则（　　） A． B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据A，B两点坐标得出的斜率，根据直线的倾斜角为得出的斜率，由与平行得出，可解出. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率． 与平行， ，即， 解得． 故选：D. 题型 直线的倾斜角与斜率定义 解题贴士 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角． （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度． （3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． （4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． ▌例1（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知直线的斜率为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，故. ▌例2（25-26高三下·浙江·开学考试）已知直线的方程为，则该直线的斜率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题知，所以直线的斜率为． ▌对点练1-1．（25-26高二下·浙江·开学考试）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得. 所以直线的斜率为. 设直线的倾斜角为 ，则. 所以. ▌对点练1-2．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系即可得解. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为, 则， 又，所以， 即直线的倾斜角为. 故选：C. ▌对点练1-3．（25-26高一上·河北邯郸·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的方程可得其斜率，利用倾斜角与斜率间的关系即可求解. 【详解】依题意，设直线的倾斜角为，由直线可得直线的斜率为； 又，所以，即直线的倾斜角为； 故选：C. 题型 斜率与倾斜角的变化关系 解题贴士 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． ▌例1（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】. ▌例2（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率计算公式，列出不等式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为锐角， 所以斜率，所以. 即的取值范围是. ▌对点练1-1（24-25高二上·天津红桥·阶段检测）若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由直线倾斜角的范围再结合正切函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】当时，，所以； 当时，，即； 所以的取值范围是. ▌对点练1-2（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. ▌对点练1-3（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程可得直线的斜率，再根据斜率的定义结合正切函数的性质运算求解. 【详解】因为直线，即的斜率， 又因为，且，所以. 故选：A. 题型 已知两点求斜率、已知斜率求参数 解题贴士 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如）． 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． ▌例1（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 【答案】 【详解】因为直线l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率为 ▌例2（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. ▌对点练1-1（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线经过两点，得直线的斜率， 则直线的倾斜角，直线的倾斜角为， 所以的斜率为. ▌对点练1-2（25-26高二上·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为___________． 【答案】/ 【详解】∵，∴， 设过的直线的倾斜角为，则，∴． ▌对点练1-3（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，整理得，解得. 题型 直线与线段相交关系求斜率范围 解题贴士 直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． ▌例1（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. ▌例2（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据直线绕原点旋转且线段有公共点，再结合数形结合可得斜率的范围. 【详解】因为直线恒过点，且. 由图可知，直线与线段有公共点，所以，即. 故答案为：. ▌对点练1-1（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D ▌对点练1-2（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 题型 直线平行 解题贴士 判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）． 判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合． ▌例1（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】由两直线的斜率关系判断. 【详解】由题意， 所以，且经过不在的点， 所以. ▌例2（25-26高二上·广东清远·期末）（多选）已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 【答案】AC 【分析】A选项，由两点斜率公式得到A正确；B选项，得到直线的斜率，从而得到直线的倾斜角；C选项，由中点坐标公式可得C正确；D选项，得到与不平行，D错误. 【详解】A选项，直线的斜率为，A正确； B选项，直线的斜率为，故直线的倾斜角不为，B错误； C选项，线段的中点坐标为，C正确； D选项，，显然，故与不平行， 故四边形不是平行四边形，D错误. 故选：AC ▌对点练1-1（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. ▌对点练1-2（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）（多选）下列直线与直线平行的有（    ） A．直线经过点，直线过点 B．直线经过点，直线过点 C．直线经过点，直线的倾斜角为且过原点 D．直线经过点，直线的斜率为0 【答案】AC 【分析】根据两直线平行的条件逐项判断即可. 【详解】对于A： ，所以. 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 所以直线与直线平行，所以A正确； 对于B： ，所以. 所以直线与直线不平行，所以B错误； 对于C： ，直线的斜率为，所以. 直线的方程为，即， 直线的方程为，此时两直线平行，所以C正确； 对于D： 直线的方程为，直线与轴平行或重合， 此时两直线垂直，不平行，所以D错误. 故选：AC. ▌对点练1-3（24-25高二上·贵州六盘水·期中）（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 【答案】（1）三点在同一直线上； （2）与互相垂直 【分析】（1）计算可得，可得结论； （2）计算可得，可得结论. 【详解】（1）因为，，， 所以，又直线均过点， 所以点三点在同一条直线上； （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过，两点，所以， 所以，所以与互相垂直. 题型 直线垂直 解题贴士 利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想． ▌例1（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】利用两直线的位置关系求解. 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C ▌例2（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】D 【分析】根据两直线的斜率关系判断即可. 【详解】因为直线经过点和，所以直线的斜率， 又直线的斜率，且， 所以与相交但不垂直. 故选：D ▌对点练1-1（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）下列说法中不正确的有（   ） A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率之积等于，则两直线垂直 C．过点且斜率为1的直线方程可表示为： D．直线倾斜角的范围是：，且当倾斜角增大时，斜率也增大 【答案】ACD 【分析】由两直线的位置关系即可判断AB，由直线的点斜式方程即可判断C， 由直线倾斜角与斜率的关系即可判断D. 【详解】对于A，若两直线平行，则两直线的斜率可能不存在，故A错误； 对于B，若两直线的斜率之积等于，则两直线垂直，故B正确； 对于C，过点且斜率为1的直线方程为，而方程中，故C错误； 对于D，直线倾斜角的范围是：， 当时， 倾斜角增大时，斜率也增大；当时，斜率不存在； 当时，倾斜角增大时，斜率也增大.故D错误. 故选：ACD. ▌对点练1-2（22-23高二下·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线的斜率，再结合直线垂直的性质，即可求解． 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率，由，得， 所以，即，又，则， 所以直线的倾斜角为． 故选：B． ▌对点练1-3（25-26高二·青海西宁·期中）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故选：A. 基础通关 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点，可得直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以，解得. 2．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）直线的倾斜角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：由倾斜角的定义知：直线的倾斜角等于. 3．（25-26高二上·云南保山·期末）已知直线的倾斜角为，则“直线的斜率”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由直线的斜率，得，则或， 又，解得或； 反之当时，，则直线的斜率， 所以“直线的斜率”是“”的必要不充分条件. 4．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率计算公式以及斜率和倾斜角关系即可求解. 【详解】由斜率公式得，所以直线l的倾斜角为． 故选：D. 5．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【分析】根据斜率公式可得关于m的方程，求解可得实数的值. 【详解】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得， 即，解得. 故答案为：. 6．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】应用两点得出直线斜率，再根据方向向量得出斜率，最后列式求参数. 【详解】经过两点的直线斜率为， 又因为直线的方向向量为，则直线斜率为， 所以，即. 故选：C. 7．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知直线l：，则直线l的倾斜角为（   ） A．120° B．60° C．30° D．150° 【答案】D 【分析】求出斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求出. 【详解】可化为， 设直线l的倾斜角为，则，得， 故直线l的倾斜角为. 故选：D 8．（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】不妨设直线的倾斜角为，则直线的斜率分别为，由得到，由，得到的方程，计算得解. 【详解】不妨设直线的倾斜角为， 则直线的斜率分别为， ，， 又，，即． 又，， 化简得， 解得（负值舍去）． 故选：D. 9．（25-26高二上·广东广州·期末）经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系可求出t的值. 【详解】由题意，，则. 故选：C 10．（25-26高二上·山西晋城·期末）若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求出. 【详解】因为直线经过两点，，、则直线斜率， 设直线的倾斜角为，即， 因为，所以. 故选：B. 素养提升 1．（25-26高二上·上海·期末）平面直角坐标系内，直线和上分别取点和，这三个点和原点可以围成一个正方形，则直线的斜率为__________. 【答案】或 【分析】设，，，根据题意可得，求出，再验证点存在，即可求出答案. 【详解】设，，， 则，， 由题意知，即， 解得或， 当时，，， 当时，，此时四边形为正方形，符合题意， 此时直线的斜率为； 当时，，， 当时，，此时四边形为正方形，符合题意， 此时直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率为或. 故答案为：或. 2．（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量得出斜率，再根据斜率的范围得出倾斜角的范围. 【详解】直线的方向向量， 所以斜率为，， 则， 则倾斜角的取值范围是. 故选：C. 3．（24-25高二上·湖南常德·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，可得倾斜角，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解． 【详解】当时，直线的方程为，此时倾斜角， 当时，由直线方程可得斜率， 因为且， 所以，即， 又，所以， 综上， 故选：D 迁移创新 1．（24-25高二上·江苏苏州·期中）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如下图是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为16m.最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用已知长度可分别计算，，再利用斜率的定义可解. 【详解】解：如图，以为原点建系， 根据题意，最短拉索的锚，满足，， 且均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为， 则，即点， 同理， 又，即点， 所以，， 即最长拉索所在直线的斜率为. 故选：B. 2．（【常考压轴题】（苏教版2019选择性必修第一册））已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则___________. 【答案】 【分析】根据已知条件易得四边形为正方形，再由是以角为顶角的等腰三角形得到必为边的中点，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得和，再利用同角三角函数的基本关系和诱导公式得到答案即可. 【详解】由题中条件可得，，且不重合， 所以，，所以四边形为平行四边形， 如图，连接， 由两点间距离公式得，所以平行四边形为菱形， 因为，所以，所以菱形为正方形， 因为为边的中点，是以角为顶角的等腰三角形， 所以必为边的中点，则，， 所以， 由题意得，所以，因为， 解得，(负根舍去)，直线与轴垂直， 则，所以. 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $