19 必修二数学宝藏：典型题型深度剖析-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■戴俊芳1 桂金龙2 同学们,高中数学必修第二册可是充满 挑战与机遇的知识宝库,其中的典型题型就 像一把把钥匙,能帮助我们开启数学智慧的 大门。下面让我们通过具体例题,深入探索 这些有趣的知识吧! 一、平面向量问题 例1 如图1所示,在△ABC 中,AE→= 2AB→,BM→=2MC→,若AF→=xAC→,且E,M,F 三点共线,则x=( )。 图1 A. 2 3 B. 3 4 C. 4 5 D. 5 6 分析:利用平面向量基本定理,结合三点 共线的性质列方程求参数的值。 解:因为BM→=2MC→,所以 AM→=13AB → + 2 3AC →。因 为 E,M,F 三 点 共 线,所 以 AM→=λAE→+μAF→,且λ+μ=1,所以 1 3AB → + 2 3AC →=2λAB→+xμAC→,所以2λ= 1 3 ,xμ= 2 3 。由2λ= 1 3 ,结合λ+μ=1,可得λ= 1 6 , μ= 5 6 ,所以x= 4 5 。应选C。 评注:本题主要考查平面向量基本定理 与三点共线的性质。 二、立体几何问题 例2 如图2,在四棱锥 P-ABCD 中, AD∥BC,AD⊥DC,BC=CD= 1 2AD=1 ,E 为AD 的中点,PA⊥平面ABCD。 图2 (1)求证:CE∥平面PAB。 (2)求证:平面PAB⊥平面PBD。 (3)若二面角P-CD-A 的大小为45°,求 点A 到平面PBD 的距离。 分析:由四边形 ABCE 为平行四边形, 可得AB∥CE,从而可得线面平行;由四边形 BCDE 为菱形,可得BD⊥CE,从而可得BD ⊥AB,再 由 PA ⊥BD,可 得 BD ⊥ 平 面 PAB,从而可得面面垂直;由∠PDA 为二面 角P-CD-A 的平面角,可求出 PA 的长,再 利用等体积法求出点到平面的距离。 解:(1)因为AD∥BC,BC=CD= 1 2AD =1,E 为AD 的中点,所以BC=AE,所以四 边形ABCE 为平行四边形,所以AB∥CE。 又CE⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所 以CE∥平面PAB。 (2)因 为 AD⊥CD,AD∥BC,BC= CD= 1 2AD=1 ,E 为AD 的中点,所以BC =DE,所以四边形 BCDE 为正方形,所以 BD⊥CE。又因为AB∥CE,所以BD⊥AB。 由 PA ⊥ 平 面 ABCD,BD ⊂ 平 面 ABCD,可得 PA⊥BD。因为 PA∩AB= A,PA,AB⊂平面 PAB,所以 BD⊥平面 PAB。又BD⊂平面 PBD,所以平面 PAB ⊥平面PBD。 (3)由 PA ⊥ 平 面 ABCD,AB,AD, CD⊂平 面 ABCD,可 得 PA⊥CD,PA⊥ 54 经典题突破方法 高一数学 2025年6月 AD,PA⊥AB。已知AD⊥DC,PA∩AD= A,PA,AD⊂平面 PAD,所以 CD⊥平面 PAD。又PD⊂平面PAD,所以PD⊥CD。 结合 CD ⊥AD 知 ∠PDA 就 是 二 面 角 P-CD-A 的平面角,所以∠PDA=45°,所以 Rt△PAD 为等腰直角三角形,所以 PA= AD=2。由S△ABD= 1 2AD ·CD=1,BD= BC2+CD2 = 2,AB = AE2+BE2 = 2,可 得 PB= AB2+PA2 = 6。因 为 BD⊥平 面 PAB,PB⊂ 平 面 PAB,所 以 BD⊥PB,所以S△PBD= 1 2PB ·BD= 3。 设点 A 到 平 面 PBD 的 距 离 为 d,则 VP-ABD=VA-PBD,所以 1 3S△ABD ·PA= 1 3S△PBD · d,即 1 3×1×2= 1 3× 3d ,解得d= 23 3 ,所 以点A 到平面PBD 的距离为 23 3 。 评注:本题主要考查线面、面面平行与垂 直关系的证明,考查等体积法的灵活应用。 三、统计与概率问题 例3 袋中装有质地均匀、大小相同的 红球和白球共10个。现进行摸球游戏。 (1)若采取有放回的方式从袋中每次摸 出1个球,共摸球两次,至少有一次摸出白球 的概率是 21 25 。求袋中红球的个数。 (2)已知袋中有红球5个,从袋中每次摸 出1个球,若是红球则放回袋中,若是白球则 不放回袋中,求摸球三次共取出2个白球的 概率。 分析:设袋中有红球 m 个,利用对立事 件的概率,列出关于 m 的方程求得m 的值; “摸球三次共取出2个白球”分三类,求出每 一类的概率再求和。 解:(1)设袋中有红球m 个。 设事件A=“采取有放回的方式从袋中 每次摸出1个球为红球”,则P(A)= m 10 。设 事件B=“摸球两次,至少一次为白球”,则事 件B=“摸球两次,两次均 为 红 球”,所 以 P(B)=1-P(B)=1-P2(A)=1- m10 2 = 21 25 ,解得m=4,所以袋中红球有4个。 (2)设事件C=“摸球三次共取出2个白 球”,则三次摸球的可能情况为(白,白,红), (白,红,白),(红,白,白),所以P(C)= 5 10× 4 9× 5 8+ 5 10× 5 9× 4 9+ 5 10× 5 10× 4 9= 121 324 , 即摸球三次共取出2个白球的概率为 121 324 。 评注:本题涉及有放回、不放回摸球的概 率计算。解题的关键在于准确分析各种摸球 情况,在分类讨论时,要做到不重不漏。 四、复数问题 例4 (多选题)设z1,z2 为复数,则下列 结论正确的是( )。 A.|z1z2|=|z1||z2| B.若|z1|=|z2|,则z1·z1=z2·z2 C.若|z1|=|z2|,则z21=z22 D.“z1<z2”是“z1-z2<0”的充要条件 分析:利用复数的概念,复数模的性质进 行分析与判断。 解:由 复 数 模 的 性 质 可 知,|z1z2|= |z1|·|z2|,A正确。设z1=a+bi,z2=c+ di(a,b,c,d∈R),当|z1|=|z2|时,a2+b2= c2+d2。因为z1·z1=(a+bi)(a-bi)=a2 +b2,z2·z2=c2+d2,所以z1·z1=z2·z2, B正确。对于C,举反例,如z1=1+i,z2= 1-i,满足|z1|=|z2|= 2,但z21=(1+i)2= 2i,z22=(1-i)2=-2i,即z21≠z22,C错误。若 z1<z2,则z1,z2 都是实数,且z1-z2<0,即 充分性成立;当z1-z2<0时,如z1=1+i, z2=2+i,且z1-z2=-1<0,但z1,z2 不是 实数,无法比较大小,即必要性不成立。故 “z1<z2”是“z1-z2<0”的充分不必要条件, D不正确。应选AB。 评注:涉及复数的判断问题,不能忽略特 殊情况,同时要注意反例法的应用。 作者单位:1.安徽省蒙城县三义路中学 2.安徽省蒙城县王集乡中心学校 (责任编辑 郭正华) 64 经典题突破方法 高一数学 2025年6月