18 例析古典概型问题的三种解法-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■徐春生 一、枚举法 例1 市场监督管理局检测某种产品的 三个质量指标x,y,z,用综合指标Q=x+ y+z核定该产品的等级。若Q≤5,则核定 该产品为一等品。现从一批该产品中,随机 抽取10件产品作为样本,其质量指标如表1 所示。 表1 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,2)(2,2,2)(1,3,1)(1,2,3) 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,3,1)(3,2,1)(1,1,1)(2,1,1) (1)利用表中提供的样本数据,估计该批 产品的一等品率。 (2)在该样本的一等品中,随机抽取2件 产品,设事件B 为“在取出的2件产品中,每 件产品的综合指标均满足Q≤4”,求事件B 的概率。 解:(1)由题意计算10件产品的综合指 标Q,如表2所示。 表2 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 综合指标Q 4 5 6 5 6 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 综合指标Q 5 6 6 3 4 其中 Q≤5的为 A1,A2,A4,A6,A9, A10,共6件,所以该样本的一等品率为 6 10= 0.6,即估计该批产品的一等品率为0.6。 (2)在该样本的一等品中,随机抽取2件 产品的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A4}, {A1,A6},{A1,A9},{A1,A10},{A2,A4}, {A2,A6},{A2,A9},{A2,A10},{A4,A6}, {A4,A9},{A4,A10},{A6,A9},{A6,A10}, {A9,A10},共15种情况。 在该样本的一等品中,综合指标满足 Q≤4的产品编号分别为A1,A9,A10,则事件 B 发生的可能结果为{A1,A9},{A1,A10}, {A9,A10},共3种情况,所以P(B)= 3 15= 1 5 。 点评:对于一步或多步试验,当基本事件 总数较少时,采用枚举法把所有的基本事件 全部列举出来,再结合古典概型的概率求解。 二、列表法 例2 连续抛掷一枚质地均匀的正方体 骰子两次。 (1)求两次掷出的点数相等的概率。 (2)求两次掷出的点数之和为偶数的 概率。 解:连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰 子两次,得到的所有点数,如表3所示。 表3 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 由表3可知,此问题中含有36个等可能 的基本事件。 (1)设事件 A 为“两次掷出的点数相 等”,则事件A 包含的基本事件为(1,1),(2, 2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个,所以 P(A)= 6 36= 1 6 。 (2)设事件B 为“两次掷出的点数之和 为偶数”,则事件 B 包含的基本事件为(1, 1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3, 1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5, 34 经典题突破方法 高一数学 2025年6月 1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18 个,所以P(B)= 18 36= 1 2 。 点评:列表法是把总的基本事件按一定 顺序在坐标或表格中一一列出,这种方法对 掷骰子问题特别适用。 三、树状图法 例3 甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布” 游戏(剪刀赢布,布赢石头,石头赢剪刀),规 定每局中:①三人出现同一种手势,每人各得 1分;②三人出现两种手势,赢者得2分,输 者得负1分;③三人出现三种手势均得0分。 当有人累计得3分及以上时,游戏结束,得分 最高者获胜,已知三人之间及每局游戏互不 受影响。 (1)求甲在一局中得2分的概率P1。 (2)求游戏经过两局后,甲恰得3分且为 唯一获胜者的概率P2。 解:(1)由题意画出树状图,如图1所示。 图1 由图1可知,每局中共有27种情况。 甲在一局中得2分的情况(出手势顺序 按甲、乙、丙)为(剪刀,剪刀,布),(剪刀,布, 剪刀),(剪刀,布,布),(石头,石头,剪刀), (石头,剪刀,石头),(石头,剪刀,剪刀),(布, 布,石头),(布,石头,布),(布,石头,石头), 共9种,所以甲在一局中得2分的概率P1= 9 27= 1 3 。 (2)游戏经过两局后甲恰得3分且为唯 一获胜者的情况有两种: ①甲第一局得2分,第二局得1分,则乙 第一局得负1分,第二局得1分;丙第一局得 负1分,第二局得1分。 由图1知满足的情况(出手势顺序按甲、 乙、丙)为: 第一局:(剪刀,布,布),(石头,剪刀,剪 刀),(布,石头,石头)。 第二局:(剪 刀,剪 刀,剪 刀),(布,布, 布),(石头,石头,石头)。 此时概率为 3 27× 3 27= 1 81 。 ②甲第一局得1分,第二局得2分,则乙 第一局得1分,第二局得负1分;丙第一局得 1分,第二局得负1分。 由图1知满足的情况(出手势顺序按甲、 乙、丙)为: 第一局:(剪 刀,剪 刀,剪 刀),(布,布, 布),(石头,石头,石头)。 第二局:(剪刀,布,布),(石头,剪刀,剪 刀),(布,石头,石头)。 此时概率为 3 27× 3 27= 1 81 。 综上所述,游戏经过两局后甲恰得3分 且为唯一获胜者的概率P2= 1 81+ 1 81= 2 81 。 点评:树状图适用于较复杂问题中基本 事件的求解。 某工厂生产了一批节能灯泡,这批产品 中按质量分为一等品,二等品,三等品。从这 些产品中随机抽取一件产品测试,已知抽到 一等品或二等品的概率为0.86,抽到二等品 或三等品的概率为0.35,则抽到二等品的概 率为 。 提示:设抽到一等品,二等品,三等品分 别 为 事 件 A,B,C。 结 合 题 意 可 得 P(A)+P(B)=0.86, P(B)+P(C)=0.35, P(A)+P(B)+P(C)=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 P(B)= 0.21,即抽到二等品的概率为0.21。 作者单位:广东省汕头市澄海凤翔中学 (责任编辑 郭正华) 44 经典题突破方法 高一数学 2025年6月