17 复数的模的最值问题常见题型例析-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■全 乐 求复数的模的最值问题的途径:一是直 观化、熟悉化,即将复数问题转化为实数问题 来处理;二是发掘问题的几何意义,利用几何 图形的直观性来解决。 题型一:模的最值转化为不等式求解 例1 已知复数z1=a+bi,a∈R,b∈ R,b≠0,z2=z1+ 4 z1 ,且-2<z2≤1。 (1)求实数a的取值范围。 (2)若ω= z1-2 z1+2 ,求|z2-ω2|的最小值。 解:(1)由z1=a+bi得z2=z1+ 4 z1 = a+ 4a a2+b2 + b- 4ba2+b2 i。因 为 -2< z2≤1,所以z2 是实数,所以b= 4b a2+b2 。又 b≠0,所以a2+b2=4,所以z2=2a。 因为-2<z2≤1,所以-2<2a≤1,即 -1<a≤ 1 2 ,所以复数z1 的实部的取值范围 为 -1, 1 2 。 (2)由题设得ω= z1-2 z1+2 = a-2+bi a+2+bi= a2-4+b2+4bi (a+2)2+b2 = 4bi 8+4a= bi 2+a ,所以z2- ω2=2a- bi2+a 2 =2a+ b2 (a+2)2 。 由a2+b2=4,可 得 z2-ω2=2a+ 4-a2 (2+a)2 =2a+ 2-a 2+a= 4 2+a+2 (a+2)-5。 由a∈ -1, 1 2 ,可得a+2>0,所以当 4 2+a=2 (a+2),即a=-2+ 2时,z2-ω2 取得最小值42-5。 又42-5>0,故|z2-ω2|的最小值为 42-5。 题型二:模的最值转化为二次函数求解 例2 设a是实数,复数z1=1+2i,z2= (a+i)(1-i)(i是虚数单位)。 (1)若z2 在复平面内对应的点在第一象 限,求a的取值范围。 (2)求|z1+z2|的最小值。 解:(1)因为z2=(a+i)(1-i)=a+1+ (1-a)i,且z2 在复平面内对应的点在第一 象限,所以 a+1>0, 1-a>0, 解得-1<a<1。 (2)由z1=1+2i,可得z1=1-2i。因为 z1+z2=a+2-(a+1)i,所以|z1+z2|= (a+2)2+(a+1)2= 2a2+6a+5。所以 当a=- 3 2 时,|z1+z2|取得最小值为 2 2 。 题型三:模的最值转化为三角函数求解 例3 已知复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤ 2π),问θ为何值时,|1-i+z|取得最大值和 最小值,并求出最大值和最小值。 解:|1-i+z|=|cosθ+1+i(sinθ-1)| = (cosθ+1)2+(sinθ-1)2 = 2(cosθ-sinθ)+3 = 22cosθ+ π 4 +3。 因为0≤θ≤2π,所以当θ= 7π 4 时,|1- i+z|max= 22+3= (2+1)2= 2+1; 当θ= 3π 4 时,|1-i+z|min= -22+3= 14 经典题突破方法 高一数学 2025年6月 (2-1)2= 2-1。 题型四:模的最值转化为平面几何中的 最值求解 例4 (1)已知复数z 满足|z|=|z- (2+2i)|,则|z|的最小值是( )。 A.1 B.2 C.3 D.2 (2)已知复数z 满足|z+3i|=|z-i|, 则|z+1+2i|的最小值为( )。 A.1 B.3 C.3 D.5 解:(1)由复数模的几何意义可知,满足 |z|=|z-(2+2i)|的复数z 对应的点Z 在 以点O(0,0)和A(2,2)为端点的线段OA 的 垂直平分线l上。 因为线段 OA 的中点为B(1,1),所以 |z|的最小值就是原点O(0,0)到直线l的距 离,即为|OB|= 2。应选B。 (2)设复数z在复平面内对应的点为Z。 已知复数z满足|z+3i|=|z-i|,由复 数模的几何意义可知,点Z 到点(0,-3)和 (0,1)的距离相等,所以在复平面内点Z 的 轨迹为直线y=-1。又|z+1+2i|表示点Z 到点(-1,-2)的距离,所以原问题转化为直 线y=-1上的动点Z 到定点(-1,-2)的 距离的最小值。 当点Z 为(-1,-1)时,到定点(-1, -2)的距离最小,其最小值为1,所以|z+ 1+2i|的最小值为1。应选A。 题型五:模的最值转化为圆中的最值 求解 例5 设z是复数,且|z-1+2i|=1,则 |z|的最小值为( )。 A.1 B.3-1 C.5-1 D.5 解:根据复数模的几何意义可知,|z- 1+2i|=1表示复平面内以点 M(1,-2)为 圆心,1为半径的圆,而|z|表示复数z 对应 的点Z 到原点的距离,如图1。 所以原问题可转化为圆 M 上的点到原 点的距离的最小值。 图1 由图可知,显然|z|min=|OM|-r= 12+(-2)2-1= 5-1。应选C。 1.已知复数z 满足|z-i|=|z|,则|z| 的最小值为( )。 A. 1 4 B. 1 2 C. 3 4 D.1 提示:设z=x+yi(x,y∈R)。由|z- i|=|z|,可得|x+(y-1)i|=|x+yi|,所以 x2+(y-1)2=x2+y2,整理得y= 1 2 ,所以 z=x+ 1 2i ,所以|z|= x2+ 1 4 ≥ 1 2 (当且 仅当x=0时取等号),所以|z|的最小值为 1 2 。应选B。 2.已知复数z=x+yi(x,y∈R,i为虚 数单位)满足|z-4i|=2,则|z|的最小值 为( )。 A.2 B.1 C.2 D.4 提示:因为|z-4i|=2,所以复数z对应 的点的轨迹是以(0,4)为圆心,2为半径的 圆,所以|z|min=4-2=2。应选A。 3.已知i是虚数单位,且(1+mi)(m-i) >0,则 1+mi1-mi 2024 = 。 提示:因 为(1+mi)(m-i)=2m+ (m2-1)i>0,所以 2m>0, m2-1=0, 解得 m=1。 所以 1+mi 1-mi= 1+i 1-i= (1+i)2 (1-i)(1+i)=i ,所以 1+mi 1-mi 2024 =i2024=i506×4=1。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 郭正华) 24 经典题突破方法 高一数学 2025年6月