16 巧用位置关系，破解立体几何动点问题-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■孙娅南 袁 媛 动点问题是高考立体几何中最具创新意 识的题型,它渗透了动态的点、线、面等元素, 考查同学们的直观想象、逻辑推理、数学运算 等核心素养。立体几何中的动点问题的本质 是考查空间点、直线、平面之间的位置关系。 一、根据垂直关系求动点的轨迹问题 例1 如图1,已知正四棱锥S-ABCD 的底面边长为2,高为2,E 是边BC 的中点, 动点P 在表面上运动,且总保持PE⊥AC, 则动点P 的轨迹的周长为( )。 图1 A.6+ 2 B.6- 2 C.4 D.5+1 解:设 AC 与BD 交于点O。由正四棱 锥的性质得SO⊥平面ABCD。 因为AC⊂平面ABCD,所以SO⊥AC。 又BD⊥AC,SO∩BD=O,SO,BD⊂平面 SBD,所以AC⊥平面SBD。 由题设知PE⊥AC,则动点P 的轨迹为 过E 且垂直AC 的平面与正四棱锥S-ABCD 相交 的 交 线,即 △EFG,所 以 AC⊥ 平 面 EFG。 由线面垂直的性质得平面SBD∥平面 EFG。由面面平行的性质得EG∥SB,GF∥ SD,EF∥BD。又E 是边BC 的中点,所以 EG,GF,EF 分别为△SBC,△SDC,△BCD 的中位线。由题意得BD=22,SB=SD= 22+2= 6,所以 EG+EF+GF= 1 2× (6+ 6+22)= 6+ 2,即动点P 的轨迹 的周长为 6+ 2。应选A。 点评:在空间中,过一定点与一条定直线 垂直的点形成的轨迹为一个平面,结合面面 平行的性质和三角形的中位线定理得到动点 P 的轨迹为△EFG,进而求得动点P 的轨迹 的周长。 二、根据线面角求动点的轨迹问题 例2 如 图 2 所 示,正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 的棱长为2,M 为棱B1C1 的中 点,N 为底面正方形ABCD 上一动点,且直 线 MN 与底面ABCD 所成的角为 π 3 ,则动点 N 的轨迹长度为 。 图2 图3 解:取BC 的中点G。由正方体的性质 知 MG⊥ 底 面 ABCD,所 以 MN 与 底 面 ABCD 的夹角即为∠MNG,所以∠MNG= π 3 ,所以MG NG=tan π 3 ,所以 NG= 23 3 为定值, 故点N 在以G 为圆心, 23 3 为半径的圆上。 因为 N 为底面正方形 ABCD 上一动 点,所以点N 的轨迹为图3中的圆弧EF,即 EF︵。由cos∠EGB=BGEG= 1 23 3 = 3 2 ,可得 ∠EGB= π 6 ,所以∠EGF=π- π 6- π 6= 2π 3 , 93 创新题追根溯源 高一数学 2025年6月 所以动点N 的轨迹长度为 23 3 × 2π 3= 43π 9 。 点评:解答本题的关键是由线面角得到 动点到定点的距离为定值,即得动点的轨迹 为正方形内的一段圆弧。 三、翻折形成的动点问题 例3 如图4,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=4,E 为BC 的中点,将△BAE 沿AE 向上翻折到△PAE 的位置,连接 PC,PD, 在翻折的过程中,则下面正确结论的序号 是 。 图4 ①四 棱 锥 P-AECD 体 积 的 最 大 值 为 22;②PD 的中点F 的轨迹长度为 3π 2 ; ③EP,CD 与平面PAD 所成的角相等。 解:由题设知梯形 AECD 的面积为6, AE=22,Rt△PAE 的斜边AE 上的高为 2。当平面PAE⊥平面 AECD 时,四棱锥 P-AECD 的体积取得最大值,即VP-AECD = 1 3×6× 2=2 2 ,①正确。取 AE 的中点 O1,可得PO1= 2,取 DO1 的中点 H(作法 略),可得FH= 2 2 ,所以点F 的轨迹是以H 为圆心,FH= 2 2 为半径的半圆弧,所以PD 的中点F 的轨迹长度为 2π 2 ,②错误。由四 边形ABCD 为矩形知AD∥EC,所以EC∥平 面PAD,所以点E,C 到平面PAD 的距离相 等,则PE,CD 与平面PAD 所成角的正弦值 之比为CD∶PE=1∶1,可知EP,CD 与平 面PAD 所 成 的 角 相 等,③正 确。答 案 为 ①③。 点评:四棱锥 P-AECD 的底面积为定 值,当平面PAE⊥平面AECD 时,高取得最 大值,可求出四棱锥 P-AECD 体积的最大 值。分别取AE 的中点O1,DO1 的中点 H, 可得FH= 2 2 ,从而求出点F 的轨迹长度。 利用线面角的概念,以及 EP,CD 到平面 PAD 的距离相等,可求出两个线面角正弦值 的比值相等,即得所成的角相等。 作者单位:河南省濮阳市第一高级中学 (责任编辑 郭正华) 􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙 (上接第38页) 借助勾股定理、三角形的面积公式及三角函 数的定义,使得问题轻松获解。 例5 在锐角△ABC 中,若2sin2A+ sin2B=2sin2C,则 1 tanA+ 1 tanB+ 1 tanC 的最 小值为 。 解:由2sin2A+sin2B=2sin2C,结合正 弦定理得2a2+b2=2c2。过点 B 作BD⊥ AC 于 点 D(图 略),设 AD=x,DC=y, BD=h。因为2a2+b2=2c2,所以2(y2+ h2)+(x+y)2=2(x2+h2),即x2-2xy- 3y2=0,解得x=3y 或x=-y(舍去)。 在△ABC 中,因为tan(A+C)=tan(π -B)= -tanB,所 以 tanA+tanC 1-tanAtanC = -tanB,所以 1-tanAtanC tanA+tanC =- 1 tanB 。 所以 1 tanA+ 1 tanB+ 1 tanC= 1 tanA+ 1 tanC+ tanAtanC-1 tanA+tanC = x h+ y h+ h2 xy-1 h x+ h y = 4y h + h2-3y2 4hy = 13y 4h + h 4y ≥ 13 2 ,当且仅当 13y 4h= h 4y ,即y= 13h 13 时取等号,所以 1 tanA + 1 tanB+ 1 tanC 的最小值为 13 2 。 作者单位:河南省商丘市夏邑县佳合高中 (责任编辑 王琼霞) 04 创新题追根溯源 高一数学 2025年6月