15 破解“在△ABC中”为条件的三角问题-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■张振继(特级教师) “在△ABC 中”为条件的三角问题,一直 是高考考查的重要内容之一,且备受命题者 的青睐。下面给出不同的求解方法,供同学 们学习与参考。 一、三角形内角和定理法 思路:三角形内角和定理是解决三角问 题的基本方法。 例 1 在 △ABC 中,已 知 cosC = sinA+cosA 2 = sinB+cosB 2 ,求cosC的值。 解:由题设得cosC= 2 2sinA+ π 4 = 2 2sinB+ π 4 。 假设 A+ π 4 + B+π4 =π,即 A+ B= π 2 ,所以 C= π 2 ,即cosC=0,这时与 sinA+ π 4 >0矛盾,所以A+π4=B+π4, 可得A=B∈ 0, π 2 ,所以C=π-2A。 注意到cosC= 2 2sinA+ π 4 >0,所以 C< π 2 ,所以A=B∈ π4 ,π 2 。 由 cos C = 2 2 sin A+ π 4 ,可 得 sinA+ π 4 = 2cosC,且A∈ π4,π2 ,所以 cos A+ π 4 = - 1-sin2 A+π4 = - 1-(2cosC)2。 因为C=π-2A,所以cosC=-cos2A= -sin2A+ π 2 =-2sinA+π4 ·cosA+ π 4 =-22cosC[- 1-(2cosC)2]。因为 cosC>0,所 以 8(1-2cos2C)=1,解 得 cosC= 7 4 。 二、正(余)弦定理法 思路:利用正(余)弦定理,沟通三角形的 边角关系,可使三角问题轻松获解。 例2 (1)在△ABC 中,内角A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,且 a2 +b2 +c2 = 23absinC,则C= 。 (2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边 分别为a,b,c,且C= π 4 ,若acosA+ccosC =2bcosB,则tanA= 。 解:(1)由 余 弦 定 理 得c2=a2+b2- 2abcosC,代入a2+b2+c2=23absinC,整 理得2(a2+b2)=2ab(3sinC+cosC)= 4absinC+ π 6 ,所以sinC+π6 =a 2+b2 2ab ≥ 2ab 2ab=1 。因为sinC+ π 6 ≤1,所以只有 sinC+ π 6 =1,所以C+π6=π2,即C=π3。 (2)由已知条件及正弦定理得sin2B= sinAcosA+sinCcosC。 因为 C= π 4 ,所以 B= 3π 4 -A ,2B= 3π 2-2A ,所 以 sin2B =sin 3π2-2A = -cos2A。 所以-cos2A=sinAcosA+ 1 2 ,即 sin2A-cos2A -sinAcosA = 1 2 ,所 以 sin2A-cos2A-sinAcosA sin2A+cos2A = 1 2 , 所 以 tan2A-tanA-1 tan2A+1 = 1 2 ,解 得tanA=3 或 tanA=-1(舍去)。故tanA=3。 或者,由sin2B=sinAcosA+sinC· cosC,可得2sin2B=sin2A+sin2C,所以 73 创新题追根溯源 高一数学 2025年6月 2sin2B =sin[(A +C)+ (A -C)]+ sin[(A+C)-(A-C)],所 以2sin2B= 2sin(A+C)cos(A-C)。 所以2sinBcosB=sinBcos(A-C),所 以2cosB=cos(A-C),所以-2cos(A+C) =cos(A-C),所以3cosAcosC=sinA· sinC,所以tanAtanC=3。又C= π 4 ,所以 tanA=3。 三、面积法 思路:利用三角形的面积关系,沟通三角 形的边角关系,可使问题圆满获解。 例3 如图1,在△ABC 内有一点 D, AB=4,AC=43,A= 5π 6 ,AD=1,∠BAD= π 6 ,过点D 作一条直线分别与边AB,AC相交 于E,F 两点,沿直线EF 裁掉△AEF,则剩下 四边形EFCB 的面积的最大值为( )。 图1 A.33 B.23 C.6 D.3 解:设 AE=x,AF=y。由 S△AEF = S△AED+S△AFD,可得 1 2xysin 5π 6= 1 2xsin π 6+ 1 2ysin 2π 3 ,化简得xy=x+ 3y,所以 3 x + 1 y =1,即 1 y =1- 3 x 。 所以S△AEF= 1 2xysin 5π 6= 1 4x · 1 1- 3 x = 1 4 · 3 3 x 1- 3 x ≥ 3 4 · 1 3 x+1- 3 x 2 2= 3,当且仅当 3 x =1- 3 x ,即x=2 3时取 等号。 因为S△ABC= 1 2×4×43sin 5π 6=43 , 所 以 S四边形EFCB =S△ABC -S△AEF =4 3- S△AEF≤43- 3=33,即四边形EFCB 的 面积的最大值为33。应选A。 四、向量法 思路:引入向量,利用向量的工具性,可 以解决“在△ABC 中”为条件的求值问题。 例4 在△ABC 中,内角A,B,C 的对边 分别为a,b,c,且a(cosC+3sinC)=b+c。 (1)求A。 (2)若b=5,c=2,且BC,AC 边上的中 线AM,BN 相交于点P,求cos∠MPN。 解:(1)由 正 弦 定 理 得 sinAcosC+ 3sinAsinC-sinB-sinC=0。 因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+ cosAsinC,所以 3sinAsinC-cosAsinC- sinC=0。因为sinC≠0,所以 3sinA- cosA-1=0,所以sinA- π 6 =12。又0< A<π,所以A- π 6= π 6 ,即A= π 3 。 (2)因为 M 是BC 的中点,所以 AM→= 1 2 (AB→+AC→)。结 合 A=π3得|AM →|= 1 4 (AB→ 2 +2AB→·AC→+AC→ 2 )= 39 2 。 因为 N 是 AC 的 中 点,所 以 BN→ = AN→-AB→=12AC →-AB→。 所 以 |BN→| = 12AC →-AB→ 2 = 1 4AC →2-AB→·AC→+AB→ 2 = 21 2 。 又因为 AM→·BN→=12(AB →+AC→)· 1 2AC →-AB→ =-12AB→2+14AC→2-14AB→· AC→=3,所以cos∠MPN=cos<AM→,BN→>= AM→·BN→ |AM→||BN→| = 3 39 2 × 21 2 = 4 91 91 。 五、作高法 思路:解三角形时,可作出三角形的高, (下转第40页) 83 创新题追根溯源 高一数学 2025年6月 所以动点N 的轨迹长度为 23 3 × 2π 3= 43π 9 。 点评:解答本题的关键是由线面角得到 动点到定点的距离为定值,即得动点的轨迹 为正方形内的一段圆弧。 三、翻折形成的动点问题 例3 如图4,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=4,E 为BC 的中点,将△BAE 沿AE 向上翻折到△PAE 的位置,连接 PC,PD, 在翻折的过程中,则下面正确结论的序号 是 。 图4 ①四 棱 锥 P-AECD 体 积 的 最 大 值 为 22;②PD 的中点F 的轨迹长度为 3π 2 ; ③EP,CD 与平面PAD 所成的角相等。 解:由题设知梯形 AECD 的面积为6, AE=22,Rt△PAE 的斜边AE 上的高为 2。当平面PAE⊥平面 AECD 时,四棱锥 P-AECD 的体积取得最大值,即VP-AECD = 1 3×6× 2=2 2 ,①正确。取 AE 的中点 O1,可得PO1= 2,取 DO1 的中点 H(作法 略),可得FH= 2 2 ,所以点F 的轨迹是以H 为圆心,FH= 2 2 为半径的半圆弧,所以PD 的中点F 的轨迹长度为 2π 2 ,②错误。由四 边形ABCD 为矩形知AD∥EC,所以EC∥平 面PAD,所以点E,C 到平面PAD 的距离相 等,则PE,CD 与平面PAD 所成角的正弦值 之比为CD∶PE=1∶1,可知EP,CD 与平 面PAD 所 成 的 角 相 等,③正 确。答 案 为 ①③。 点评:四棱锥 P-AECD 的底面积为定 值,当平面PAE⊥平面AECD 时,高取得最 大值,可求出四棱锥 P-AECD 体积的最大 值。分别取AE 的中点O1,DO1 的中点 H, 可得FH= 2 2 ,从而求出点F 的轨迹长度。 利用线面角的概念,以及 EP,CD 到平面 PAD 的距离相等,可求出两个线面角正弦值 的比值相等,即得所成的角相等。 作者单位:河南省濮阳市第一高级中学 (责任编辑 郭正华) 􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙􀤙 (上接第38页) 借助勾股定理、三角形的面积公式及三角函 数的定义,使得问题轻松获解。 例5 在锐角△ABC 中,若2sin2A+ sin2B=2sin2C,则 1 tanA+ 1 tanB+ 1 tanC 的最 小值为 。 解:由2sin2A+sin2B=2sin2C,结合正 弦定理得2a2+b2=2c2。过点 B 作BD⊥ AC 于 点 D(图 略),设 AD=x,DC=y, BD=h。因为2a2+b2=2c2,所以2(y2+ h2)+(x+y)2=2(x2+h2),即x2-2xy- 3y2=0,解得x=3y 或x=-y(舍去)。 在△ABC 中,因为tan(A+C)=tan(π -B)= -tanB,所 以 tanA+tanC 1-tanAtanC = -tanB,所以 1-tanAtanC tanA+tanC =- 1 tanB 。 所以 1 tanA+ 1 tanB+ 1 tanC= 1 tanA+ 1 tanC+ tanAtanC-1 tanA+tanC = x h+ y h+ h2 xy-1 h x+ h y = 4y h + h2-3y2 4hy = 13y 4h + h 4y ≥ 13 2 ,当且仅当 13y 4h= h 4y ,即y= 13h 13 时取等号,所以 1 tanA + 1 tanB+ 1 tanC 的最小值为 13 2 。 作者单位:河南省商丘市夏邑县佳合高中 (责任编辑 王琼霞) 04 创新题追根溯源 高一数学 2025年6月