14 高一下学期核心考点强化训练-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■刘大鸣(特级教师) 一、选择题 1.对于给定的△ABC,其外心为O,重心 为 G,垂 心 为 H,则 下 列 结 论 不 正 确 的 是( )。 A.AO→·AB→=12AB →2 B.OA→·OB→=OA→·OC→=OB→·OC→ C.过点G 的直线l交于AB、AC 于点 E、F,若AE=λAB→,AF→=μAC→,则 1 λ+ 1 μ =3 D.AH→ 与 AB → |AB→|cosB + AC→ |AC→|cosC 共线 2.已知 m,n 为异面直线,m⊥平面α, n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄ β,则( )。 A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l 3.一个射手进行射击,记事件 A1=“脱 靶”,A2=“中靶”,A3=“中靶环数大于4”,则 在 上 述 事 件 中,互 斥 而 不 对 立 的 事 件 是( )。 A.A1 与A2 B.A1 与A3 C.A2 与A3 D.以上都不对 4.在某次比赛中运动员五轮的成绩互不 相等,记为xi(i=1,2,3,4,5),平均数为x, 若随机删去其中一轮的成绩,得到一组新数 据,记为yi(i=1,2,3,4),平均数为y,下面 说法正确的是( )。 A.新数据的极差不可能等于原数据的 极差 B.新数据的中位数可能等于原数据的中 位数 C.若x=y,则新数据的方差一定小于 原数据的方差 D.若x=y,则新数据的第40百分位数 一定大于原数据的第40百分位数 5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,且asinA-csinC=(b- 3c)· sinB。若D 是边BC 的中点,且AD=4,则 △ABC 面积的最大值为( )。 A.16 B.32-163 C.643 D.32+163 6.经过简单随机抽样获得的样本数据为 x1,x2,…,xn,且数据x1,x2,…,xn 的平均 数为 x,方 差 为 s2,则 下 列 说 法 正 确 的 是( )。 A.若数据x1,x2,…,xn 的方差s2=0, 则所有的数据xi(i=1,2,…,n)都为0 B.若数据x1,x2,…,xn 的平均数x=3, 则yi=2xi+1(i=1,2,…,n)的平均数为6 C.若数据x1,x2,…,xn 的方差s2=3, 则yi=2xi+1(i=1,2,…,n)的方差为12 D.若数据x1,x2,…,xn 的25%分位数 为90,则可以估计总体中至少有75%的数据 不大于90 7.某社团开展“庆祝建党100周年主题 活动———学党史知识竞赛”,甲,乙两人能得 满分的概率分别为 3 4 ,2 3 ,两人能否获得满分 相互独立,则下列说法正确的是( )。 A.两人均获得满分的概率为 1 2 B.两人至少一人获得满分的概率为 7 12 C.两人恰好只有甲获得满分的概率为 3 4 D.两人至多一人获得满分的概率为 11 12 72 核心考点演练 高一数学 2025年6月 8.如图1,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1E EB1 = BF FB1 = CG GC1 = D1H HC1 =2,则下列说 法错误的是( )。 图1 A.BD1∥GH B.BD 与EF 异面 C.EH∥平面ABCD D.平面EFGH∥平面A1BCD1 9.我国唐代僧人一行应用“九服晷影算 法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天 顶距θ(0≤θ<π)的对应数表,这是世界数学 史上较早的一张正切函数表。根据三角学知 识可知,晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ 正切值的乘积,即l=htanθ。对同一“表高” 测量两次,第一次和第二次的太阳天顶距分 别为α,β。若第一次的“晷影长”是“表高”的 2倍,第二次的“晷影长”是“表高”的7倍,则 2α-β=( )。 A.- 7π 4 B.- 3π 4 C. π 4 D. 5π 4 10.(多选题)关于复数z,z1,z2,下列说 法正确的是( )。 A.若复数z21=z22,则|z1|=|z2| B.若|z|=1,则z=±1或z=±i C.若复数z31=z32,则z1=z2 D.若复数z满足1≤|z|≤ 3,则复数z 对应的点所构成的图形面积为2π 11.(多选题)设向量a=(3,-1),b= (0,2),则( )。 A.|a|=|b| B.a与b的夹角为 5π 6 C.(2a+b)∥b D.(2a+b)⊥b 12.(多选题)分别抛掷两枚质地均匀的 硬币,设事件 A=“第一枚正面朝上”,事件 B=“第二枚正面朝上”,则下列结论正确的 是( )。 A.P(A)= 1 2 B.P(AB)= 1 2 C.事件A 与B 互斥 D.事件A 与B 相互独立 13.(多选 题)如 图2,在 三 棱 柱 ABC- A1B1C1 中,四边形 AA1B1B 是矩形,CB= 1,C1B1⊥平面 AA1B1B,直线 A1C 与B1C1 所成的角的余弦值为 3 3 ,则下列说法正确的 是( )。 图2 A.BB1⊥平面A1B1C1 B.A1C=23 C.三棱锥C-AB1B 的外接球的体积为 3π 2 D.三棱锥C-AB1B 的外接球的表面积 为 3π 2 14.(多选题)下列说法正确的是( )。 A.掷一枚质地均匀的骰子一次,事件 M=“出现奇数点”,事件 N=“出现3点或4 点”,则P(MN)= 1 6 B.袋中有大小质地相同的3个白球和2 个红球,从中依次不放回取出2个球,则“2 球同色”的概率是3 10 C.甲,乙两名射击运动员进行射击比赛, 甲的中靶率为0.8,乙的中靶率为0.9,则“至 少一人中靶”的概率为0.98 82 核心考点演练 高一数学 2025年6月 D.某学生在上学的路上要经过4个路 口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立 的,遇到红灯的概率都是1 3 ,那么该生在上学 路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 1 3 15.(多选题)已知函数f(x)= 3sin2x +2cos2x,则( )。 A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图像关于直线x= π 12 对称 C.不 等 式 f (x)>2 的 解 集 是 kπ,kπ+ π 3 k∈Z D.将f(x)的图像向右平移 π 6 个单位长 度,得到的函数图像关于点(0,1)中心对称 16.(多 选 题 )在 正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 中,AB=2,E 是棱C1D1 的中点, 则下列结论正确的是( )。 A.若F 是线段AA1 的中点,则异面直 线EF 与AB 所成角的余弦值是 6 6 B.若 F 为 线 段 A1D1 上 的 动 点,则 AF+FE 的最小值为 17 C.若F 为线段A1E 上的动点,则平面 ABF 与平面CDF 夹角的余弦值的取值范围 是 3 5 ,2 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 D.若F 为线段A1B 上的动点,且C1F 与平面ABCD 交于点G,则三棱锥A1-ACG 的体积为 4 3 二、填空题 17.给出如下几个命题:①若A 是随机 事件,则0≤P(A)≤1;②若事件 A 与 B 是互斥事件,则 A 与 B 一定是对立事件; ③若事件 A 与 B 是对立事件,则 A 与 B 一定是互斥事件;④事件A,B 中至少有一 个发生的概率一定比 A,B 中恰有一个发 生的概率大。 其中正确的命题是 。(填序号) 18.如图3,在边长为2的正方形ABCD 中,E,F 分别为边AB,AD 上的点(不包含 端点)。若 △AEF 的 周 长 为 4,则 26 CE + 6-23 CF 的最大值是 。 图3 三、解答题 19.如图4,在四棱锥P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PA⊥底面 ABCD,PA= AB=2,E 为线段PB 的中点,F 为线段BC 的中点。 图4 (1)证明:AE⊥平面PBC。 (2)求点P 到平面AEF 的距离。 20.如图5,在三棱锥O-ABC 中,OA⊥ BC,OB⊥AC。 图5 (1)证明:OC⊥AB。 (2)若△ABC 是边长为2的等边三角 形,点O 到平面ABC 的距离为 26 3 。试问直 线OB 与平面ABC 所成的夹角是否为定值。 若是,请求出该夹角的余弦值;若不是,请说 92 核心考点演练 高一数学 2025年6月 明理由。 21.某城市100户居民的月平均用电量 (单位:度),以[160,180),[180,200),[200, 220),[220,240),[240,260),[260,280), [280,300]分组的频率分布直方图,如图6 所示。 图6 (1)求频率分布直方图中的x 值。 (2)估计月平均用电量的众数和中位数, 第80百分位数。 (3)从月平均用电量在[220,240),[240, 260),[260,280),[280,300]内的四组用户 中,用分层抽样的方法抽取11户居民,那么 从月平均用电量在[220,240)内的用户中应 抽取多少户? 22.某区 A,B,C 三所学校有意愿报考 名校强基计划的人数分别为24,8,16,受疫 情因素影响,该区用分层随机抽样的方法从 三所学校中抽取了6名学生,参加该区统一 举办的现场小范围强基计划推介说明会。 (1)从这6名学生中随机抽取2名进行 座谈和学情调查,求这2名学生来自不同学 校的概率。 (2)若考生小张根据自身实际,报考了 甲、乙两所名校的强基计划,设通过甲校资格 审核的概率为 2 3 ,通过乙校资格审核的概率 为 4 5 ,已知通过两所学校资格审核与否是相 互独立的,求小张至少能通过一所学校资格 审核的概率。 23.如图7所示,△ABC 的两边BC=1, AC=2,设G 是△ABC 的重心,BC 边上的 高为AH,过点G 的直线与AB,AC 分别交 于点E,F,已知AE→=λAB→,AF→=μAC→。 图7 (1)求 1 λ+ 1 μ 的值。 (2)若cosC= 1 4 ,S△AEF= 9 20S△ABC ,λ> μ,求(EH →+AF→)·(HF→+EA→)的值。 24.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别 为a,b,c,在下列三个条件中任选一个作为 已知条件,解答问题。①2sinA-sinC- 2sinBcosC=0;②2S= 3AB→·CB→(其中S 为△ABC 的面积);③a2- 23 3 acsinB+ c2=b2。 (1)若b=4,ac=3,求a+c的值。 (2)若△ABC 为锐角三角形,求 a2+c2 b2 的取值范围。 25.在复平面内,O 为坐标原点,复数 z1=m+i是关于x 的方程x2-23x+n=0 的一个根。 (1)求实数m,n的值。 (2)若复数z2=1+ 3i,z1,z2, z2 z1 所对应 的点分别为A,B,C,记△AOB 的面积为S1, △BOC 的面积为S2,求 S1 S2 。 一、选择题 1.提示:设 AB 的中点为 M,则 OM⊥ AB,所 以|AO→|cos∠OAM=|AM→|,所 以 AO→·AB→=|AO→||AB→|cos∠OAB=|AB→|· (|AO→|cos∠OAB)=|AB→|·|AB →| 2 = 03 核心考点演练 高一数学 2025年6月 1 2|AB →|2,A正确。OA→·OB→=OA→·OC→ 等 价于 OA→·(OB→-OC→)=0等价 于 OA→· CB→=0,即OA⊥BC,对于一般三角形而言, O 是外心,OA 不一定与BC 垂直,如直角三 角形ABC 中,若B 为直角顶点,则O 为斜边 AC 的中点,OA 与BC 不垂直,B错误。设 BC 的中点为D,则AG→=23AD →=13(AB →+ AC→)=13 1 λAE →+1 μ AF→ 。因为E,F,G 三 点共线,所以1 3λ+ 1 3μ =1,即 1 λ+ 1 μ =3,C正 确。由题意得 AB → |AB|cosB+ AC→ |AC→|cosC · BC→ = AB →·BC→ |AB→|cosB + AC→·BC→ |AC→|cosC = |AB→||BC→|cos(π-B) |AB→|cosB + |AC→||BC→|cosC |AC→|cosC = -|BC→|+|BC→|=0,所 以 AB → |AB→|cosB + AC→ |AC→|cosC 与BC→ 垂直。因为 AH→⊥BC→,所 以 AB→ |AB→|cosB + AC→ |AC→|cosC 与AH→ 共线,D 正确。应选B。 2.提示:由 m⊥平面α,直线l满足l⊥ m,且l⊄α,可得l∥α。由n⊥平面β,l⊥n, l⊄β,可得l∥β。由直线 m,n 为异面直线, 且m⊥平面α,n⊥平面β,可得α与β相交, 否则,若α∥β,则推出 m∥n,与 m,n 异面矛 盾,所以α,β相交且交线平行于l。应选D。 3.提示:射手进行射击时,事件A1=“脱 靶”,A2=“中靶”,A3=“中靶环数大于4”,事 件A1 与A2 不可能同时发生,并且必有一个 发生,即事件A1 与A2 互斥且对立,A错误。 事件A1 与A3 不可能同时发生,但可以同时 不发生,即事件A1 与A3 互斥不对立,B正确, D错误。事件A2 与A3 可以同时发生,即事件 A2 与A3 不互斥不对立,C错误。应选B。 4.提示:对于A,若随机删去任一轮的成 绩,恰好不是最高成绩和最低成绩,此时新数 据的极差等于原数据的极差,A错误。对于 B,不 妨 假 设 x1 <x2 <x3 <x4 <x5,当 1 2 (x2+x4)=x3 时,若随机删去的成绩是 x3,此时新数据的中位数等于原数据的中位 数,B正确。对于C,已知x=y,即删去的数 据恰为平均数,根据方差的计算公式,分子不 变,分母变小,则方差会变大,所以新数据的 方差一定大于原数据的方差,C错误。对于 D,已知x=y,即删去的数据恰为平均数,在 按从小到大的顺序排列的5个数据中,因为5 ×40%=2,此时原数据的40%分位数为第 二数和第三个数的平均数。删去一个数据后 的4个数据,按从小到大的顺序排列,可得4 ×40%=1.6,此时新数据的40%分位数为 第二个数,显然新数据的40%分位数小于原 数据的40%分位数,D错误。应选B。 5.提示:由asinA-csinC=(b- 3c)· sinB,结合正弦定理得a2-c2=b2- 3bc, 所以 b2+c2-a2= 3bc,所 以 cosA = b2+c2-a2 2bc = 3 2 。因为0<A<π,所以A= π 6 。因为 D 是边BC 的中点,所以 AD→= 1 2AB →+12AC →,所以AD→ 2 = 1 4AB →2+12AB →· AC→+14AC →2。因为 AD=4,A=π6,所以 16= 1 4c 2+ 1 4b 2+ 3 4bc≥ 1 2bc+ 3 4bc= 2+ 3 4 bc ,所以bc≤64(2- 3),当且仅当b= c时等号成立。所以 S△ABC = 1 2bcsinA≤ 16×(2- 3)=32-163,即△ABC 面积的 最大值为32-163。应选B。 6.提示:对于A,数据x1,x2,…,xn 的方 差s2=0,说明所有的数据x1,x2,…,xn 都相 等,但不一定为0,A错误。对于B,若数据 x1,x2,…,xn 的平均数x=3,则数据yi= 2xi+1(i=1,2,…,n)的平均数为2×3+ 1=7,B错误。对于C,若数据x1,x2,…,xn 的方差s2=3,则数据yi=2xi+1(i=1, 2,…,n)的方差为22×3=12,C正确。对于 13 核心考点演练 高一数学 2025年6月 D,若数据 x1,x2,…,xn 的25%分位数为 90,则可以估计总体中至少有75%的数据大 于90,D错误。应选C。 7.提示:因为甲,乙两人能得满分的概率 分别为 3 4 ,2 3 ,两人能否获得满分相互独立, 分别记甲,乙能得满分的事件为 M,N,则 P(M)= 3 4 ,P(N)= 2 3 ,M,N 相互独立,所 以两人均获得满分的概率为 P(M∩N)= P(M)P(N)= 3 4× 2 3= 1 2 ,A正确。两人至 少一人获得满分的概率为1-P(M∩N)= 1-[1-P (M)][1-P (N)]=1- 1- 3 4 1-23 =1112,B错误。两人恰好只 有甲 获 得 满 分 的 概 率 为 P (M ∩N)= P(M)[1-P(N)]= 3 4× 1- 2 3 =14,C错 误。两人至多一人获得满分的概率为1- P(M∩N)=1- 1 2= 1 2 ,D错误。应选A。 8.提示:由 A1E EB1 = BF FB1 =2,可得 EF∥ A1B,且 EF A1B = B1F BB1 = B1E A1B1 = 1 3 。同理可得 GH∥CD1,FG∥BC,且 GH CD1 = 1 3 。因 为 GH∥CD1,而CD1∩BD1=D1,所以BD1 不 可能平行于 GH,A 错误。易知 BD 与EF 不平行,且不相交,由异面直线的定义可知, BD 与EF 异面,B正确。在长方体ABCD- A1B1C1D1 中,A1B∥CD1,A1B=CD1,所以 EF∥GH,EF=GH,即四边形EFGH 为平 行四边形,所以EH∥FG。因为BC∥FG,所 以EH∥BC。又因为EH⊄平面ABCD,BC ⊂平面ABCD,所以EH∥平面ABCD,C正 确。因为 EF∥A1B,EF⊄平面 A1BCD1, A1B ⊂ 平 面 A1BCD1,所 以 EF ∥平 面 A1BCD1。因 为 BC ∥FG,FG ⊄ 平 面 A1BCD1,BC⊂平面 A1BCD1,所以FG∥平 面A1BCD1。又EF∩FG=F,且FG,EF⊂ 平 面 EFGH,所 以 平 面 EFGH ∥ 平 面 A1BCD1,D正确。应选A。 9.提示:由题意知tanα=2,tanβ=7,则 tan2α= 2tanα 1-tan2α =- 4 3 ,所以tan(2α-β)= tan2α-tanβ 1+tan2αtanβ = - 4 3-7 1- 4 3×7 =1。因为0≤α< π,且tanα>1,所以 π 4<α< π 2 ,所以π 2<2α< π。因为0≤β<π,且tanβ>0,所以0<β< π 2 , 所以- π 2<-β<0 ,所以0<2α-β<π。因为 tan(2α-β)=1,所以2α-β= π 4 。应选C。 10.提示:对于A,若复数z21=z22,则复数 |z21|=|z22|,所以|z1|2=|z2|2,则|z1|= |z2|,A正确。对于B,令z= 1 2+ 3 2i ,满足 |z|=1,B 错 误。对 于 C,令 z1=1,z2= - 1 2+ 3 2i ,则z31=z32=1,此时z1≠z2,C错 误。对于D,若复数z 满足1≤|z|≤ 3,则 复数z对应的点所构成的图形是半径为 3 和半径为1的两个圆所夹的圆环,所以其面 积为π×(3)2-π×12=2π,D正确。应选 AD。 11.提示:因为|a|= 3+1=2,b= 0+4=2,所以|a|=|b|,A 正确。因为 cos<a,b>= a·b |a|·|b|= 3×0-1×2 2×2 = - 1 2 ,且<a,b>∈[0,π],所以a 与b 的夹角 为 2π 3 ,B错误。由2a+b=(23,0),可知不 存在实数λ,使(2a+b)=λb 成立,C错误。 由(2a+b)·b=0,可得(2a+b)⊥b,D正 确。应选AD。 12.提示:对于 A,B,抛掷两枚质地均匀 的硬币,所有的基本事件为{正,正},{正, 反},{反,正},{反,反},即4种情况,其中满 足事件 A 的为{正,正},{正,反},即2种情 况,事件A 和B 同时发生的情况为{正,正}, 即1种,所以P(A)= 2 4= 1 2 ,P(AB)= 1 4 , 23 核心考点演练 高一数学 2025年6月 A正确,B错误。因为事件A 与事件B 可以 同时发生,所以事件A 与B 不互斥,C错误。 因为事件A 的发生不影响事件B 的发生,所 以事件A 与B 相互独立,D正确。应选AD。 13.提示:因为 C1B1⊥平面 AA1B1B, A1B1,BB1⊂平面 AA1B1B,所以 C1B1⊥ A1B1,C1B1⊥BB1。由四边形 AA1B1B 是 矩形,可得BB1⊥A1B1。因为C1B1⊂平面 A1B1C1,A1B1⊂平面 A1B1C1,且 C1B1∩ A1B1=B1,所以 BB1⊥平面 A1B1C1,A 正 确。因为平面AB1B,平面CB1B,平面ABC 两两垂直,所以三棱锥C-AB1B 外接球的直 径等 于 A1C。因 为 B1C1∥BC,所 以 直 线 A1C 与B1C1 所成的角等于直线A1C 与BC 所成的角(或其补角),所以 CB A1C = 3 3 。由 CB=1,可得 A1C= 3,B错误。设三棱锥 C-AB1B 的 外 接 球 的 半 径 为 R,则 满 足 4R2=AB2+BB21+CB2=A1C2=3,所 以 R= 3 2 。所以三棱锥C-AB1B 的外接球的体 积为 4π 3 3 2 3 = 3π 2 ,表面积为4π 3 2 2 = 3π,C正确,D错误。应选AC。 14.提示:对于A,因为事件 MN=“出现 3点”,而掷骰子一次有6个不同结果,所以 P(MN)= 1 6 ,A正确。对于B,记3个白球 为a1,a2,a3,2个红球为b1,b2,从5个球中 任取2个球的不同结果为a1a2,a1a3,a1b1, a1b2,a2a3,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,b1b2,共10 种,其中2球同色的结果为a1a2,a1a3,a2a3, b1b2,共4种,所以“2球同色”的概率是 4 10= 2 5 ,B错误。对于C,“至少一人中靶”的概率 为1-(1-0.8)(1-0.9)=0.98,C正确。对 于D,该生在上学路上到第3个路口首次遇 到红灯,即在前两个路口都没有遇到红灯,第 3个路口遇到红灯,所以到第3个路口首次 遇到红灯的概率为 1- 1 3 2 × 1 3= 4 27 ,D错 误。应选AC。 15.提示:因为f(x)= 3sin2x+cos2x +1=2sin2x+ π 6 +1,所以f(x)的最小正 周期为π,A 正确。因为f π 12 =2sin2× π 12+ π 6 +1= 3+1≠3,所以函数f(x)的 图像不关于直线 x= π 12 对称,B错误。由 f(x)>2,可得2sin2x+ π 6 +1>2,所以 sin2x+ π 6 >12,所以2kπ+π6<2x+π6< 2kπ+ 5π 6 k∈Z ,解 得 kπ<x<kπ+ π 3 k∈Z ,即 不 等 式 f(x)>2 的 解 集 是 kπ,kπ+ π 3 k∈Z ,C正确。将函数f(x) 的图像向右平移 π 6 个 单 位 长 度 得 到 函 数 g(x)=2sin2x- π 6 +1的图像。因为g(0)= 2sin - π 6 +1=0≠1,所以g(x)的图像不 关于点(0,1)中心对称,D错误。应选AC。 16.提 示:由 正 方 体 的 定 义 知 AB∥ C1D1,则∠D1EF 是异面直线EF 与AB 所 成的角(或其补角)。因为AB=2,所以D1E =1,D1F= 5,EF= 6,所以cos∠D1EF= D1E EF = 6 6 ,A正确。将平面A1ADD1 展开到 平面 A1B1C1D1(作图略)的位置,则 AF+ FE≥AE= 13,B错误。过点 F 作FH∥ A1B1,交A1D1 于点 H(作图略),则∠AHD 为平面ABF 与平面CDF 所成的夹角。因为 F 为线段 A1E 上的动点,所以 H 为线段 A1D1 上的动点。当 H 为线段A1D1 的中点 时,∠AHD 最大,cos∠AHD 的值最小,当 H 与线段A1D1 的端点重合时,∠AHD 最 小,cos∠AHD 的值最大,易得cos∠AHD ∈ 3 5 ,2 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 ,C正确。设平面A1BC1 与平面 ABCD 的交线为l(作图略),因为 A1C1∥平 面ABCD,所以 A1C1∥l,则 AC∥l。因为 33 核心考点演练 高一数学 2025年6月 C1F 与平面ABCD 交于点G,所以G∈l,所 以S△ACG=S△ABC=2,则三棱锥A1-ACG 的体 积为 1 3×2×2= 4 3 ,D正确。应选ACD。 二、填空题 17.提示:①当A 为不可能事件时,其概 率为0,当A 为必然事件时,其概率为1,不可 能事件和必然事件是作为随机事件的两个极 端情形,所以0≤P(A)≤1,①正确。②若事 件A 与B 是互斥事件,则A 与B 不一定是 对立事件,如掷骰子“朝上的面为1”和“朝上 的面为2”互斥但不对立,②不正确。③若事 件A 与B 是对立事件,即A 与B 不会同时 发生,则 A 与B 一定是互斥事件,③正确。 ④事件A,B 中至少有一个发生的概率不一 定比A,B 中恰有一个发生的概率大,若 A 与B 发生的概率为0或A 与B 互斥,则概率 一样大,④错误。答案为①③。 18.提示:延长AB 到点G,使BG=DF。 易证△CDF≌△CBG,则CF=CG,∠DCF =∠BCG,所以∠FCG=90°。设 DF=x, BE=y,则 EG=x+y,AF=2-x,AE= 2-y。因为△AEF 的周长为4,所以 AE+ EF+AF=4-(x+y)+EF=4,所以EF= x+y。因为EG=x+y,所以EF=EG。因 为 CF=CG,所 以 △CEF≌ △CEG,所 以 ∠ECF=∠ECG=45°。设∠DCF=α,则 ∠BCE=45°-α。因为CD=BC=2,所以 cosα= CD CF= 2 CF ,cos(45°-α)= BC CE= 2 CE , 则 26 CE + 6-23 CF = 6cos (45°-α)+(3- 3)cosα= 3sinα+3cosα=2 3sin(α+ 60°)。因为0<α<45°,所以60°<α+60°< 105°,所以 3 2 <sin (α+60°)≤1,所以3< 23sin(α+60°)≤2 3,所以 26 CE + 6-23 CF 的最大值是23。 三、解答题 19.提示:(1)因为 PA⊥底面 ABCD, BC⊂平 面 ABCD,所 以 PA⊥BC。因 为 ABCD 为 正 方 形,所 以 AB ⊥BC。因 为 PA∩AB=A,PA⊂平面 PAB,AB⊂平面 PAB,所以BC⊥平面PAB。又因为 AE⊂ 平面PAB,所以AE⊥BC。 因为PA=AB,E 为线段PB 的中点,所 以AE⊥PB。因为PB∩BC=B,PB⊂平面 PBC,BC⊂ 平 面 PBC,所 以 AE⊥ 平 面 PBC。 (2)由 F 是 BC 的 中 点,可 得 AF= AB2+BF2= 5。因为 PA⊥底面 ABCD, AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB。因为E 为 线段PB 的中点,所以AE= 1 2PB= 2 。由 (1)知AE⊥平面PBC,EF⊂平面PBC,所 以AE⊥EF,所以EF= AF2-AE2= 3, 所以S△AEF= 1 2AE ·EF= 6 2 。 因为PA=AB=2,所以S△PAE= 1 2S△PAB = 1 2PA ·AB=1。由(1)知 BC⊥ 平 面 PAB,所以FB⊥平面PAB。设点P 到平面 AEF 的距离为h,则VP-AEF= 1 3S△AEF ·h= 6 6h=VF-PAE= 1 3S△PAE ·BF= 1 3 ,解得h= 6 3 ,所以点P 到平面AEF 的距离为 6 3 。 20.提示:(1)过O 作OH⊥平面ABC 于 点 H,延长AH 交BC 于点M,延长BH 交 AC 于 点 N。因 为 BC⊂平 面 ABC,所 以 OH⊥BC。因为OH∩OA=O,OH,OA⊂ 平面 OAH,所 以 BC⊥平 面 OAH。因 为 AH⊂平面OAH,所以BC⊥AH。同理,由 AC⊥OB,可得AC⊥BH,所以 H 为△ABC 的垂心,所以AB⊥CH。 因为OH⊥平面ABC,AB⊂平面ABC, 所以AB⊥OH。因为CH∩OH=H,CH, OH⊂平面OHC,所以AB⊥平面OHC。又 因为OC⊂平面OHC,所以AB⊥OC。 (2)因为OH⊥平面ABC,所以直线OB 与平面ABC 所成的角即为∠OBH。 因为△ABC 为等边三角形,其边长为2, 所以BH= 2 3×2× 3 2= 23 3 。因为OH= 43 核心考点演练 高一数学 2025年6月 26 3 ,所以 OB= OH2+BH2 =2,所以直 线OB 与 平 面 ABC 所 成 的 角 是 定 值,且 cos∠OBH= BH OB = 3 3 ,所以直线OB 与平 面ABC 所成的夹角的余弦值为 3 3 。 21.提示:(1)频率分布直方图中,各小组 的频 率 之 和 为1,即(0.002+0.0025+ 0.005+x+0.0095+0.011+0.0125)× 20=1,解得x=0.0075。 (2)月平均用电量的众数是 220+240 2 = 230。因 为 前 3 个 小 矩 形 的 面 积 之 和 为 (0.002+0.0095+0.011)×20=0.45< 0.5,前4个小矩形的面积之和为(0.002+ 0.0095+0.011+0.0125)×20=0.7>0.5, 所以中位数在[220,240)内。设中位数为y, 则(y-220)×0.0125=0.5-0.45,所以 y=224,即中位数为224。因为前4个小矩 形的面积之和为0.7<0.8,前5个小矩形的 面积之和为0.7+20×0.0075=0.85>0.8, 所以第80百分位数在[240,260)内。设第80 百分位数为 m,则(m-240)×0.0075= 0.8-0.7=0.1,解得m≈253.33,即第80百 分位数约为253.33。 (3)月平均用电量在[220,240)内的居民 对应的频率为0.0125×20=0.25。 由(2)可知,月平均用电量在[220,240), [240,260),[260,280),[280,300]的四组居 民对应的频率之和为1-0.45=0.55,所以 在[220,240)内的用户中应抽取的户数为 11× 0.25 0.55=5 。 22.提示:(1)用分层随机抽样的方法从 三个学校中一共抽取了6名学生参加强基计 划说明会,则三所学校应抽取的人数分别为 3,1,2。设来自 A 学校的三名学生分别为 A1,A2,A3,来自B 学校的学生为B,来自C 学校的两名学生分别为C1,C2,从这6名中 随机抽取2名学生进行座谈和学情调查,则 总样本空间Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1, B),(A1,C1),(A1,C2),(A2,A3),(A2,B), (A2,C1),(A2,C2),(A3,B),(A3,C1),(A3, C2),(B,C1),(B,C2),(C1,C2)},Ω 共包含 15个样本点。记这2名学生来自不同学校 为事件D,则事件D 包含(A1,B),(A1,C1), (A1,C2),(A2,B),(A2,C1),(A2,C2),(A3, B),(A3,C1),(A3,C2),(B,C1),(B,C2),共 11个样本点,所以P(D)= n(D) n(Ω)= 11 15 。 (2)记“小张至少能通过一所学校的资 格审核”为事件E,“通过甲学校资格审核” 为事件 M,“通过乙学校资格审核”为事件 N,则事件E“小张至少能通过一所学校资 格审核”的对立事件是“两所 学 校 都 通 不 过”。因为事件 M 与 N 相互独立,所以 M 与 N 也 相 互 独 立,所 以 P(E)=1- P(MN)=1-P (M)·P (N)=1- 1- 2 3 1-45 =1415,即小张至少能通过 一所学校资格审核的概率为 14 15 。 23.提示:(1)由AE→=λAB→,可得 AB→= 1 λAE →。由AF→=μAC→,可得AC→= 1 μ AB→。 连接AG 并延长交BC 于点D,则 D 为 BC 的中点。因为G 为△ABC 的重心,所以 AG→=23AD →=23 1 2 (AB→+AC→) =13AB→+ 1 3AC →=13λAE →+13μ AF→。 因为AG→,AE→,AF→ 起点相同,终点共线, 所以 1 3λ+ 1 3μ =1,即 1 λ+ 1 μ =3。 (2)设角A,B,C 所对的边分别为a,b, c,则a=1,b=2。 因为c2=a2+b2-2abcosC=1+4- 1=4,所以c=2,所以S△AEF= 1 2AE ·AF· sin∠EAF= 1 2λAB ·(μAC)·sin∠EAF, S△ABC = 1 2AB ·AC ·sin∠BAC,所 以 S△AEF S△ABC =λμ= 9 20 。 53 核心考点演练 高一数学 2025年6月 由上可得 1 λ+ 1 μ =3, λμ= 9 20 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 结合λ>μ 解得 λ= 3 4 , μ= 3 5 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以AE= 3 2 ,AF= 6 5 。 在△ABC 中,cosA= b2+c2-a2 2bc = 7 8 。 在△AEF 中,EF2=AE2+AF2-2AE·AF· cosA= 27 50 。在 Rt△AHC 中,因为 AH= AC·sinC= 15 2 ,EH→+AF→=AH→-AE→+ AF→=AH→+EF→,HF→+EA→=AF→-AH→- AE→=EF→-AH→,所以(EH→+AF→)·(HF→+ EA→)=(EF→+AH→)·(EF→-AH→)=|EF→|2 -|AH→|2=2750- 15 4=- 321 100 。 24.提示:(1)选择①,即2sinA-sinC- 2sinBcosC=0。在△ABC 中,A=π-(B+ C),所以sinA=sin(B+C),所以2sin(B+ C)-sinC -2sinBcosC =0,整 理 得 2sinBcosC + 2cos Bsin C - sinC- 2sinBcosC=0,即2cosBsinC=sinC。 由0<C<π,可得sinC≠0,所以cosB = 1 2 。又B∈(0,π),所以B= π 3 。 选择 ②,由 2S= 3AB→ ·CB→,可 得 acsinB= 3cacosB,所以tanB= 3。又 B∈(0,π),所以B= π 3 。 选择③,即a2- 23 3 acsinB+c 2=b2。 由余 弦 定 理 b2 =a2 +c2 -2accosB 得 23 3sinB=2cosB ,所以tanB= 3。因为 B∈(0,π),所以B= π 3 。 若b=4,ac=3,由余弦定理b2=a2+ c2-2accosB 得16=a2+c2-2accos π 3= (a+c)2-3ac=(a+c)2-9,所以a+c=5。 (2)由△ABC 为锐角三角形及B= π 3 得 A= 2π 3-C∈ 0 ,π 2 ,且C∈ 0,π2 ,所以C∈ π 6 ,π 2 。由正弦定理 asinA= bsinB= csinC,可 得 a2+c2 b2 = sin2A+sin2C sin2B = 4 3 (sin2A+sin2C)= 4 3 sin 2 2π 3-C +sin2C =23 1-cos22π3- C +1-cos2C􀭤􀭥 􀪁􀪁 = 2 3 2+ 3 2sin2C- 1 2cos2C =43+23sin 2C- π 6 。 因为C∈ π6 ,π 2 ,所以π6<2C-π6< 5π 6 ,所以1 2<sin2C- π 6 ≤1,所以53<43+ 2 3sin2C- π 6 ≤2,所以a 2+c2 b2 的取值范围 是 5 3 ,2 。 25.提示:(1)(方法1)依题意得(m+i)2 -23(m+i)+n=0,整理得m2-1-23m +n+(2m-23)i=0。 由上可得 m2-1-23m+n=0, 2m-23=0, 解得 m= 3,n=4。 (方法2)依题意可得,m-i是方程x2- 23x+n=0的另一个根,结合韦达定理得 m+i+m-i=23, (m+i)(m-i)=n, 解得m= 3,n=4。 (2)由(1)知z1= 3+i。因为z2=1+ 3i,所以 z2 z1 = 1+3i 3+i = (1+3i)(3-i) (3+i)(3-i) = 3 2 + 1 2i ,所以点A(3,1),B(1,3),C 3 2 ,1 2 , 所 以 OA→= (3,1),OB→ = (1,3),OC→ = 3 2 ,1 2 ,所以OC→=12OA→,所以S1S2= OA → OC→ =2。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 郭正华) 63 核心考点演练 高一数学 2025年6月