12 聚焦解三角形的常考题型及解题技巧-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■蒲红俊 解三角形是高中数学的重要知识点,也是 高考解答题重点考查的题型之一,其形式多样, 变化多端,难度中等。此类问题可以有效联系 平面几何与三角函数、平面向量及基本不等式 等知识,是集数学基础知识、数学思想方法、数 学能力技巧、数学核心素养等为一体的一类题 型。下面将对常考题型进行归纳与分析。 一、求解三角形中的基本元素 例1 (2025年河南省名校联盟高三上学 期测试)已知△ABC的内角A,B,C 的对边分 别为a,b,c,且a=1,c=2,B=2C,则b= ( )。 A.2 B.3 C.2 D.6 解:因为 A+B+C=π,B=2C,所以 A=π-3C。由正弦定理 a sinA= c sinC ,可得 2 sinC= 1 sin(π-3C) ,化简得2sin3C=sinC, 所以 2sin(C+2C)=2(sinCcos2C + cosCsin2C)=2(sinCcos2C+2sinCcos2C) =sinC。 因为0<A<π,所以sinC ≠0,所 以 2(cos2C+2cos2C)=1,所 以 2(cos2C+ cos2C+1)=1,所以cos2C=- 1 4 。由a= 1,c=2,结 合 余 弦 定 理 得b2=a2+c2- 2accosB=5-4cosB=5-4cos2C=6,所以 b= 6。应选D。 方法总结:已知两边和两角的关系(或两 角一边或三边的关系),求其他元素,可以运 用正弦定理和余弦定理求解,其中边和角在 公式使用时的转化是解题的关键。 二、判断三角形的形状 例2 (2025年洛阳一高一模)在△ABC 中,a,b,c分别是内角A,B,C 所对的边,且 满足 cosC a = cosA c ,2bcosA=c,则△ABC 的形状是( )。 A.等腰直角三角形 B.等腰钝角三角形 C.等边三角形 D.以上结论均不正确 解:由2bcosA=c>0,可知 A 为锐角。 由余弦定理得2b· b2+c2-a2 2bc =c ,所以b2= a2,所以a=b,所以 B 为锐角。由 cosC a = cosA c ,结 合 余 弦 定 理 得 a2+b2-c2 2ab a = b2+c2-a2 2bc c ,所以a 2+b2-c2 a2 = b2+c2-a2 c2 , 化简得 b2-c2 a2 = b2-a2 c2 。因为b2-a2=0,所 以b2-c2=0,即b=c,所以a=b=c。故 △ABC 是等边三角形。应选C。 方法总结:三角形的类型的判断依据:由 A= π 2 ,可得b2+c2=a2;由 A> π 2 ,可得 cosA= b2+c2-a2 2bc <0 ,即b2+c2<a2;由 A< π 2 ,可得cosA= b2+c2-a2 2bc >0 ,即b2+ c2>a2。 三、三角形的最值问题 例3 (2025年河南大学附中一模)在 △ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b, c, sinC-sinB sinA-sinB= a b+c ,△ABC 的面积S= 3,则a+4b 的最小值为 ,此时△ABC 的周长为 。 解:由sinC-sinB sinA-sinB= a b+c ,结合正弦定理 得 c-b a-b= a b+c ,整理得a2+b2-c2=ab。由余 弦定理得cosC= a2+b2-c2 2ab = 1 2 。因为C∈ 32 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月 (0,π),所以C= π 3 。因为△ABC 的面积S= 3= 1 2absinC= 1 2ab · 3 2 ,所以ab=4。因为 a+4b≥2 a·4b=2 16=8,当且仅当 a=4b,即a=4,b=1时取等号,所以a+4b 的最小值为8。 由余弦定理得c= a2+b2-2abcosC = 16+1-2×4×1× 1 2 = 13 ,所以此时 △ABC 的周长为a+b+c=5+ 13。 方法总结:解答这类问题常见的有两种 方法:一是根据条件确定相关角的范围,把所 求问题转化为相关角的三角函数,利用三角 函数求出相关量的取值范围;二是根据条件 求出相关角或边的取值范围,利用基本不等 式或函数关系式求出相关量的取值范围。 四、三角形的面积问题 例4 (2025年北京昌平一中一模)已知 a,b,c分别为△ABC 的三个内角A,B,C 的 对边,b=1, 。 在下列三个条件中任选一个,补充在上 面横线中,并求解下面的问题。 ①(sinA+sinB)(sinA-sinB)= (sinC-sinB)sinC; ②3bcosA+acosB=b+c; ③asinC= 3ccosA。 (1)求角A 的大小。 (2)若 D 是BC 的中点,AD= 7 4 ,求 △ACD 的面积。 解:(1)选①。由(sinA+sinB)(sinA -sinB)=(sinC-sinB)sinC,结合正弦定 理得(a+b)(a-b)=(c-b)c,所以a2= b2+c2-bc,即bc=b2+c2-a2。 由余 弦 定 理 得cosA= b2+c2-a2 2bc = bc 2bc= 1 2 。因为A∈(0,π),所以A= π 3 。 选②。由3bcosA+acosB=b+c,结合 正弦 定 理 得3sinBcosA+sinAcosB= sinB+sinC,所以2sinBcosA+sin(A+B) =2sinBcosA+sinC=sinB+sinC,所以 2sinBcosA=sinB。因为B∈(0,π),所以 sinB≠0,所以cosA= 1 2 。 又因为A∈(0,π),所以A= π 3 。 选③。由asinC= 3ccosA,结合正弦 定理 得csinA= 3ccosA。因 为c≠0, cosA≠0,所以tanA= 3,所以A= π 3 。 (2)(向 量 法)由 D 是 BC 的 中 点 得 2AD→=AB→+AC→,两 边 平 方 得 (2AD→)2 = (AB→+AC→)2,即(2AD→)2=|AB→|2+2|AB→|· |AC→|·cos<AB→,AC→>+|AC→|2,所 以 4× 7 4 2 =c2+2×c×1× 1 2+1 2,解得c= 1 2 或 c=- 3 2 (不符合题意,舍去)。因为S△ABC= 1 2bcsinA= 3 8 ,所以S△ACD= 1 2S△ABC= 3 16 。 (余弦定理法)因为∠ADB 与∠ADC 互 补,所以cos∠ADB+cos∠ADC=0,所以 a 2 2 + 7 4 2 -c2 2× a 2× 7 4 + a 2 2 + 7 4 2 -12 2× a 2× 7 4 =0, 化简整理得4a2-8c2-1=0。 由BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA, 可得a2=c2+1-c。 由上解得c= 1 2 或c=- 3 2 (不符合题 意,舍去)。 因为S△ABC= 1 2bcsinA= 3 8 ,所以S△ACD = 1 2S△ABC= 3 16 。 方法总结:(2)问,利用三角形的中线,结 合向量、面积及余弦定理等知识进行求解,充 分发掘了题目的价值,体现了对知识的融会 贯通,拓展了思维能力,有利于提高同学们的 数学核心素养。 作者单位:湖北省恩施市第三高级中学 (责任编辑 王琼霞) 42 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月