11 例谈解三角形中的几类典型问题-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■顾珊岚 三角形有三条边和三个角,共六个要素, 解三角形主要是求三角形的边、角、面积及三 角形中的最值。下面就解三角形中的几类典 型问题的求解方法进行归纳,供同学们参考。 题型一:“知三求三”问题 例1 如图1,在四边形ABCD 中,A= 45°,∠ABC=105°,C=60°,BC=1,CD=2。 图1 (1)求∠CBD 的大小。 (2)求AB 的长。 解:(1)在 △BCD 中,由 余 弦 定 理 得 BD2=CD2+BC2-2CD·BCcosC=22+ 12-2×2×1× 1 2=3 ,所以BD= 3。因为 BC=1,CD=2,所以BC2+BD2=CD2,所 以∠CBD=90°。 (2)易得∠ADC=360°-A-∠ABC- C=360°-45°-105°-60°=150°。 由(1)得∠CBD=90°,且C=60°,所以 ∠BDC=30°,所 以 ∠ADB = ∠ADC - ∠BDC=150°-30°=120°。 在△ABD 中,由正弦定理 AB sin∠ADB= BD sinA ,可 得 AB = BD·sin∠ADB sinA = 3× 3 2 2 2 = 32 2 。 点评:对于(1)问,在△BCD 中,已知两 边及夹角,由余弦定理求第三边,即得BD 的 值,再利用勾股定理可得∠CBD 的大小。对 于(2)问,在△ABD 中,已知两角及其中一角 的对边,由正弦定理求得另一角的对边长,即 得AB 的值。 题型二:“边角互化”问题 例2 已知△ABC 的内角A,B,C 的对 边分别为a,b,c,且5a+4b=5ccosB,则 cosC= 。 解:利用5a+4b=5ccosB,既可以化边 为角,也可以化角为边,因此有两种解法。 (化边为角法)由5a+4b=5ccosB 结合 正弦定理得5sinA+4sinB=5sinCcosB。 因为sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C) =sinBcosC+cosBsinC,所以5sinBcosC +4sinB=0,即sinB(5cosC+4)=0。 又因为0<B<π,所以sinB≠0,所以 5cosC+4=0,即cosC=- 4 5 。 (化角为边法)由5a+4b=5ccosB,结合 余弦定理得5a+4b=5c· a2+c2-b2 2ac ,整理 得 a2+b2-c2= - 8 5ab 。所 以 cosC= a2+b2-c2 2ab = - 8 5ab 2ab =- 4 5 。 点评:利用正弦定理化边为角,通过三角 恒等变换,求出cosC 的值,也可以利用余弦 定理 化 角 为 边,通 过 代 数 恒 等 变 形,求 出 cosC 的值。 题型三:三角形的面积问题 例3 如图2,已知△ABC 的内角A,B, C 的对边分别为a,b,c,且满足 3sinA+ cosA=2。 图2 (1)求角A 的大小。 12 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月 (2)若a= 6,D 为边BC 上一点,AD 是 ∠BAC 的平分线,且 AD=1,求△ABC 的 面积。 解:(1)由 3sinA+cosA=2,可 得 sinA+ π 6 =1。 在△ABC 中,A∈(0,π),所以A+ π 6∈ π 6 ,7π 6 ,所以A+π6=π2,即A=π3。 (2)由 AD 为∠BAC 的 平 分 线,可 得 ∠BAD=∠CAD= π 6 。 因 为 S△ABC = S△ABD + S△ACD,所 以 1 2bcsin π 3= 1 2c×1×sin π 6+ 1 2b×1× sin π 6 ,即 3bc=b+c。 ① 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos π 3 , 即b2+c2-bc=6。 ② 由①②解得bc=2。 故S△ABC= 1 2bcsin π 3= 3 2 。 点评:对于(1)问,利用三角恒等变换,求 出角A 的大小。对于(2)问,由角平分线得 到S△ABC=S△ABD+S△ACD,再结合余弦定理求 出bc的值,最后求出三角形的面积。 题型四:最值(或范围)问题 例4 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边 分别为a,b,c,且满足ccosB-(2a-b)cosC =0。 (1)求角C 的大小。 (2)若c=2,求△ABC 面积的最大值。 解:(1)由ccosB-(2a-b)cosC=0,可 得sinCcosB-(2sinA-sinB)cosC=0,即 sinCcosB-2sinAcosC+sinBcosC=0。 由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+ cosBsinC,可得sinA=2sinAcosC。 因为A∈(0,π),所以sinA ≠0,所以 cosC= 1 2 。 又C∈(0,π),所以C= π 3 。 (2)由(1)知C= π 3 ,且c=2。 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,可 得4=a2+b2-2abcos π 3=a 2+b2-ab≥ 2ab-ab=ab,当且仅当a=b 时等号成立, 所以ab≤4。 故S△ABC= 1 2absinC≤ 1 2×4×sin π 3= 3,即△ABC 面积的最大值为 3。 点评:对于(1)问,由正弦定理化边为角, 结合三角形的内角和定理及三角恒等变换, 求出角C 的大小。对于(2)问,由余弦定理 结合C= π 3 ,建立a,b的等量关系,求出ab 的最大值,再求出三角形面积的最大值。 已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别 为a,b,c,且满足(sinB-sinC)2=sin2A- sinBsinC。 (1)求角A 的大小。 (2)若 2a+b=2c,求角C 的大小。 提示:(1)由(sinB-sinC)2=sin2A- sinBsinC,可得(b-c)2=a2-bc,整理得 b2+c2-a2=bc。由余弦定理得cosA= b2+c2-a2 2bc = bc 2bc= 1 2 。因为 A∈(0,π),所 以A= π 3 。 (2)由 2a+b=2c,可得 2sinA+sinB =2sinC。结 合 A = π 3 得 2sin π 3 + sin2π3-C =2sinC,即 62 + 32cosC+ 1 2sinC=2sinC ,整理得sinC- π 6 = 22。 因为C∈ 0, 2π 3 ,所以C-π6∈ -π6,π2 , 所以C- π 6= π 4 ,即C= 5π 12 。 作者单位:江苏省锡东高级中学 (责任编辑 王琼霞) 22 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月