09 射影定理——解题的好帮手&10 例说求平均数的六种题型-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■卢元明 任意三角形的射影定理(也称为第一余 弦定理):在△ABC 中,设角A,B,C 的对边 分别为a,b,c,则a=bcosC+ccosB,b= acosC+ccosA,c=bcosA+acosB。 一、求角 例1 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对 的边 分 别 为 a,b,c,且 满 足 2bcosB = acosC+ccosA,则角B 的大小为 。 解析:由2bcosB=acosC+ccosA,结 合射影定理得2bcosB=b。因为b>0,所以 cosB= 1 2 。又B∈(0,π),所以B= π 3 。 感悟:利用射影定理解题,体现了整体思 想的应用。 二、求三角函数的值 例2 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边 分别为a,b,c,若 cosB b = cosA-2cosC 2c-a ,则 sinC sinA= 。 解析:由cosB b = cosA-2cosC 2c-a ,整理得 bcosA+acosB=2(bcosC+ccosB),结合 射影定理得c=2a。 由正弦定理得 sinC sinA= c a=2 。 感悟:正弦定理的常见用法就是边与角 的转化。 三、求边长 例3 已知△ABC 的内角A,B,C 的对 边分别为a,b,c,满足acosB+bcosA=3, sin2 A+B 2 = 3 4 ,b=3,则a= 。 解析:由acosB+bcosA=3,结合射影 定理 得 c=3。由 sin2 A+B 2 = 3 4 ,可 得 1-cos(A+B) 2 = 1+cosC 2 = 3 4 ,所以cosC = 1 2 。因为C∈(0,π),所以C= π 3 。又因为 b=c=3,C= π 3 ,所以△ABC 是等边三角形, 所以a=3。 感悟:二倍角的余弦公式的变形多、用 途广泛,解 题 时,根 据 题 意 可 选 择 不 同 的 形式。 四、求三角形的周长 例4 设△ABC 的内角A,B,C 所对的 边分别为a,b,c。若a2-b2=(acosB+ bcosA)2,且△ABC 的面积为50,则△ABC 周长的最小值为 。 解析:由题设结合射影定理得a2-b2= c2,即a2=b2+c2,所以A=90°,所以S△ABC= 1 2bc=50 ,即bc=100。△ABC 的周长L= a+b+c=b+c+ b2+c2 =b+c+ (b+c)2-200。因为b>0,c>0,所以b+ c≥2 bc=20,当且仅当b=c=10时取等 号。又因为函数f(x)=x+ x2-200在 x∈[20,+坛)上单调递增,所以当b=c=10 时,Lmin=20+ 202-200=20+102,所以 △ABC 周长的最小值为20+102。 感悟:利用基本不等式求最值时,应注意 等号成立的条件。 五、证明等式 例5 已知△ABC 的内角A,B,C 的对 边分别为a,b,c,满足 cosA a + cosB b = sinC c 。 求证:sinAsinB=sinC。 证明:由题设得c(bcosA+acosB)= absinC,即c2=absinC。由 正 弦 定 理 得 sin2C=sinAsinBsinC。 因为 C∈(0,π),所以sinC≠0,所以 sinC=sinAsinB。 感悟:解题时,从已知条件出发,利用射 影定理和正弦定理即得结论。 作者单位:山东省莒南县新城高级中学 (责任编辑 王琼霞) 81 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月 ■柳丽芳 平均数是重要的数字特征,反映了数据 取值的平均水平,是对总体的一种简明的描 述,它所反映的情况有着重要的实际意义。 平均数、中位数、众数描述其集中趋势。 一、样本平均数的计算 例1 用抽签法抽取的一个容量为5的 样本,它们的样本数据分别为2,4,5,7,9,则 该样本的平均数为( )。 A.4.5 B.4.8 C.5.4 D.6 解析:由样本平均数的定义可得,该样本 的平均数为 2+4+5+7+9 5 =5.4 。应选C。 回味:一般地,总体中有 N 个个体,它们 的样本数据分别为Y1,Y2,…,YN,则Y= Y1+Y2+…+YN N = 1 N∑ N i=1 Yi 为总体均值,又称 为总体平均数。 二、分层随机抽样的平均数计算 例2 高一某班有男生28人,女生21 人,现用按比例分配的分层随机抽样的方法 从该班全体同学中抽取一个容量为7的样 本,已知抽取的男生的平均身高为176cm,抽 取的女生的平均身高为162cm,估计该班全 体同学的平均身高是 cm。 解析:根据题意得抽取的男生人数为 7× 28 28+21=4 ,女生人数为7× 21 28+21=3 。 所以估计该班全体同学的平均身高为 1 7× (176×4+162×3)=170(cm)。 回味:样本的平均数ω 和各层的样本平 均数 的 关 系 为 ω= m m+nx+ n m+ny= M M+Nx+ N M+Ny 。 三、根据统计图求平均数 例3 图1是某学校高一(8)班期中考试 成绩的统计图。根据该图,估计这次考试的 平均成绩为 分。 图1 解析:由图1可知: 有4人成绩在[0,20)之间,其考试分数 之和为4×10=40; 有8人成绩在[20,40)之间,其考试分数 之和为8×30=240; 有10人成绩在[40,60)之间,其考试分 数之和为10×50=500; 有6人成绩在[60,80)之间,其考试分数 之和为6×70=420; 有2人成绩在[80,100]之间,其考试分 数之和为2×90=180。 综上可 得,考 试 总 成 绩 为40+240+ 500+420+180=1380。 因为考生总人数为4+8+10+6+2= 30,所以估计这次考试的平均成绩为 1380 30 = 46(分)。 回味:在统计图中,各组区间的组中值 (即各组区间中点的数值)可以近似地表示每 组数的平均值,因此组中值与对应频率之积 的和反映了数据的平均水平。一般地,若取 值为x1,x2,…,xn 的频率分别为p1,p2,…, pn,则其平均值为x1p1+x2p2+…+xnpn。 四、根据众数与中位数的关系求平均数 例4 一组数据1,10,5,2,x,2,且2< x<5,若该数据的众数是中位数的 2 3 ,则该数 据的平均数为( )。 91 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月 A.3 B.4 C.4.5 D.5 解析:因为2<x<5,所以该组数据由小 到大排列为1,2,2,x,5,10,所以众数是2,中 位数是 2+x 2 。 由2= 2 3× 2+x 2 ,解得x=4。所以该组 数据的平均数是 1 6 (1+2+2+4+5+10)= 4。应选B。 回味:众数是一组数据中出现次数最多 的数,中位数是一组数据按大小顺序排列后, 处于中间位置的数。对于中位数,若一组数 据的个数是偶数,则取中间的两个数据的平 均数。 五、已知样本数据的平均数求新样本数 据的平均数 例5 已知样本数据x1,x2,…,xn 的平 均数x=5,则样本数据2x1+3,2x2+3,…, 2xn+3的平均数为 。 解析:由题设知x= x1+x2+…+xn n = 5,所以所求样本数据2x1+3,2x2+3,…, 2xn+3的平均数: x0= 2x1+3+2x2+3+…+2xn+3 n = 2(x1+x2+…+xn)+3n n =2x+3=2×5+3=13。 回味:若数据x1,x2,…,xn 的平均数是 x,则数据 mx1+a,mx2+a,mx3+a,…, mxn+a的平均数是mx+a。 六、已知方差求平均数 例6 某学校共有学生2000人,其中高 一800人,高二、高三各600人,学校对学生 在暑假中每天的读书时间做了调查统计,全 体学生每天读书时间的平均数为x=3(h), 方差为s2=2.003,其中高一、高二学生每天 读书时间的平均数分别为x1=2.6(h),x2= 3.2(h)。已知三个年级学生每天读书时间的 方差分别为s21=1,s22=2,s23=3,则高三学生 每天读书时间的平均数x3= 。 解析:由样本的方差s2=ω1[s21+(x1- x)2]+ω2[s22+(x2-x)2]+ω3[s23+(x3- x)2],可得2.003= 800 2000 [1+(3-2.6)2]+ 600 2000 [2+(3.2-3)2]+ 600 2000 [3+(x3- 3)2],解得x3=3.3或x3=2.7。 又x=3,所以x3=3.3。 回味:一组数据x1,x2,…,xn 的平均数 为xn= x1+x2+…xn n ,方差s2= 1 n [(x1- x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]。在分层 随机抽样中,样本共有三层,不同层的平均数 分别为x1,x2,x3,方差分别为s21,s22,s23,样本 量占总样本的比例分别为 w1,w2,w3,若样 本的平均数为 x,则样本的方差可表示为 w1[s21+(x1-x)2]+w2[s22+(x2-x)2]+ w3[s23+(x3-x)2]。 记样本x1,x2,…,xm 的平均数为x,样 本y1,y2,…,yn 的平均数为y(x≠y)。若样 本x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn 的平均数为 z= 1 4x+ 3 4y ,则m n 的值为( )。 A.3 B.4 C. 1 4 D. 1 3 提示:因为样本x1,x2,…,xm 的平均数 为x,所以x1+x2+…+xm=mx。因为样 本y1,y2,…,yn 的平均数为y(x≠y),所以 y1+y2+…+yn=ny,所以样本x1,x2,…, xm,y1,y2,…,yn 的 平 均 数 z = x1+x2+…+xm+y1+y2+…+yn m+n = mx+ny m+n = 1 4x+ 3 4y ,整理得(3m-n)x+ (n-3m)y=0,即(3m-n)(x-y)=0。因 为x≠y,所以x-y≠0,所以3m-n=0,故 m n= 1 3 。应选D。 作者单位:湖北省恩施市第三高级中学 (责任编辑 王琼霞) 02 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月