08 立体几何初步学习要点聚焦-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■吴永芳 要点1:平面的基本性质及应用 证明共面的两种方法:先确定一个平面, 再证其余的线(或点)在这个平面内;证两平 面重合。证明共线的两种方法:先由两点确 定一条直线,再证其他各点都在这条直线上; 直接证明这些点都在同一条特定的直线上。 证明线共点问题的常用方法:先证其中两条 直线交于一点,再证其他直线经过该点。 例1 如图1,在空间四边形ABCD 中, H,G 分别是AD,CD 的中点,E,F 分别是 AB,BC 上的点,且 AE AB= CF CB= 1 4 。 图1 求证:(1)点E,F,G,H 四点共面。 (2)直线EH,BD,FG 相交于一点。 证明:(1)在空间四边形ABCD 中,因为 H,G 分别是AD,CD 的中点,所以 HG∥ AC。又 AE AB= CF CB= 1 4 ,所以EF∥AC,所以 EF∥HG,所以E,F,G,H 四点共面。 (2)设 EH 与 FG 交 于 点 P。因 为 EH⊂平面ABD,所以点P 在平面ABD 内。 同理可得,点 P 在平面BCD 内。因为平面 ABD∩平面 BCD=BD,所以点 P 在直线 BD 上,所以直线EH,BD,FG 相交于一点。 要点2:平行问题 证明线线平行的五种方法:平面几何法 (常用的有三角形的中位线平行于底边、平行 四边形对边平行);基本事实4;线面平行的 性质定理;面面平行的性质定理;线面垂直的 性质定理。证明线面平行的三种方法:利用 定义;线面平行的判定定理;面面平行的性 质。证明面面平行的四种方法:利用定义;面 面平行的判定定理;垂直于同一直线的两个 平面平行;面面平行的传递性。 例2 (多选题)如图2所示,已知P 为 矩形ABCD 所在平面外一点,矩形的两条对 角线的交点为O,M 为PB 的中点,则下列结 论正确的是( )。 图2 A.OM∥PD B.OM∥平面PCD C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA 解:对于 A,由 O 为BD 的中点,M 为 PB 的中点,可得 OM∥PD,A 正确。对于 B,因为OM∥PD,OM⊄平面PCD,PD⊂平 面PCD,所以OM∥平面PCD,B正确。对 于 C,因 为 OM ∥PD,OM ⊄ 平 面 PAD, PD⊂平面PAD,所以OM∥平面PAD,C正 确。对于D,显然点 M∈平面PAB,D错误。 应选ABC。 要点3:垂直问题 证明直线和平面垂直的四种方法:利用 判定定理;垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥ α⇒b⊥α);面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥ β);面面垂直的性质。证明线面垂直的关键 是证明线线垂直,而证明线线垂直则需借助 线面垂直的性质,因此,判定定理与性质定理 的合理转化是证明线面垂直的基本思想。 图3 例3 如图3所 示,PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平 面,C 为圆上异于A, B 的 任 意 点,AE ⊥ PC,垂足为 E,点 F 是PB 上的一点,则下 列 判 断 中 不 正 确 的 61 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月 是( )。 A.BC⊥平面PAC B.AE⊥EF C.AC⊥PB D.平面AEF⊥平面PBC 解:对于A,因为C 为圆上异于A,B 的 任意点,且AB 为直径,所以BC⊥AC。易知 PA⊥BC,PA∩AC=A,所以 BC⊥平面 PAC,A 正 确。对 于 B,因 为 BC⊥ 平 面 PAC,AE⊂平面 PAC,所以 BC⊥AE。因 为AE⊥PC,PC∩BC=C,所以AE⊥平面 PBC。又因为EF⊂平面 PBC,所以 AE⊥ EF,B正确。对于C,若AC⊥PB,则AC⊥ 平面PBC,所以AC⊥PC,这与AC⊥PA 矛 盾,所以AC 与PB 不垂直,C错误。对于D, 因为AE⊥平面PBC,AE⊂平面AEF,所以 平面AEF⊥平面PBC,D正确。应选C。 要点4:简单的空间角问题 涉及空间角问题,利用异面直线的定义 作平行线,可得异面直线所成的角,再利用三 角函数求出要求的角。若求出的角是锐角或 直角,则它就是要求的角;若求出的角是钝 角,则它的补角才是要求的角。 例4 (多选题)如图4所示,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB= 2AA1,E,F 分别为AB,BC 的中点,异面直线 AB1 与 C1F 所成角的余弦值为m,则( )。 图4 A.m= 3 3 B.直线A1E 与直线C1F 共面 C.m= 2 3 D.直线A1E 与直线C1F 异面 解:连接 DC1,DF,则 DC1∥AB1,所以 ∠DC1F 就 是 异 面 直 线 AB1 与 C1F 所 成 的角。 已知 AB= 2AA1,ABCD-A1B1C1D1 为正四棱柱,E,F 分别为AB,BC 的中点,设 AA1= 2,容 易 得 到 AB=2,C1D= 6, C1F= 3,DF= 5。在△DFC1 中,由余弦 定理得cos∠DC1F= 6+3-5 2× 6× 3 = 2 3 ,所以 m= 2 3 。因为 A1C1∥AC,EF∥AC,所以 EF∥A1C1,所以A1E 与C1F 共面。综上可 知,应选BC。 如图5 所 示,在 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,四边形BCC1B1 为正 方形,BC=2AB=4,AB⊥BC,D 为C1B1 的 中点,则异面直线 A1C1 与 AD 所成角的余 弦值为 。 图5 提示:过点D 作DF∥A1C1 交 A1B1 于 点F,则∠ADF 就是异面直线A1C1 与 AD 所成的 角(或 所 成 角 的 补 角)。在 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AA1⊥平面 ABC,四 边形 BCC1B1 为 正 方 形,BC=2AB=4, AB⊥BC,D 为C1B1 的中点,结合题意得 AD= AA21+A1D2 =26,DF= 1 2A1C1= 5,AF= AA21+A1F2= 17,所以异面直线 A1C1 与AD 所成角的余弦值为cos∠ADF= AD2+DF2-AF2 2×AD×DF = 24+5-17 2×26×5 = 30 10 。 作者单位:北京市仁泽高级中学 (责任编辑 王琼霞) 71 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月