04 复数问题考点聚焦-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■杨晓华 考点1:复数的基本概念 处理复数概念问题的两个注意点:当复 数不是a+bi(a,b∈R)的形式时,要通过变 形化为a+bi的形式,以便确定其实部和虚 部;要注意实部和虚部本身对变量的要求,否 则容易产生增根。 例1 已知复数z=a+bi(a,b∈R)满足 |z|= 5,且z-1为纯虚数,则z=( )。 A.1+2i B.2-i C.2±i D.1±2i 解:由z=a+bi(a,b∈R),且满足|z|= 5,可得a2+b2=5。由z-1=(a-1)+bi 为纯虚数,可得a=1,结合a2+b2=5,解得 b=±2。所以z=1±2i。应选D。 跟踪训练1:已知复数z=- 1 5+ 2 5i (i 为虚数单位),则z的虚部为 。 提示:由复数z=- 1 5+ 2 5i (i为虚数单 位),可得z=- 1 5- 2 5i ,所以z 的虚部为 - 2 5 。 考点2:复数的几何意义 复数z、复平面上的点Z 及向量OZ→ 相 互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔ OZ→。由于复数、点、向量之间建立了一一对 应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联 系在一起,运用数形结合的方法,使得问题的 解决更加直观。 例2 已知复数z满足(1+i)z=4(i为 虚数单位),则复数z- 2在复平面内对应点 所在的象限为( )。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解:由(1+i)z=4,可 得 z= 4 1+i= 4(1-i) (1+i)(1-i)=2-2i ,所以z- 2=(2- 2)-2i,可知在复平面内对应点的坐标为 (2- 2,-2),此点位于第四象限。应选D。 跟踪训练2:在复平面内,O 是坐标原 点,向量OA→ 对应的复数是-2+i,若点A 关 于实轴的对称点为B,则向量OB→ 对应复数 的模为 。 提示:由向量OA→ 对应的复数是-2+i, 可得点A(-2,1)。因为点A 关于实轴的对 称点为B,所以点B(-2,-1),所以向量OB→ 对应的复数为-2-i,其模为|-2-i|= 5。 考点3:复数的四则运算 复数的四则运算一般用代数形式,加、 减、乘运算按多项式运算法则计算,除法运算 需把分母实数化。复数运算过程中常用的公 式:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈ N*);(1±i)2=±2i;1 2± 3 2i 3 =-1。 例3 若3a+2bi=i4+i3(a,b∈R),则 复数z=a+bi的虚部为 。 解:因为3a+2bi=i4+i3=1-i,所以 3a=1, 2b=-1, 即a=13,b=-12。所以复数z= a+bi的虚部为- 1 2 。 跟踪训练3:若复数z满足方程z2+2= 0,则z3= 。 提示:由z2+2=0,可得z2=-2,所以 z=± 2i。当 z= 2i时,z3=(2i)3= -22i;当z=-2i时,z3=(-2i)3=22i。 故z3=±22i。 考点4:共轭复数 涉及共轭复数问题,可利用共轭复数的 概念,结合题目条件求解。 例4 (多选题)已知复数ω=- 1 2+ 3 2i 8 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月 (i是虚数单位),ω 是ω 的共轭复数,则下列 结论正确的是( )。 A.ω2=ω B.ω3=-1 C.ω2+ω+1=0 D.ω>ω 解:易得ω=- 1 2- 3 2i ,ω2= 1 4- 3 2i- 3 4=- 1 2- 3 2i=ω ,A 正确。ω3=ω2ω= - 1 2- 3 2i -12+ 32i = 14 - -34 = 1,B错误。ω2+ω+1=- 1 2- 3 2i- 1 2+ 3 2i +1=0,C正确。虚数不能比较大小,D错 误。应选AC。 跟踪训练4:已知复数z满足(3+4i)z= 7+i,则z的共轭复数z的虚部是( )。 A.i B.1 C.-1 D.-i 提示:已知复数z满足(3+4i)z=7+i。 所 以 z = 7+i 3+4i= (7+i)(3-4i) (3+4i)(3-4i)= 21+3i-28i-4i2 9-16i2 =1-i,所以z=1+i,所以 z的共轭复数z的虚部为1。应选B。 考点5:复数的模 求复数的模时,应先将题目中的式子进 行变形,求出复数z的代数形式z=a+bi,再 求模。 例5 设复数z 满足|z-i|=1,z 在复 平面内对应的点为(x,y),则( )。 A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 解:(方法1)由z 在复平面内对应的点 为(x,y),可得z=x+yi(x,y∈R)。因为 |z-i|=1,所以|x+(y-1)i|=1,所以x2+ (y-1)2=1。应选C。 (方法2)因为|z-i|=1表示复数z 在 复平面内对应的点(x,y)到点(0,1)的距离 为1,所以x2+(y-1)2=1。应选C。 跟踪训练5:设复数z1,z2 满足|z1|= |z2|=2,z1+z2= 3+i,则|z1-z2|= 。 提示:设z1=x1+y1i(x1,y1∈R),z2= x2+y2i(x2,y2∈R)。由|z1|=|z2|=2,可 得x21+y21=x22+y22=4。因为z1+z2=x1+ x2+(y1+y2)i= 3+i,所以|z1+z2|2=(x1 +x2)2+(y1+y2)2=x21+y21+x22+y22+ 2x1x2+2y1y2=8+2x1x2+2y1y2=(3)2 +12=4,所以2x1x2+2y1y2=-4。 故|z1-z2|=|x1-x2+(y1-y2)i| = (x1-x2)2+(y1-y2)2 = x21+y21+x22+y22-2x1x2-2y1y2 = 8+4=23。 考点6:方程思想在复数中的应用 涉及复数的分类、几何意义、模的运算、 四则运算、共轭复数等问题,都可以转化为实 数x,y 应满足的方程(组),因此方程思想是 解决复数问题的主要思想方法。 例6 已 知 f(z)=|1+z|-z,且 f(-z)=10+3i,求复数z。 解:因 为 f(z)=|1+z|-z,所 以 f(-z)=|1-z|+z。设z=a+bi(a,b∈ R),则z=a-bi。由f(-z)=10+3i,可得 |1-(a+bi)|+a-bi=10+3i,所 以 (1-a)2+b2+a=10,-b=3,解得a=5, b=-3,所以复数z=5-3i。 跟踪训练6:满足z+ 5 z 是实数,且z+3 的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在? 若存在,求出虚数z;若不存在,请说明理由。 提示:设虚数z=x+yi(x,y∈R,且 y≠0),则z+ 5 z =x+yi+ 5 x+yi =x+ 5x x2+y2 + y- 5y x2+y2 i,z+3=(x+3)+ yi。由题意得 y- 5y x2+y2 =0, x+3=-y, 结合y≠0得 x2+y2=5, x+y=-3, 解得 x=-1 , y=-2 或 x=-2 , y=-1。 故存 在虚数z=-1-2i或z=-2-i满足题意。 作者单位:上海市通河中学 (责任编辑 王琼霞) 9 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月