06 概率问题学习重点揭秘-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■朱峰佑 揭秘1:事件关系的运算 进行事件的运算时,一要紧扣运算的定 义,二要全面考虑同一条件下的试验可能出 现的全部结果,必要时可列出全部的试验结 果进行分析。当事件是由互斥事件组成时, 要注意运用互斥事件的概率加法公式。 例1 某商场进行有奖销售,购满100元 商品得1张奖券,多购多得。1000张奖券为 一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个, 二等奖50个。设1张奖券中特等奖、一等 奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求: (1)P(A),P(B),P(C)。 (2)1张奖券的中奖概率。 (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖 的概率。 解:(1)由 题 意 得 P (A)= 1 1000 , P(B)= 10 1000= 1 100 ,P(C)= 50 1000= 1 20 。 (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等 奖、二等奖。 设“1张奖券中奖”这个事件为 M,则 M=A∪B∪C。 因为 事 件 A,B,C 两 两 互 斥,所 以 P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+ P(C)= 1+10+50 1000 = 61 1000 。 故1张奖券的中奖概率为 61 1000 。 (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等 奖”为事件N,则事件 N 与“1张奖券中特等 奖或中一等奖”为对立事件,所以 P(N)= 1-P(A∪B)=1- 11000+ 1 100 =9891000。 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的 概率为 989 1000 。 揭秘2:古典概型 古典概型是每年高考的必考点,可以单 独考查,也可以与统计中的频率分布直方图 综合考查。求古典概型的概率的关键是求试 验的样本点的总数和事件 A 包含的样本点 的个数,这就需要正确求出试验的样本空间, 样本空间的表示方法有列举法、列表法和树 形图法,具体应用时可根据需要灵活选择。 例2 设连续掷两次骰子得到的点数分 别为m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1, -3)。 (1)求使得事件“a⊥b”发生的概率。 (2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率。 解:(1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6}, n∈{1,2,3,4,5,6},所以(m,n)所有的可能 取法共有36种。由a⊥b,可得 m-3n=0, 即m=3n,可知共有2种,即(3,1),(6,2)。 所以事件“a⊥b”的概率为 2 36= 1 18 。 (2)由|a|≤|b|,可得m2+n2≤10,可知 共有6种,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2, 2),(3,1)。所以事件“|a|≤|b|”的概率为 6 36= 1 6 。 揭秘3:事件的相互独立性 高考对相互独立事件的考查主要有两个 方面,一是判断相互独立事件,二是计算相互 独立事件的概率。相互独立事件中,求复杂 事件概率的解题思路:将待求复杂事件转化 为几个彼此互斥的简单事件的和;将彼此互 斥的简单事件中的简单事件,转化为几个已 知(易求)概率的相互独立事件的积事件;代 入概率的和、积公式求解。 例3 有6个相同的小球,分别标有数字 1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每 次取1个小球。甲表示事件“第一次取出的 小球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出 21 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月 的小球的数字是2”,丙表示事件“两次取出 的小球的数字之和是8”,丁表示事件“两次 取出的小球的数字之和是7”,则( )。 A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 解:由题意得事件甲发生的概率P(甲) = 1 6 ,事件乙发生的概率P(乙)= 1 6 ,事件丙 发生的概率P(丙)= 5 6×6= 5 36 ,事件丁发生 的概率P(丁)= 6 6×6= 1 6 。因为事件甲与事 件丙同时发生的概率为0,所以P(甲丙)≠ P(甲)P(丙),A错误。因为事件甲与事件丁 同时发生的概率为 1 6×6= 1 36 ,所以P(甲丁) =P(甲)P(丁),B正确。因为事件乙与事件 丙 同 时 发 生 的 概 率 为 1 6×6= 1 36 ,所 以 P(乙丙)≠P(乙)P(丙),C错误。事件丙与 事件丁是互斥事件,不是相互独立事件,D错 误。应选B。 揭秘4:概率与统计的交汇 概率与统计是高考的常考点,高考主要 考查概率与统计中的频率分布直方图的交汇 问题。 例4 某企业为了解下属某部门对本企 业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据 这50名职工对该部门的评分,得到如图1所 示的频率分布直方图,其中样本数据分组区间 为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100]。 图1 (1)求频率分布直方图中a的值。 (2)估计该企业的职工对该部门评分不 低于80的概率。 (3)从评分在[40,60)的受访职工中,随 机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的 概率。 解:(1)因 为 (0.004+a+0.018+ 0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006。 (2)由频率分布直方图可知,50名受访 职工 评 分 不 低 于 80 的 频 率 为(0.022+ 0.018)×10=0.4,所以估计该企业的职工对 该部门评分不低于80的概率为0.4。 (3)受 访 职 工 中 评 分 在[50,60)的 有 50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;受 访职工中评分在[40,50)的有50×0.004× 10=2(人),记为B1,B2。从这5名受访职工 中随机抽取2人,所有可能的结果共有10 种,即(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1, B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3, B1),(A3,B2),(B1,B2)。因为所抽取2人 的评分都在[40,50)的结果有1种,即(B1, B2),所以此2人的评分都在[40,50)的概率 为 1 10 。 孪生素数也称为孪生质数,是数论中一 个重要的概念,就是指两个相差2的素数,例 如5和7。在大于3且不超过20的素数中, 随机选取2个不同的数,恰好是一组孪生素 数的概率为( )。 A. 3 56 B. 3 28 C. 1 7 D. 1 5 提示:大于3且不超过20的素数为5,7, 11,13,17,19,共6个。随机选取2个不同的 数的所有可能结果为(5,7),(5,11),(5,13), (5,17),(5,19),(7,11),(7,13),(7,17),(7, 19),(11,13),(11,17),(11,19),(13,17), (13,19),(17,19),共15种,其中恰好是一组 孪生素数的为(5,7),(11,13),(17,19),共3 种。故随机选取2个不同的数,恰好是一组 孪生素数的概率为 3 15= 1 5 。应选D。 作者单位:重庆师范大学 (责任编辑 王琼霞) 31 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月