07 复数四类压轴题猜测揭秘-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■雍志剑 数系的扩充与复数的引入在高考中以难 度小或中档的小题进行考查,试题具有活而 不难的特点,且常考常新,要求同学们具有灵 活处理问题的能力。 揭秘一:复数有关概念中的“分类意识” 例1 (2024年郑州一中高一单元测试) 已知z为复数,ω=z+ 9 z 为实数。 (1)当-2<ω<10时,求复数z 在复平 面内对应的点Z 的集合。 (2)当-4<ω<2时,若u= α-z α+z (α>0) 为纯虚数,求α的值和|u|的取值范围。 解:(1)设z=x+yi,x,y∈R,则ω= z+ 9 z =x+yi+ 9 x+yi =x+ 9x x2+y2 + y- 9y x2+y2 i为实数,所以y- 9yx2+y2=0, 可得y=0或x2+y2=9。 当y=0时,ω=x+ 9 x 。由-2<ω<10, 可得-2<x+ 9 x<10 。当x>0时,解得1< x<9;当x<0时,不等式的解集为空集。所 以点Z 的集合为{(x,y)|y=0(1<x<9)}。 当x2+y2=9时,ω=2x。由-2<ω< 10,可得-2<2x<10,解得-1<x<5。又 x2+y2=9,可得-1<x≤3,所以点Z 的集 合为{(x,y)|x2+y2=9(-1<x≤3)}。 综上可得,复数z 在复平面内对应的点 Z 的集合为{(x,y)|y=0(1<x<9)}或{(x, y)|x2+y2=9(-1<x≤3)}。 (2)由(1)可得,当y=0时,ω=x+ 9 x 。 由-4<ω<2,可得-4<x+ 9 x<2 。当x< 0时,x+ 9 x≤-2 x ·9 x =-6 ,当x>0 时,x+ 9 x≥2 x ·9 x =6 ,所以不等式-4< x+ 9 x<2 的解集为空集。所以不存在满足 条件的ω。 当x2+y2=9时,ω=2x。由-4<ω< 2,可得-4<2x<2,解得-2<x<1。由u= α-x-yi α+x+yi = (α-x-yi)(α+x-yi) (α+x+yi)(α+x-yi) = α2-2yαi-9 α2+2αx+9 = α2-9 α2+2αx+9 - 2yα α2+2αx+9 i为 纯虚数,可得α2-9=0且2yα≠0。由α>0, 可得α=3,y≠0,所以u= -6yi 18+6x= -yi 3+x 。 由x∈(-2,1),可得|u|= y 2 (3+x)2 = 9-x2 (3+x)2 = 3-x 3+x = 6 x+3-1 ∈ 2 2 ,5 。 故α=3,|u|∈ 2 2 ,5 。 感悟:由实数扩充到复数后,实数系的有 些性质、运算法则对复数系并不适用,因此解 答复数问题,要依据复数的概念合理进行转 化,不能轻易将实数系中的一些运算法则或 性质照搬到复数系内。 揭秘二:函数与方程思想转化为求模的 最值 例2 (2024年北京昌平实验中学高一 测试)已知复数z1=sinθ+2i,z2=1+i· cosθ,则 14-|z1+iz2|2 |z1-iz2| 的最小值为( )。 A.2 B.22 C.23 D.前三个答案都不对 解:不妨令 M= 14-|z1+iz2|2 |z1-iz2| 。 因 为 M = 14-|sinθ-cosθ+3i|2 |sinθ+cosθ+i| = 14-(sinθ-cosθ)2-9 (sinθ+cosθ)2+1 = 4+2sinθcosθ 2+2sinθcosθ = 41 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月 2+sin2θ+ 2 2+sin2θ ≥2 2,当且仅当 sin2θ=0时等号成立,所以所求的最小值是 22。应选B。 感悟:利用复数的模的意义,将问题转化 为均值不等式求解的思维过程,实质是提取 问题的数学特征,用联系与变化的观点看待 数学对象,建立函数关系,实现函数与方程的 相互转化,以达到解决问题的目的。 揭秘三:欧拉公式有关问题转化为复数 三角形式的乘方运算 例3 (2024年河北邢台高一校联考阶 段练习)(多选题)欧拉公式exi=cosx+ isinx 是由瑞士著名数学家欧拉创立,该公式 将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了 三角函数与指数函数的关联,在复变函数论 里面占有非常重要的地位,被誉为数学中的 天桥。依据欧拉公式,则下列说法中正确的 是( )。 A.e3i对应的点位于第二象限 B.e2πi为实数 C. exi 3+i 的模长等于 1 2 D.e π 3i的共轭复数为 1 2+ 3 2i 解:借助欧拉公式,结合复数的概念与运 算进行判断。对于 A,由e3i=cos3+isin3, 可知 对 应 的 点 为 (cos3,sin3),由 3∈ π 2 ,π ,可得cos3<0,sin3>0,所以e3i 对 应的点位于第二象限,A正确。对于B,由题 意得e2πi=cos2π+isin2π=1为实数,B正 确。由 e xi 3+i = (cosx+isinx)(3-i) (3+i)(3-i) = (3cosx+sinx)-(cosx- 3sinx)i 4 = 1 2sinx+ π 3 -i 12cosx+π3 ,结合复数 模的运算易得 exi 3+i = 1 2 ,C正确。对于 D,由e π 3i=cos π 3+isin π 3= 1 2+ 3 2i ,可得 e π 3i的共轭复数为 1 2- 3 2i ,D 错误。应选 ABC。 感悟:欧拉公式的实质是给出了复数的 三角形式。解答本题的关键是要掌握复数的 三角形式与代数形式的转化,以及复数的模 的意义和复数的运算。 揭秘四:复数范围内的一元二次方程的 根的情况 例4 (2024年上海复旦附中高三测试) (多选题)已知方程x2+2(1+i)x+(a- b)i+2ab=0(a,b∈R),则下列说法正确的是 ( )。 A.若方程有一根为0,则a=0且b=0 B.方程可能有两个实数根 C.当ab< 1 2 时,方程可能有纯虚数根 D.若方程存在实数根x0,则x0≤0或 x0≥2 解:对于A,已知方程有一根为0,代入 方程得(a-b)i+2ab=0,所 以 a=b 且 2ab=0,即a=0且b=0,A正确。对于B,已 知方程变形为x2+2x+2ab+(a-b+2x)i =0,所以x2+2x+2ab=0,a-b+2x=0, 所以x= b-a 2 ,即只有一解,B错误。对于 C,当a=0且b=0时,方程仅存在一解x= 0,此时无纯虚根,C错误。对于D,若方程存 在实数根x0,则x0= b-a 2 ,代入方程得b2+ a2+4b-4a+6ab=0,即(b-a)2+4(b-a) -8(-a)b=0。结合基本不等式(-a)b≤ (b-a)2 4 得(b-a)2+4(b-a)-2(b-a)2≤ 0,所以(b-a)≤0或(b-a)≥4,所以x0≤0 或x0≥2,D正确。应选AD。 感悟:复数范围内的一元二次方程的根 的情况,判别式失效,根与系数的关系成立, 常设根为标准的代数形式,代入化简转化为 方程等于0的充要条件求解,有时借助根与 系数的关系整体求解。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 王琼霞) 51 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月