05 例说空间中六种距离的求法-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■王玉林 空间距离是从数量的角度研究空间中的 点、线、面之间的相对位置,是高中空间几何 体中的重要内容。下面举例说明空间中六种 距离的求法。 一、两点间的距离(侧棱长) 例1 若一个正四棱锥的底面是边长为 2的正方形,高为 2,则侧棱长为 。 解:如图1,正四棱锥P-ABCD。 图1 因为正四棱锥的底面是边长为2的正方 形,高PO= 2,所以AO= 1 2AC= 2 ,所以 侧棱长PA= AO2+PO2=2。 评注:空间中两点间的距离可转化为平 面上两点间的距离,结合勾股定理求解。 二、点到直线的距离 例2 如图2所示,在长方体 ABCD- 图2 A1B1C1D1 中,AB=1,BC =2,AA1=3,则点B 到直 线A1C 的距离为( )。 A. 16 14 B. 2 35 7 C. 35 7 D.1 解:易得 BA1= AB2+AA21 = 10。 由长方体的性质得BC⊥BA1,所以 A1C= BC2+BA21= 14。设点B 到直线A1C 的 距离为h,则S△BCA1= 1 2×BC×BA1= 1 2× h×A1C,即2× 10=h× 14,解得h= 2 35 7 ,即点B 到直线A1C 的距离为 2 35 7 。 应选B。 评注:空间中,求点到直线的距离,通常 构造三角形,利用等面积法求解。 三、点到平面的距离 例3 如图3所示,在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,AD=AA1=2,AB=4,点E 是棱AB 的中点,则点E 到平面ACD1 的距 离为( )。 图3 A.1 B. 2 3 C. 4 3 D.2 解:设点 E 到平面ACD1 的距离为h。 因为E 是棱AB 的中点,所以点 E 到平面 ACD1 的距离等于点B 到平面ACD1 的距离 的一半。又平面ACD1 过BD 的中点,所以 点B 到平面ACD1 的距离等于点 D 到平面 ACD1 的 距 离。由 等 体 积 法 得 VD-ACD1 = VD1-ACD,所以 1 3S△ACD1 ·2h= 1 3S△ACD ·DD1。 易得S△ACD= 1 2×2×4=4 ,DD1=2。 在等 腰 △ACD1 中,由 AD1 =2 2, AC=CD1=25,可得S△ACD1= 1 2×2 2× (25)2-(2)2=6。 所以 1 3×6×2h= 1 3×4×2 ,解得h= 01 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月 2 3 ,即点E 到平面ACD1 的距离为 2 3 。 评注:点到平面的距离是指这个点到这 个平面上的最短线段长度。 四、异面直线上的两点距离 例4 如图4,在棱长为2的正四面体 ABCD 中,E,F 分别是AB,CD 的中点,则 E,F 两点间的距离为 。 图4 解:由正四面体的性 质 可 得,△BCD, △ACD 为全等的等边三角形,且边长为2。 因为F 为CD 中点,所以BF=AF= 3。 在等腰△FAB 中,因为E 为AB 的中点,所以 EF⊥AB,所以EF= AF2- AB2 2 = 2,即 E,F 两点间的距离为2。 评注:易知题中EF⊥AB,且EF⊥CD, 即线段EF 的长就是两异面直线AB 与CD 间的距离。两异面直线间的距离就是两异面 直线的公垂线段的长。 五、直线到平面的距离 例 5 如 图 5,已 知 正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 的棱长为 a,则 棱 BB1 到 平 面 AA1C1C 的距离为( )。 图5 A. 3 3a B.a C. 2 2a D.2a 解: 在 正 方 形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥ B1D1。因为 AA1⊥平面 A1B1C1D1,B1D1 ⊂平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D1。因为 AA1 ∩ A1C1 = A1,AA1,A1C1 ⊂ 平 面 AA1C1C,所以B1D1⊥平面AA1C1C。又因 为棱BB1∥平面AA1C1C,所以B1O 的长即 为棱BB1 到平面AA1C1C 的距离。 由 B1O = 2 2a ,可 得 棱 BB1 到 平 面 AA1C1C 的距离为 2 2a 。应选C。 评注:解答本题的关键是证明直线与平 面平行,直线与平面垂直。 六、平面到平面的距离 例6 已知球的半径为5,若用两个平行 的平面截该球所得的截面面积分别为9π和 25π,则这两个平行平面间的距离为 。 解:由截面圆的面积为25π,可知圆的半 径为5,所以此截面圆过球心。 由截面圆的面积为9π,可知圆的半径为 3,所以球心到此截面圆的距离d= 52-32 =4,即这两个平行平面间的距离为4。 评注:截面的面积为25π的圆即为球的 大圆。 已知△ABC 是面积为 93 4 的等边三角 形,且其顶点都在球O 的球面上。若球O 的 表面积为16π,则球心O 到平面ABC 的距离 为( )。 A.3 B. 3 2 C.1 D. 3 2 提示:设球 O 的半径为R,则4πR2= 16π,解得R=2。设△ABC 的边长为a,外接 圆的半径为r。因为△ABC 是面积为 93 4 的 等边三角形,所以1 2a 2× 3 2= 93 4 ,解得a= 3,所 以 △ABC 的 外 接 圆 半 径r= 2 3 × a2- a2 4= 3 。所以球心O 到平面ABC 的 距离d= R2-r2= 4-3=1。应选C。 作者单位:湖北省恩施土家族苗族自治 州高级中学 (责任编辑 王琼霞) 11 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月