03 解三角形中三类压轴题揭秘-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■李 聪 压轴题一:三角形周长或边长范围探究 中的“三角变换和单调性法” 例1 已知锐角△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且B= π 3 ,c=2,则 △ABC 的周长的取值范围为( )。 A.(3+ 3,2+23) B.(3+ 3,4+23) C.(3+ 3,6+23) D.(3+ 3,+∞) 解:由 B= π 3 ,c=2,结合正弦定理得 a sinA= b sin π 3 = 2 sinC ,所以b= 3 sinC ,a= 2sinA sinC = 2sin2π3-C sinC = 2sin π3+C sinC = 3cosC+sinC sinC 。 据上得a+b= 3cosC+sinC sinC + 3 sinC= 3(cosC+1) sinC +1= 23cos2 C 2 2sin C 2cos C 2 +1= 3cos C 2 sin C 2 +1= 3 tan C 2 +1。因为△ABC 为锐角三角形, 所以 0<C< π 2 , 0<A= 2π 3-C< π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以 π 6<C< π 2 ,可 得 π 12< C 2< π 4 ,所以tan π 12<tan C 2<1 。 又因为tan π 6= 2tan π 12 1-tan2 π 12 = 3 3 ,所以 tan π 12=2- 3 或tan π 12=-2- 3 (舍去), 所以2- 3<tan C 2<1 ,所以1< 1 tan C 2 < 1 2- 3 = 3+2,所以 3+1< 3 tan C 2 +1< 4+2 3,即 3+1<a+b<4+2 3,所以 3+3<a+b+c<6+23,即△ABC 的周 长的取值范围为(3+ 3,6+23)。应选C。 揭秘:利用正弦定理得到b= 3 sinC ,a= 2sinA sinC ,再将a+b转化为角C 的三角函数, 结合正切函数的单调性求解。 压轴题二:三角形周长或边长范围探究 中的“三角变换和二次函数法” 例2 在锐角三角形ABC 中,角A,B, C 的 对 边 分 别 为a,b,c,已 知 acosB- bcosA=b,则 b a+c 的取值范围是( )。 A. 3 3 ,2 2 B.(2- 3,1) C.(2- 3,2-1) D.(2+1,3+2) 解:由acosB-bcosA=b,结合正弦定理 得sinAcosB-sinBcosA=sinB,即sin(A- B)=sinB,所以A-B=B,即A=2B。 因为A+B+C=π,所以C=π-3B。 由△ABC 为锐角三角形,可得不等式组 0<A< π 2 , 0<B< π 2 , 0<C< π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 所以 0<2B< π 2 , 0<B< π 2 , 0<π-3B< π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 π 6< B< π 4 。 6 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月 结合正弦定理得 b a+c= sinB sinA+sinC= sinB sin2B+sin(π-3B)= sinB sin2B+sin3B = sinB sin2B+sin2BcosB+cos2BsinB = 1 4cos2B+2cosB-1 。 令cosB=t,因为 π 6<B< π 4 ,所以t∈ 2 2 ,3 2 。因为函数y= 14t2+2t-1在t∈ 2 2 ,3 2 上单调递减,所以y∈(2- 3,2- 1),即 b a+c∈ (2- 3,2-1)。应选C。 揭秘:由正弦定理得到A=2B,由锐角三 角形求出 π 6<B< π 4 ,再将 b a+c 的取值范围转 化为二次函数在区间上的值域问题求解。 压轴题三:三角形面积最值探究中的“三 角变换和不等式法” 例3 已知△ABC 的内角A,B,C 所对的 边分别为a,b,c,2csinBcosC=(2a+c)sinC。 (1)求角B 的大小。 (2)若 3asinC=1,求△ABC 面积的最 小值。 解:(1)由2csinBcosC=(2a+c)sinC, 结合正弦定理得2sinCsinBcosC=(2sinA +sinC)sinC。 因为△ABC 的内角C∈(0,π),即sinC ≠0,所以2sinBcosC=2sinA+sinC,所以 2sinBcosC =2sin(B +C)+sinC = 2sinBcosC+2cosBsinC +sinC,所 以 2cosBsinC+sinC=0。 因为sinC≠0,所以cosB=- 1 2 。又 0<B<π,所以B= 2π 3 。 (2)由 3asinC=1,可得 3 2asinC= 3 2=sinB ,结合正弦定理得b= 3 2ac 。 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos 2π 3 , 所以a2+c2=b2-ac。 由基本不等式得b2-ac=a2+c2≥2ac。 因为b= 3 2ac ,所以9 4 (ac)2-ac≥2ac,可得 ac≥ 4 3 或ac≤0(舍去),当且仅当a=c= 23 3 时取等号,所以ac的最小值为 4 3 。 因为S△ABC= 1 2acsinB= 3 4ac≥ 3 3 ,所 以△ABC 面积的最小值为 3 3 。 揭秘:由 3asinC=1,可得b= 3 2ac ,由 余弦定理得a2+c2=b2-ac,结合基本不等 式得 ac≥ 4 3 ,进 而 得 到△ABC 面 积 的 最 小值。 已知△ABC 中,角A,B,C 的对边分别 是a,b,c,且2cos2 B 2= 3sin (A+C)。 (1)求角B 的值。 (2)若b= 13,求a+c的最大值。 提示:(1)因为2cos2 B 2= 3sin (A+C) = 3sinB,所以1+cosB= 3sinB,所以 2 3 2sinB- 1 2cosB =1,即sinB-π6 = 1 2 ,所以B- π 6= π 6 或B- π 6= 5π 6 (舍去),所 以B= π 3 。 (2)由余弦定理得b2=13=a2+c2- ac=(a+c)2-3ac,所以13+3ac=(a+c)2。 由均值不等式得13+3ac=(a+c)2≤13+ 3a+c2 2 ,所以(a+c)2≤4×13,注意a,c∈ (0,+∞),所以a+c≤2 13,当且仅当a= c= 13时取等号,所以当△ABC 为正三角 形时,a+c取得最大值2 13。 作者单位:贵州省望谟民族中学 (责任编辑 王琼霞) 7 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月