专题03 三角函数中的八类压轴题（解答题）（专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题03 三角函数中的八类压轴题（解答题） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角函数零点（方程的根）及零点个数问题 1 题型二、方程的解、实数根含参问题（常考点） 6 题型三、三角函数恒成立含参问题（重点） 12 题型三、三角函数能成立（有解）含参问题（重点） 18 题型五、三角函数最值与值域 23 题型六、三角函数中的不等式与证明 28 题型七、三角函数的实际应用问题（常考点） 33 题型八、新定义问题（难点） 39 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角函数零点（方程的根）及零点个数问题 1.（25-26高一上·广东·专项训练）设为常数，函数.(1)当时，求的值域；(2)讨论在区间上的零点的个数；(3)设为正整数，在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数的值. 【答案】(1)(2)答案见解析(3)答案见解析 【详解】（1）由题意，令，， 所以，，所以，，， 当时，，对称轴，所以，， ，所以，故的值域为. （2）由（1）知，记的两零点为，， 当，即时，则，无零点； 当，即时，则，有个零点； 当，即时，则，有个零点； （3）由（1）（2）知，有两个零点，， 当，即时，得，在（为正整数），内零点个数为， 在内零点个数为，因为，所以； 当，即时，，在（为正整数）内零点个数为， 在内零点个数为，此时不存在； 当时，则，，在和（为正整数）内零点个数均为， 因为，所以或； 当时，则，，在（为正整数）内零点个数均为， 所以； 当，则，，在和（为正整数）内零点个数均为， 所以或； 综上的所有可能值为，，，，. 2．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数（为正整数）在区间上恰有3个零点．(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的零点． 【答案】(1)(2)0，，，， 【详解】（1）因为为正整数，所以当时，， 因为在区间上恰有3个零点，所以，得， 而为正整数，所以，则. （2）由， 由，得，即， 所以或，则或， 因为，所以或或或或， 则函数在区间上的零点为0，，，，. 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)写出由的图象变换得到的图象的过程；(2)求在上的单调减区间； (3)若，且，求． 【答案】(1)答案见解析(2)(3) 【详解】（1）方法一：由的图象变换得到的图象的过程为， 先将的图象向左平移个单位可得的图象， 再将的图象的每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），可得的图象， 最后将的图象的每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）可得函数的图象； 方法二：由的图象变换得到的图象的过程为， 先将的图象的每个点的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变），可得的图象， 再将的图象向左平移个单位可得函数的图象， 最后将的图象的每个点的纵坐标变为原来的两倍（横坐标不变）可得函数的图象； （2）法一：因为，所以， 因为y＝sinx在上单调递减，在和上单调递增， 令，可得， 所以函数在上的单调减区间为．（注意端点开闭均可） 法二： 由，，可得，， 所以函数的单调递减区间为，， 因为，所以，， 即函数f（x）在[0，π]上的单调减区间为．（注意端点开闭均可） （3）因为，所以， 因为，所以， 所以，，所以，即，所以． 4．（24-25高一下·四川广安·阶段练习）已知函数。(1)求函数的单调增区间； (2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．①当时，求函数的值域；②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值． 【答案】(1)的单调增区间为 (2)①函数的值域为；② 【详解】（1）由，可得， 所以函数的单调增区间为； （2）①：由已知得，当时，， 所以，所以，所以函数的值域为； ②当时，，令，则， 令，则函数的图象如下图所示，且，，， 由图象得有三个不同的实数根， 则，，所以，即， 所以，所以，故. 5．（24-25高一下·浙江·期中）定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质：和； (2)函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 【答案】(1)函数不具有性质；函数具有性质(2)存在，，(3) 【解析】（1），， 故，则函数不具有性质； ，， 故，则函数具有性质； （2）若具有性质，则， 则，因为，所以，则， 由得：， 若，则存在，使得，而，上式不成立， 故，即，因为，所以，则， 即，则，验证：当，时，， 则对任意，，， 等式成立，故存在，，使函数具有性质； （3）由（2）知，，， 令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，， 由函数的图象知：，，则， 故，化简得，则. 题型二、方程的解、实数根含参问题（常考点） 6．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）已知的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式；(2)求的单调递减区间； (3)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由图可得，，解得， 又因为，所以，因为的图象经过，所以， 所以，即， 又因为，所以，故的解析式为：． （2）当时，， 因为在单调递减，由， 所以的单调递减区间是． （3）当时，， 因为在和上单调递增，在上单调递减， 由，得，由，得， 由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上的图象如图所示， 因为函数在上有两个零点， 所以与在上有两个交点， 所以，所以实数的取值范围为． 7．某同学用“五点法”画函数，在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 (1)请填写上表的空格处，并写出函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值. 【答案】(1)表格见解析，(2)(3) 【解析】（1）解：根据表中的数据可得，解得， 令表格空格从左到右依次为，故，所以， 又，所以完表如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 所以. （2）解：将函数的图象向右平移个单位，所得图象的解析式为：， 再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，故. 此时， 令，则，故. 当时，为增函数，故为减函数； 当时，为减函数，故为增函数. 所以的增区间为. （3）解：，的周期为， 当时，令，考虑方程的根情况， 因为，故在必有两个不同的实数根， 因为在有奇数个零点，故. 若，则方程，在共有4个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或个根，与有奇数个零点矛盾，舍去. 若，，则在共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或，与有奇数个零点矛盾，舍去. 同理,，也不成立，所以或， 若，则，此时的根为， 方程在共有3个不同的实数根，而在上，有两个不同的根，无解， 所以在有个根，与有奇数个零点矛盾，舍去； 若，则，方程的根， 方程在共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根， 所以在有个根，符合题意. 综上，，在共有3031个不同的零点. 9．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数的图象的相邻对称轴之间的距离是，将函数向右平移个单位得到的函数为偶函数，且当时，取得最大值. (1)求函数的解析式；(2)若函数的零点为，求； (3)方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题知，∴.又，解得，∴. 将函数向右平移个单位得到函数， ∵为偶函数，∴，解得. ∵，∴或. 又当时，取得最大值，，即. ∴，∴. （2）由（1）知，∴. 由题知，∴，. ∴. （3）由（1）知，则时，， 由正弦函数的图象与性质可知：当时，有两个解；当或时，有一个解.令，则方程在上有4个不相等的实数根，等价于关于的方程在上有2个不相等的实数根， ∴， 解得，即实数的取值范围为. 10．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）若函数满足且，则称函数为“函数”.(1)试判断是否为“函数”，并说明理由；(2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求. 【答案】(1)不是，理由见解析；(2)，； (3) 【解析】（1）不是为“函数”，理由如下： 因为 所以，因此，函数不是“函数”. （2）函数满足，令得， 即，所以函数为周期函数，且最小正周期为， 因为，则的一个对称轴为. ①当时，，则； ②当，则，则， 所以，. 综上所述，， 所以函数在上的单调递增区间为. （3）由（2）可得函数在上的图象如下图所示， 下面考虑方程在区间的根之和. ①当或时，方程有两个实数解，其和为； ②当时，方程有三个实数解，其和为； ③当时，方程有四个实数解，其和为. 当时，关于的方程（为常数）有解， 记该方程所有解的和为，所以，当时，； 当或时，； 当时，； 当时，. 因此，. 题型三、三角函数恒成立含参问题（重点） 11．（25-26高一上·湖南·单元测试）给出以下三个条件：①直线是函数图象的一条对称轴；②点，是函数图象的相邻的对称中心，且；③．从这三个条件中任选两个将下面的题目补充完整并按要求进行解答． 已知函数满足条件______与______． (1)求函数的解析式；(2)将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得不等式成立，求实数a的最大值．注：如果选择多种情况分别解答，则按照第一个解答计分． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意，选择条件①与②，易知，则， ∵直线是图象的一条对称轴，所以，， 又，∴，∴． 选择条件①与③，∵直线是图象的一条对称轴，∴， ∵，∴，两式相减得，， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴． 选择条件②与③，易知，则，， 得，即，∵，∴，∴． （2）由题意，． 当]时，，，设， 则存在，使得不等式成立，即当时，， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， ∵，∴当时，，则，a的最大值为． 12．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式及对称中心；(2)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）依题意知，，， 所以，又，可得，故函数， 由图象经过点，所以，可得，所以，， 所以，，又因为，所以，所以， 令，解得，故对称中心为，. （2）因为对任意的，，都有，所以. 因为，所以，所以，所以， ，令，则，. 对称轴为，所以①，可得， ②，可得， ③，可得，综上. 13．（2025·河南·模拟预测）已知函数的最小正周期为． (1)求的单调递减区间；(2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)． 【详解】（1）因为的最小正周期为，所以，所以． 令，得， 故的单调递减区间为． （2）的横坐标变为原来的2倍得到， 再将所得图象向左平移个单位长度得到． 令；令，则， 因为，所以当时，取得最大值， 所以，解得或，故实数的取值范围为． 14．（24-25高一下·成都·期中）已知函数满足，且，当时，．函数．(1)求实数的值；(2)当时，求的解析式；(3)设，是否存在实数，使不等式在时恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)不存在，理由见解析 【解析】（1）当时，，故， 因为时，，所以， 因为，所以，解得． （2）当时，，则， 又，故， 所以当时，． （3）由，即：，所以的定义域为， 若存在满足题意的，首先有在时恒成立， 即在时恒成立， 首先有，其次令， 关于的二次函数的对称轴为， 当，即时，还要保证，解得， 当时，只需，解得， 所有在时恒成立当且仅当． 因为，又因为，所以， 当时，在上单调递增， 此时的值域是的子集． 当时，在上先增后减， 在或处取得最小值，且，，，其中为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增， 又，，，故的值域是的子集， 综上，的值域是的子集． 故只需考虑在的情况即可，因为在上单调递减， 根据复合函数的单调性得到在上单调递减， 又时，图象的对称轴为，开口向上， 故在上单调递增，当时，令， 则在上单调递增，其中，， 由零点存在性定理可知：使得， 又，故需要满足，所以只需满足， 当时，，不符合要求； 当时，则，解得， 由于，故无解，综上，不存在． 15．（24-25高一下·陕西渭南·期末）设函数，(1)若，，求角； (2)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； (3)将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或.(2) (3)当时，且；当时，. 【解析】（1）又∵，即，∴或， ∵，∴或. （2） 令，，， ∴，∴，，即， 令， 设，，任取，且， 则 ，，，，，即， 在上单调递减，，∴，解得：. （3）∵，∴的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的， 可得 ∵，存在非零常数，对任意的，成立， 在上的值域为，则在上的值域为，∴ 当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍． 所以，即（且） 当时， 由诱导公式可得，,即， 当时，且；当时，. 题型三、三角函数能成立（有解）含参问题（重点） 16．（25-26高一上·重庆·单元测试）已知函数的最小值为图象的一条对称轴为，且在上单调递减． (1)求函数的解析式；(2)求的单调递增区间；(3)将的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得的图象，令，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）设的最小正周期为，由题意知，则． 因为函数图象的一条对称轴为，所以， 得，因为，所以的可能取值为． 若，则，当时，， 此时，函数在区间上单调递增，不合题意； 若，则，当时，， 此时，函数在区间上单调递减，符合题意．所以． （2）令，解得， 所以的单调递增区间为． （3）由（1）可知，将的图象先向左平移个单位长度，得到的图象对应解析式为，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象对应解析式为．所以， 由于，所以，所以． 因为，所以，则． 由，可得， 所以能成立 （巧转化  通过分离参数，将问题转化为求对勾函数最值问题）． 由，根据对勾函数的性质，知当时 取得最小值，为，所以，即实数的取值范围为． 17．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知函数， (1)求的值域.(2)对任意的，都存在使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）∵ ， 当时，取最小值， 当时，，∴的值域为. （2）由题意知，由（1）得， ，， 设，则化为， 当时，，∴， 当时，，∴， 所以的取值范围为. 18．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）设函数，(1)若的周期，求的解析式；(2)若，已知，且．求的单调递增区间；(3)在（2）成立的条件下将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由，得，所以. （2）由，得，， 所以，又， 所以，即中恰有一个取最大值2，而另一个取最小值. 所以，则，，则， 又，则，，所以. 令，解得， 所以的单调递增区间为. （3）由题，可得， 因为，所以，所以，， 要使得，即有解， 所以，解得.所以的取值范围为. 19．（24-25高一下·上海金山·期中）设函数的表达式为，其中． (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期；(3)若存在，，且，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）当时，， 所以函数在区间上只有一个最小值点， 又因为，由正弦函数的图象可知：，解得， 所以的取值范围为． （2）由，可知函数关于点对称． 因此，解得，其中为整数． 由于函数在区间上是严格增函数，所以，所以， 结合，其中为整数，所以，又，其中为整数，所以或， 当时，，函数在区间上不是严格增函数， 当时，，函数在区间上是严格增函数，且关于点对称．所以． 因此函数的最小正周期为． （3）已知函数的值域为，因此， 又，则当且仅当时成立，即， 令，则当，时，，， 此时需存在，满足（为整数），且， 则区间内至少包含两个不同的点，设存在整数满足， 当时，；当时，；当时，符合题意；所以． 20．（25-26高一上·山东·单元测试）已知函数．(1)求函数的单调递增区间和图象的对称轴方程；(2)设，，，若函数是奇函数．①求函数取得最大值时x的取值集合；②设，若任取，总存在，使成立，求a的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，对称轴方程为 (2)① ；② 【详解】（1）令，解得， 则函数的单调递增区间为． 令，解得，故函数图象的对称轴方程为． （2）① ，若函数是奇函数， 则，即， 因为，所以令，得．则． 令，解得， 即函数取得最大值时x的取值集合为． ②当时，，此时的值域为． 设函数的值域为B，由题意． 设，则，设函数，所以． 当时，即，所以在上单调递减， 所以，又，所以， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以，又由， 当时，，函数的最大值为， 由或，不合题意．综上，a的取值范围为． 题型五、三角函数最值与值域 21．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知函数的图象如图所示． (1)直接写出A，ω，φ的值；(2)求函数在区间上的单调递减区间；(3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)，，．(2)，，．(3) 【详解】（1），,所以,所以，所以， 又因为图像经过点，所以， 所以，即,又因为，所以． （2）由（1）知， 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为，． 又，当时单调递减区间为，即区间上的单调递减区间为； 当时单调递减区间为； 当时单调递减区间为，即区间上的单调递减区间为； 所以函数在区间上的单调递减区间为，，． （3）当，则，即． 设，则，， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为2，故在区间上的值域为． 22．（25-26高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间；(2)若函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）， 令，解得， 所以的单调递增区间为． （2）因为，所以， 又， 所以，解得，所以的取值范围为． 23．（25-26高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知函数． (1)若，求函数在上的值域；(2)若关于的方程恰有三个不等实根，且.(i)求证：；(ii)求的最大值． 【答案】(1)．(2)(i)证明见解析；(ii)12 【详解】（1）若， 因为函数和均在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故， 所以函数在上的值域为． （2）(i)证明：， 显然：当时，， 由于方程有三个不等实根，所以必有， 令，则，显然有， 由， 得到，所以函数关于直线对称， 由，可得：， (ii)于是，， ①， 由可得：②， 将②代入①式可得： ，当且仅当时等号成立， 故的最大值为12． 24．（24-25高一下·江西景德镇·期中）已知函数. (1)求；(2)若方程在区间上有且仅有3个解，求实数的取值范围； (3)从以下两个条件中选择一个，求的解析式.①若函数在上的值域为； ②函数在上的最大值与最小值差为3. 【答案】(1)(2)或；(3)选择①，或 选择②， 【详解】（1）根据题意，， 即，则，又，所以； （2）根据题意，在区间上有且仅有3个解， 即，在区间上有且仅有3个解， 所以，即，又，所以， 由于，则，且， 根据正弦函数的图象性质，    可知或，所以或； （3）因为，选择①，当时，， 根据题意，，所以，所以，， 因为函数在上的值域为，即， 根据正弦函数的图象性质，可知， 当时，，此时，符合题意，所以， 当时，，此时，符合题意，所以， 综上，或； 选择②，由函数在上的最大值与最小值差为3， 即在上的最大值与最小值差为， 又因为，可由向左平移后再伸缩得到， 所以在上先增后减，最大值为1， 故，所以，故. 25．（24-25高一下·山东威海·阶段练习）如图是函数（，，）的部分图像，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是M，N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．(1)求函数的解析式；(2)若时，函数的最小值为，求实数a的值．    【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意得，，因，故， 函数的周期， 由可得，把点代入中，得， 由，可解得.故函数的解析式为. （2）由， 不妨设，由可得， 则，，函数图象的对称轴为直线. ① 当，即时，，解得，符合题意； ② 当，即时，，解得，不合题意； ③ 当，即时，解得，不合题意.综上所述，实数a的值是. 题型六、三角函数中的不等式与证明 26．（25-26高三上·山东·阶段练习）已知函数，，且对任意实数，当时，的最小值为.(1)求；(2)若，求的单调区间；(3)若，求x的取值范围. 【答案】(1)；(2)单调递增区间是，单调递减区间是； (3). 【详解】（1）依题意，，而，则，， 由对任意实数，，得，则， 解得，所以. （2）由，得，由或， 得或，则函数在上单调递增； 由，得，则函数在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）由（1）知，则， 解得，整理得， 所以x的取值范围是. 27.（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知函数 的图象关于点 对称.(1)求的单调递增区间;(2)求不等式 的解集. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，的图象关于点对称， ，即． ，故．令， 得，即． 函数的单调递增区间为． （2）由（1）知，．由， 得，即． 不等式的解集为. 28.（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知函数，且．(1)设，若对任意，总存在，使成立，求实数t的取值范围；(2)函数的图象与函数的图象关于直线对称，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 则，可得， 因为，则，所以，可得，所以． 当时，，则， 依题意，，使得， 所以， 因为，则，令，函数在上单调递减， 所以，所以，，因此，实数t的取值范围是． （2）因为与的图象关于直线对称， 则， 因为，令，则，即， 作出函数的图象如图所示： 由可得，即， 因为，故，可得， 解得或， 即，因此，原不等式的解集为． 29.（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数有两个零点．(1)求实数a的取值范围；(2)设，是g（x）的两个零点，证明：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：． 由可得，令，由可得， 故． 当或，即或时，无解，所以g（x）不存在零点； 当，即时，有一解，此时x仅有一解，所以g（x）只存在一个零点； 当，即时，有两解 ，此时在各有一解，故g（x）有两个零点． 综上，实数a的取值范围为． （2）证明：函数g（x）有两个零点，， 令，则，为方程的两根， 则，，所以， 两边平方得，因为， 所以，所以， 由可得，所以， 则，因为在上单调递减，所以，即 30．（24-25高一下·陕西西安·期末）已知函数的图象关于直线对称．其最小正周期与函数相同．(1)求的对称中心，(2)若函数在上恰有8个零点，求的最小值；(3)设函数，证明：有且只有一个零点，且． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【解析】（1）因为函数的周期为， 所以由题，所以， 又由图象关于直线对称，所以，即，所以， 所以，令，， 所以的对称中心为. （2）当时，令，解得， 所以由图象特征可知， 若函数在上恰有8个零点，的最小值应为： 首尾均应是零点，则的最小值为， （3）由（1）可得，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在定理，使得，故在上有且只有一个零点. ②当时，因为单调递增，单调递减， ，，所以，所以在上不存在零点； ③当时, 因为单调递增，，因为             所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且. 因为，所以，所以， 在上单调递减， ，所以. 题型七、三角函数的实际应用问题（常考点） 31.（24-25高一下·河南·期末）如图是一种升降装置结构图，支柱垂直水平地面，半径为1的圆形轨道固定在支柱上，轨道最低点，，.液压杆、，牵引杆、，水平横杆均可根据长度自由伸缩，且牵引杆、分别与液压杆、垂直.当液压杆、同步伸缩时，铰点在圆形轨道上滑动，铰点在支柱上滑动，水平横杆作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕铰点转动）.    (1)设劣弧的长为，求水平横杆的长和离水平地面的高度（用表示）； (2)在升降过程中，求铰点距离的最大值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）记轨道圆心为，则，设劣弧的长为，则， 得，.    （2）由已知，，，， 则，又，所以， 则，令，有，. 则，，因为，当且仅当时，取到等号， 所以铰点距离的最大值为. 32.（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知函数（）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为 (1)求函数的解析式，并求其对称轴方程；(2)将向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到，则可以用函数模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最大值． 【答案】(1)，，(2)，50 【详解】（1），所以， 因为相邻两条对称轴的距离为，所以半周期为， 故，；令， （2）向右平移得到，将横坐标伸长为原来的倍，得到， 将纵坐标扩大为原来的25倍，得到， 再将其向上平移60个单位，得到 游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了， 令，则， 则，，，，故， 当或或20时， 33.（25-26高三上·重庆·期中）某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似地满足函数，其图象如图所示： （1）根据图象求函数解析式；（2）若甲车间先投产，1小时后乙车间再投产，求该厂两车间都投产时刻的污水排放量；（3）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？ 【答案】(1) ;(2) ;(3) 至少需推迟小时投产. 【详解】由图可得: 由过点可得: 所求函数的解析式为. (2)该厂时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和，此时甲车间排污量为乙车间为,根据题意可得时刻的排污量: (3)设乙车间至少比甲车间推迟小时投产，根据题意可得: 由函数周期性知,可得: 所以为满足环保要求,乙车间比甲车间至少需推迟小时投产. 34．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）如图是半径为的水车截面图，在它的边缘圆周上有一定点，按逆时针方向以角速度每秒绕圆心转动作圆周运动，已知点的初始位置为，且的纵坐标为，设点的纵坐标是转动时间单位：的函数记为    (1)求函数的解析式； (2)选用恰当的方法作出函数，的简图； (3)当水车上点的纵坐标大于等于时，水车可以灌溉植物，则水车旋转一圈内有多长时间可以灌溉植物？ 【答案】(1)(2)图见解析(3) 【详解】（1）由题意，设由，即， ，，所以故函数 （2）由知，根据题意列表如下； 在直角坐标系中描点、连线，作出函数在的简图如图所示；    （3）由（1）知；易知的最小正周期, 根据函数的周期性，取第一圈内的数据进行分析即可，所以水车旋转一圈，水车上点的纵坐标大于等于时，则有，且，所以， 解得， 水车旋转一圈内可以灌溉植物的时间，故水车旋转一圈内可以灌溉植物的时间为． 35．（24-25高一下·福建泉州·阶段练习） 在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度，为当地的纬度值，那么这三个量满足.某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值），下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第30天测得的当地正午太阳高度角数据. 观测站A 观测站B 观测站C 观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000 观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 78.4348 太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5652 太阳直射点的纬度平均值/度 (1)请根据数据完成上面的表格；（结果精确到0.0001）；(2)定义从某年春分正午到次年春分正午所经历的时间为一个回归年.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4393，试估计一个回归年对应的天数；（结果精确到0.0001，参考数据：）；(3)利用（2）的结果，估计A观测站正午太阳高度角约为61.5649度的两次出现间隔天数至少为多少天；（结果精确到1） (4)已知一个回归年的实际天数为365.2422，结合现行格里高利历的闰年规则（每4年一闰，世纪年需被400整除才闰），试分析为什么要设置闰年，并计算现行格里高利历下年平均天数的误差. 【答案】(1)答案见解析(2)365.2434(3)123天(4)答案见解析 【详解】（1）由，，得， 观测站A 观测站B 观测站C 观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000 观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 78.4348 太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5700 11.5652 太阳直射点的纬度平均值/度 11.5667 （2）在中，，且过点，， ，又，即， 则，解得， 一个周期即一个回归年，故一个回归年对应的天数约为365.2434， （3）由（2）知的周期，则为图象的对称轴， A观测站正午太阳高度角为61.5649度时，即， 则与图象的一个交点为， 与的交点离点最近的点与点关于直线对称， 于是，即， 而，所以两次出现间隔天数至少为123天. （4）由于一个回归年的实际天数为365.2422，不为整数， 若每年设为365天，则每百年会少24天，若每年设为366天，则每百年会多76天， 设置闰年可以让年平均天数尽可能接近回归年的天数，减少年平均天数的误差， 现行格里高利历下的年平均天数为， 与一个回归年实际天数的误差为天. 题型八、新定义问题（难点） 36．（25-26高二上·上海·开学考试）对于定义域为的周期函数，若它同时满足以下三个条件：①存在最小正周期；②值域为；③存在，使得在上为严格减函数，在上为严格增函数；则称函数为“类余弦函数”．设函数是类余弦函数． (1)若是偶函数，求该函数的最小正周期； (2)若对于任意，关于的方程在区间均有且仅有两个实数解，求证：函数在区间上的值域为； (3)设（常数），的最小正周期为4，求实数的值；进而，若关于的方程（常数）在上恰有3个实数解，求实数的值（无需说明理由）． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)，的值为3或4或7 【详解】（1）因为函数是类余弦函数，所以得在上为严格减函数，在上为严格增函数，又因为是偶函数，所以在上为严格增函数，在上为严格减函数， 则根据周期的定义可得：该函数的最小正周期； （2）因为函数是类余弦函数，所以得在上为严格减函数，在上为严格增函数，又因为值域为，周期为，所以，， 因为对于任意，关于的方程在区间均有且仅有两个实数解， 结合，以及单调性可得在和各有1解， 所以函数在区间上的值域为， 所以函数在区间上的值域为； （3）由题意，，所以， 又因为在上为严格增函数，结合余弦函数性质可得，所以, 若，如左图，在上恰有3个实数解， 若，如右图，在上恰有3个实数解， 由于，且，所以的值为3或4或7.    37．（24-25高一下·上海·期末）设，函数满足． (1)当，时，若存在实数，对任意的（是函数的定义域的子集），都有，且存在，使得，则称为函数在区间上的最大值，称为最大值点， 求在上最大值点的个数； (2)若，函数的最小正周期，且函数的图像与直线在区间上有且仅有1个交点，求的取值范围. (3)当时，小明利用函数进行一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，小明将一颗棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1），则， 当时，在上有两个最大值点，，故在上有2个最大值点； （2）曲线与直线在上有且仅有1个交点， 即方程在上有且仅有1个根， 由，可知， 又因为，即，所以，故， 则只需令，解得，即的取值范围为． （3），棋子移动的周期为4， 因为，， 由正弦函数的单调性得， 若，中至少三个大于或等于，满足题意，即：，则; 若，中只有二个大于或等于，棋子落在棋盘右上角亦满足题意，即：，则；故的取值范围是. 38．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知定义域为的函数满足:对于任意的，都有，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数具有性质，且在区间上有且仅有个零点.求出的取值范围；(3)设函数具有性质，且在区间上的值域为，函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 【答案】(1)具有性质，不具有性质.(2)(3)证明见解析 【详解】（1）因为，则，又， 所以，故函数具有性质； 因为，则，又， 所以，故不具有性质. （2）因为函数具有性质，所以，即， 因为，所以，所以； 若，不妨设，由， 得（*）， 只要充分大时，将大于1，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有成立，即， 因为，所以，所以，则， 此时，则， 而，即有成立，符合题意， 又在区间上有且仅有2个零点.，所以，所以，所以的取值范围为. （3）由函数具有性质及（2）可知， 由可知函数是以为周期的周期函数，则， 即，所以； 由，以及题设可知，函数在的值域为，所以且； 当，及时，均有， 这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或； 当时，，函数在的值域为，此时函数的值域为. 39．（24-25高一上·陕西西安·期末）设定义在上的函数和定义在上的函数，对任意的，存在，使得（为非零常数）恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中叫作这两个函数的恒定比数值． (1)若函数，，，，判断与是否是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，并说明理由； (2)若函数，，，，与是恒定比数值为4的异自变量定值函数组合，求的取值范围； (3)若函数，，，，且与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，求的取值范围． 【答案】(1)与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，理由见解析 (2)(3) 【详解】（1）与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，理由如下： 是增函数，所以函数在上单调递增， ，则的取值范围是， ，，则的取值范围为， 若与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合， 则对任意的，存在，使得， 根据与的取值范围分别是，， 因此，对于的取值范围内的所有的值，都可以找到一个的值，使其满足， 故与是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合； （2）都是增函数，所以在上为增函数， ，因此的取值范围是， 若与是恒定比数值为4的异自变量定值函数组合，则有， 由于的取值范围是，所以的值域为， 为了使等式符合定义要求，的值域也必须包含于，由于的值域为， 因此满足：，解得； （3）在上，， 当时，， 当时，，因此的值域为， ，在上，， ，，因此的值域为， 若与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，， 为了使等式符合定义要求，的值域也必须包含， 当时，满足，解得：；当时，满足，解得：； 综上的取值范围为： 40（24-25高一下·江西赣州·期末）在数学中，三角函数的孪生兄弟是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为.(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论： (2)求函数的最小值；(3)求证：对，. 【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)(3)证明见解析 【详解】（1）因的定义域为， 由可得函数为奇函数. （2）， 设，则，当且仅当时取“=”， 则在上单调递增， 所以.所以函数的最小值为. （3）① 当时，，. 对于，因，则为偶函数； 设，则， 因为，所以，，， 所以，即在上单调递增. 所以当时，. 对于，类似的方法可得：为奇函数，在上单调递增， 所以当时，.所以； ② 当时，.由可得， 所以，即. 综上可得：对，. 1．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示：    (1)求的解析式；(2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2).(3). 【详解】（1）设函数的最小正周期为， 观察图象可得函数的最大值为，最小值为，， 所以，所以，，所以，又，所以， 所以，，又，所以所以. （2）由条件可得，， 设，则当时，， 因为在上是严格增函数，又 由条件，， 所以，解得， 所以.所以的最大值是. （3）因为函数的图象向右移动个单位，可得函数的图象， 将图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数的图象， 所以，令，可得，所以，， 所以，，因为在区间上至少有个最大值， 又，所以，所以， 所以，又，所以. 2．（25-26高一上·湖南·单元测试）已知函数的最大值为2. (1)求函数图象的对称中心；(2)把函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象．①若，解不等式；②若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 【答案】(1)(2)①或；② 【详解】（1）因为 ， 所以，解得，所以． 令，得， 即图象的对称中心为． （2）由题意可得． ①由可得， 解得，即． 又因为，所以或， 故不等式的解集为或. ②因为，所以， 由，可得，所以． 由正弦函数图象的对称性可知， 所以，且．． 所以 ． 3．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数图象的两相邻对称中心之间的距离是，将图象上的每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数．(1)求的解析式；(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；(3)若函数在区间（a，且）上至少有20个零点，在所有满足条件的区间中，求的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为函数图象的两相邻对称中心之间的距离为， 所以，所以，所以，因此函数的解析式为. 根据题意，将函数图象平移后的函数， 因为为奇函数，，所以，所以. 因此函数的解析式为. （2）因为，所以， 所以，所以， 所以在上恒成立. 令，则不等式变为， 根据一元二次函数，其对称轴为，要使得不等式恒成立，则 ，解得，所以实数的取值范围为. （3）令，则，所以或者. 解得或者. 相邻两个零点的距离为或者. 所以函数在区间上至少有20个零点，19个间隔，若使最小，则 按10个和9个排列，那么此时的最小值为. 4．（25-26高一上·广东·期中）已知函数，且． (1)求的解析式；(2)设常数，若函数在上单调递增，求的取值范围； (3)若函数的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1），且， ，则，即. . （2）. 当，即时，单调递增． 在上单调递增， 解得， 当时，，当时，无解．综上，的取值范围是． （3）由题意有 函数的最小正周期为，且，，解得． 令，由，得， 由恰有两个不同的解，可得恰有两个不同的解， 即函数的图象和直线有两个交点．函数的图象如图所示， 由图得，若函数的图象和直线有两个交点， 则，解得，即实数的取值范围为． 5．（25-26高一上·山东·期中）已知函数（其中）的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设的最小正周期为，由图象可得，， 所以，所以， 又，所以，即， 又，所以，所以． （2）由题意有：． 由任意的，都有成立，即时，， 由可得，此时， 由可得，此时． 所以，解得，即实数的取值范围为. 6．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称为其正弦周期． (1)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期，并指出它的最小正周期； (2)验证是以为周期的正弦周期函数； (3)已知存在这样一个函数，它是定义在上的严格增函数，值域为，且是以为周期的正弦周期函数．若，且存在唯一的，使得，求的值． 【答案】(1)是它的一个周期且是最小正周期，证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1），易知是它的一个周期， 因为， 下面证明是的最小正周期， 时，是增函数，时，是减函数， 又， ， 所以，即函数图象关于直线对称， 所以当时，不可能是函数的周期， 假设函数有小于的正周期，则，取， 与时，函数的单调性相同，但， 而在这两个区间上单调性相反，假设错误．所以是的最小正周期． （2）因为， 所以是以为周期的正弦周期函数.证毕. （3）因为是周期函数，是它的一个周期， ，，又由题意，, 因为，，是严格递增函数，所以， 又时，，，， 因为是严格递增函数，所以与是一一对应的， 因此，． 7．（24-25高一下·北京·期中）如图所示为灌溉工具——筒车的示意图，已知筒车的半径为4米．转轴与水面的距离为2米，水深为3米．筒车其边缘上一点从图示位置开始随筒车逆时针匀速旋转（同时开始计时），设匀速旋转一周的时间为秒，从计时起旋转时间为秒；点与水底的距离为米．    (1)当时：①直接写出关于的函数表达式；②求前120秒内，点与水底的距离为7米时的值； (2)若当时，点一直处于水中（含水面上），求的取值范围． 【答案】(1)①，；②或.(2). 【详解】（1）①由题意得， ②由题意，，即，化简得， 则或，解得或 又由于，所以或. （2）由（1）得，，由题意得，当时，恒成立， 即，化简得，故，解得， 所以，即，解得 由于，则，因此. 8．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．(1)当时，求的单调递减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， ①当时，求函数的值域；②记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值． 【答案】(1)(2)①；②； 【详解】（1）因为函数为奇函数，则，且，所以， 设的最小正周期为，由题意可知：，即， 且，则，可得，所以， 因为，则，且在内单调递减，在内单调递增， 可得，即，所以的单调递减区间为. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数， ①因为，则，可得，即， 所以函数的值域为； ②令，则，因为，则， 由图象可知：与在内有4个交点，所以， 且， 可得， 所以. 9．（24-25高一上·北京大兴·期末）已知函数，．(1)求函数的值域；(2)若对任意的恒成立，求的最大值；(3)若任取，总存在，使成立，求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）∵， ∴，则， ∴，即函数的值域为. （2）令，∵，∴， ，对任意的恒成立, 即为对任意的恒成立,由化简可得：， ∵，当且仅当时，即时，取等号. ∴，则，即的最大值为. （3）∵任取， ∴， 即在上的值域， 设的值域为，若任取，总存在，使成立，则，令，则， ，即为,开口向下，对称轴为， 当时，即时，在上单调递减， 由可得：，解得：. 当时，即时，在上单调递增， 由可得：，解得：. 当时，即时，在时，取得最大值,不符合题意. 综上所述：实数的取值范围为. 10．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）函数，若的图象向左平移个单位得到.(1)求不等式的解集；(2)若函数的最大值为9，求的值；(3)若，方程在内有一个解，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)或(3)或或且 【详解】（1）将的图象向左平移个单位得到：，则， 不等式，即，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. （2）因为，所以， 则 ， 令，则，令，，依题意， 当，即时在上单调递增，则，解得，符合题意； 当，即时在上单调递减， 则，解得，符合题意； 当，即时，即，不符合题意； 综上可得或. （3）因为， 所以， 当时， 因为在上单调递增，值域为；在上单调递减，值域为. 令，，则由的图象知， 考虑在上的解， 若，则或，当时，方程的解为，舍去； 当时，方程的解为，此时仅有一解， 故在内有一个解，符合题意； 若，则或，此时在上有两个不同的实数根，， 令，则，由韦达定理，. 当时，则，，要使得方程在内有一个解， 则，. 当时，此时解得或，不符合题意，舍去． 所以要使符合题意，只需，即，解得； 当时，则，，要使得方程在内有一个解， 当时，此时解得或，不符合题意，舍去. 则，且， 所以要使符合题意，只需，即，解得且； 综上，的取值范围是或或且. 11．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)请从，，这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系，不需要说明理由； (2)请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式； (3)依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【答案】(1).理由见解析(2) (3)1点进港，5点离港，或点进港，点离港；4小时； 【详解】（1）以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐标系中作出对应的各点， 根据图象可考虑用函数近似描述这个港口的水深与时间的函数关系， （2）由已知数据结合图象可得，，，，故. 又，可取，所以； （3）由题意可得，则，， 所以，解得， 又，取可得：，取，可得， 所以该船可以1点进港，5点离港，或点进港，点离港，所以卸货最多只能用4小时时间. 12.（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）设，函数．(1)讨论函数的零点个数；(2)若函数恰有两个零点，求证：． 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【详解】（1）解：由， 令，因为，可得，且， 令，即，又因为， 当或，即时，此时无解； 当，即时，仅有一解，此时仅有一解； 当，即时，有两解， 因为各有一解，此时恰有两个零点， 综上可得，当时，无零点；当时，恰有一个零点；当时，恰有两个零点. （2）解：若恰有两个零点时，令，所以为的两解， 所以，所以，所以， 由，可得，所以，则， 所以； 由，可得，所以， 因为在上单调递减，可得，所以． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数中的八类压轴题（解答题） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角函数零点（方程的根）及零点个数问题 1 题型二、方程的解、实数根含参问题（常考点） 6 题型三、三角函数恒成立含参问题（重点） 12 题型三、三角函数能成立（有解）含参问题（重点） 18 题型五、三角函数最值与值域 23 题型六、三角函数中的不等式与证明 28 题型七、三角函数的实际应用问题（常考点） 33 题型八、新定义问题（难点） 39 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角函数零点（方程的根）及零点个数问题 1.（25-26高一上·广东·专项训练）设为常数，函数.(1)当时，求的值域；(2)讨论在区间上的零点的个数；(3)设为正整数，在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数的值. 2．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数（为正整数）在区间上恰有3个零点．(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的零点． 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)写出由的图象变换得到的图象的过程；(2)求在上的单调减区间； (3)若，且，求． 4．（24-25高一下·四川广安·阶段练习）已知函数。(1)求函数的单调增区间； (2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．①当时，求函数的值域；②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值． 5．（24-25高一下·浙江·期中）定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质：和； (2)函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 题型二、方程的解、实数根含参问题（常考点） 6．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）已知的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式；(2)求的单调递减区间； (3)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围． 7．某同学用“五点法”画函数，在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 (1)请填写上表的空格处，并写出函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值. 9．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数的图象的相邻对称轴之间的距离是，将函数向右平移个单位得到的函数为偶函数，且当时，取得最大值. (1)求函数的解析式；(2)若函数的零点为，求； (3)方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 10．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）若函数满足且，则称函数为“函数”.(1)试判断是否为“函数”，并说明理由；(2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间； (3)在（2）的条件下，当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求. 题型三、三角函数恒成立含参问题（重点） 11．（25-26高一上·湖南·单元测试）给出以下三个条件：①直线是函数图象的一条对称轴；②点，是函数图象的相邻的对称中心，且；③．从这三个条件中任选两个将下面的题目补充完整并按要求进行解答． 已知函数满足条件______与______． (1)求函数的解析式；(2)将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得不等式成立，求实数a的最大值．注：如果选择多种情况分别解答，则按照第一个解答计分． 12．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式及对称中心；(2)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 13．（2025·河南·模拟预测）已知函数的最小正周期为． (1)求的单调递减区间；(2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 14．（24-25高一下·成都·期中）已知函数满足，且，当时，．函数．(1)求实数的值；(2)当时，求的解析式；(3)设，是否存在实数，使不等式在时恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 15．（24-25高一下·陕西渭南·期末）设函数，(1)若，，求角； (2)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； (3)将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围. 题型三、三角函数能成立（有解）含参问题（重点） 16．（25-26高一上·重庆·单元测试）已知函数的最小值为图象的一条对称轴为，且在上单调递减． (1)求函数的解析式；(2)求的单调递增区间；(3)将的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得的图象，令，若，使得成立，求实数的取值范围． 17．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知函数， (1)求的值域.(2)对任意的，都存在使得成立，求的取值范围. 18．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）设函数，(1)若的周期，求的解析式；(2)若，已知，且．求的单调递增区间；(3)在（2）成立的条件下将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若存在，使得，求的取值范围． 19．（24-25高一下·上海金山·期中）设函数的表达式为，其中． (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期；(3)若存在，，且，使得成立，求的取值范围． 20．（25-26高一上·山东·单元测试）已知函数．(1)求函数的单调递增区间和图象的对称轴方程；(2)设，，，若函数是奇函数．①求函数取得最大值时x的取值集合；②设，若任取，总存在，使成立，求a的取值范围． 题型五、三角函数最值与值域 21．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知函数的图象如图所示． (1)直接写出A，ω，φ的值；(2)求函数在区间上的单调递减区间；(3)求函数在区间上的值域． 22．（25-26高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间；(2)若函数在上的值域为，求的取值范围． 23．（25-26高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知函数． (1)若，求函数在上的值域；(2)若关于的方程恰有三个不等实根，且.(i)求证：；(ii)求的最大值． 24．（24-25高一下·江西景德镇·期中）已知函数. (1)求；(2)若方程在区间上有且仅有3个解，求实数的取值范围； (3)从以下两个条件中选择一个，求的解析式.①若函数在上的值域为； ②函数在上的最大值与最小值差为3. 25．（24-25高一下·山东威海·阶段练习）如图是函数（，，）的部分图像，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是M，N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．(1)求函数的解析式；(2)若时，函数的最小值为，求实数a的值．    题型六、三角函数中的不等式与证明 26．（25-26高三上·山东·阶段练习）已知函数，，且对任意实数，当时，的最小值为.(1)求；(2)若，求的单调区间；(3)若，求x的取值范围. 27.（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知函数 的图象关于点 对称.(1)求的单调递增区间;(2)求不等式 的解集. 28.（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知函数，且．(1)设，若对任意，总存在，使成立，求实数t的取值范围；(2)函数的图象与函数的图象关于直线对称，求不等式的解集． 29.（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数有两个零点．(1)求实数a的取值范围；(2)设，是g（x）的两个零点，证明：． 30．（24-25高一下·陕西西安·期末）已知函数的图象关于直线对称．其最小正周期与函数相同．(1)求的对称中心，(2)若函数在上恰有8个零点，求的最小值；(3)设函数，证明：有且只有一个零点，且． 题型七、三角函数的实际应用问题（常考点） 31.（24-25高一下·河南·期末）如图是一种升降装置结构图，支柱垂直水平地面，半径为1的圆形轨道固定在支柱上，轨道最低点，，.液压杆、，牵引杆、，水平横杆均可根据长度自由伸缩，且牵引杆、分别与液压杆、垂直.当液压杆、同步伸缩时，铰点在圆形轨道上滑动，铰点在支柱上滑动，水平横杆作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕铰点转动）.    (1)设劣弧的长为，求水平横杆的长和离水平地面的高度（用表示）； (2)在升降过程中，求铰点距离的最大值. 32.（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知函数（）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为(1)求函数的解析式，并求其对称轴方程；(2)将向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到，则可以用函数模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最大值． 33.（25-26高三上·重庆·期中）某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似地满足函数，其图象如图所示： （1）根据图象求函数解析式；（2）若甲车间先投产，1小时后乙车间再投产，求该厂两车间都投产时刻的污水排放量；（3）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？ 34．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）如图是半径为的水车截面图，在它的边缘圆周上有一定点，按逆时针方向以角速度每秒绕圆心转动作圆周运动，已知点的初始位置为，且的纵坐标为，设点的纵坐标是转动时间单位：的函数记为 (1)求函数的解析式；(2)选用恰当的方法作出函数，的简图； (3)当水车上点的纵坐标大于等于时，水车可以灌溉植物，则水车旋转一圈内有多长时间可以灌溉植物？    35．（24-25高一下·福建泉州·阶段练习） 在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度，为当地的纬度值，那么这三个量满足.某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值），下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第30天测得的当地正午太阳高度角数据. 观测站A 观测站B 观测站C 观测站所在纬度/度 40.0000 23.4393 0.0000 观测站正午太阳高度角/度 61.5649 78.1307 78.4348 太阳直射点的纬度/度 11.5649 11.5652 太阳直射点的纬度平均值/度 (1)请根据数据完成上面的表格；（结果精确到0.0001）；(2)定义从某年春分正午到次年春分正午所经历的时间为一个回归年.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x近似满足函数，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4393，试估计一个回归年对应的天数；（结果精确到0.0001，参考数据：）；(3)利用（2）的结果，估计A观测站正午太阳高度角约为61.5649度的两次出现间隔天数至少为多少天；（结果精确到1） (4)已知一个回归年的实际天数为365.2422，结合现行格里高利历的闰年规则（每4年一闰，世纪年需被400整除才闰），试分析为什么要设置闰年，并计算现行格里高利历下年平均天数的误差. 题型八、新定义问题（难点） 36．（25-26高二上·上海·开学考试）对于定义域为的周期函数，若它同时满足以下三个条件：①存在最小正周期；②值域为；③存在，使得在上为严格减函数，在上为严格增函数；则称函数为“类余弦函数”．设函数是类余弦函数． (1)若是偶函数，求该函数的最小正周期； (2)若对于任意，关于的方程在区间均有且仅有两个实数解，求证：函数在区间上的值域为； (3)设（常数），的最小正周期为4，求实数的值；进而，若关于的方程（常数）在上恰有3个实数解，求实数的值（无需说明理由）． 37．（24-25高一下·上海·期末）设，函数满足． (1)当，时，若存在实数，对任意的（是函数的定义域的子集），都有，且存在，使得，则称为函数在区间上的最大值，称为最大值点， 求在上最大值点的个数； (2)若，函数的最小正周期，且函数的图像与直线在区间上有且仅有1个交点，求的取值范围. (3)当时，小明利用函数进行一个棋盘游戏：有一个的正方形棋盘，小明将一颗棋子开始时置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1格，且在第步时，若，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求的取值范围． 38．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知定义域为的函数满足:对于任意的，都有，则称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数具有性质，且在区间上有且仅有个零点.求出的取值范围；(3)设函数具有性质，且在区间上的值域为，函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 39．（24-25高一上·陕西西安·期末）设定义在上的函数和定义在上的函数，对任意的，存在，使得（为非零常数）恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中叫作这两个函数的恒定比数值． (1)若函数，，，，判断与是否是恒定比数值为5的异自变量定值函数组合，并说明理由； (2)若函数，，，，与是恒定比数值为4的异自变量定值函数组合，求的取值范围； (3)若函数，，，，且与是恒定比数值为的异自变量定值函数组合，求的取值范围． 40（24-25高一下·江西赣州·期末）在数学中，三角函数的孪生兄弟是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为.(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论： (2)求函数的最小值；(3)求证：对，. 1．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象，如图所示： (1)求的解析式；(2)若在上是严格增函数，求实数的最大值. (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围.    2．（25-26高一上·湖南·单元测试）已知函数的最大值为2. (1)求函数图象的对称中心；(2)把函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象．①若，解不等式；②若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 3．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数图象的两相邻对称中心之间的距离是，将图象上的每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数．(1)求的解析式；(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；(3)若函数在区间（a，且）上至少有20个零点，在所有满足条件的区间中，求的最小值． 4．（25-26高一上·广东·期中）已知函数，且． (1)求的解析式；(2)设常数，若函数在上单调递增，求的取值范围； (3)若函数的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围． 5．（25-26高一上·山东·期中）已知函数（其中）的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 6．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称为其正弦周期． (1)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期，并指出它的最小正周期； (2)验证是以为周期的正弦周期函数； (3)已知存在这样一个函数，它是定义在上的严格增函数，值域为，且是以为周期的正弦周期函数．若，且存在唯一的，使得，求的值． 7．（24-25高一下·北京·期中）如图所示为灌溉工具——筒车的示意图，已知筒车的半径为4米．转轴与水面的距离为2米，水深为3米．筒车其边缘上一点从图示位置开始随筒车逆时针匀速旋转（同时开始计时），设匀速旋转一周的时间为秒，从计时起旋转时间为秒；点与水底的距离为米． (1)当时：①直接写出关于的函数表达式；②求前120秒内，点与水底的距离为7米时的值； (2)若当时，点一直处于水中（含水面上），求的取值范围．    8．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．(1)当时，求的单调递减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， ①当时，求函数的值域；②记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值． 9．（24-25高一上·北京大兴·期末）已知函数，．(1)求函数的值域；(2)若对任意的恒成立，求的最大值；(3)若任取，总存在，使成立，求的取值范围． 10．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）函数，若的图象向左平移个单位得到.(1)求不等式的解集；(2)若函数的最大值为9，求的值；(3)若，方程在内有一个解，求实数的取值范围. 11．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)请从，，这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系，不需要说明理由； (2)请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式； (3)依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 12.（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）设，函数．(1)讨论函数的零点个数；(2)若函数恰有两个零点，求证：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $