01 例析统计中的频率分布直方图&02 平面向量及其应用考点赏析-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■胡贵平 频率分布直方图在统计中占有重要地 位,它应用广泛,是每年高考的高频考点,下 面举例分析。 例1 为了解某地农村经济情况,对该 地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家 庭年收入的调查数据整理得到如图1所示的 频率分布直方图。 图1 根据此频率分布直方图,下面结论中不 正确的是( )。 A.该地农户家庭年收入低于4.5万元 的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万 元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不 超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户,其家庭 年收入介于4.5万元至8.5万元之间 解:因为频率分布直方图中的组距为1, 所以各组的频率分布直方图的高度等于频 率。样本的频率分布直方图中的频率即可作 为总体的相应比率的估计值。 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农 户的比率估计值为0.02+0.04=0.06= 6%,A正确。该地农户家庭年收入不低于 10.5 万 元 的 农 户 比 率 估 计 值 为 0.04+ 0.02×3=0.1=10%,B正确。该地农户家 庭年收入的平均值的估计值为3×0.02+ 4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8× 0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12× 0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(万元), 超过6.5万元,C错误。该地农户家庭年收 入介于4.5万元至8.5万元之间的比率估计 值为0.1+0.14+0.2×2=0.64=64%> 50%,D正确。应选C。 例2 从一批零件中抽取80个,测量其 直径(单位:mm),将所得数据 分 为9组: [5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45, 5.47],[5.47,5.49],并整理得到的频率分布 直方图如图2,则在被抽取的零件中,直径落 在区间[5.43,5.47)内的个数为( )。 图2 A.10 B.18 C.20 D.36 解:由 图 可 知,直 径 落 在 区 间[5.43, 5.47)内的零件频率为(6.25+5)×0.02= 0.225,所以直径落在区间[5.43,5.47)内零 件的个数为80×0.225=18。应选B。 名师指点:频率分布直方图中,平均数是 频率分布直方图的“重心”,它等于每个小长 方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标 之和,样本的平均数可以作为总体的平均值 的估计值。频率分布直方图中,众数是最高 小长方形底边中点的横坐标。中位数左边和 右边的频率分布直方图的面积应该相等。频 率分布直方图中,各小长方形的面积等于对 应区间的频率,所有小长方形的面积之和为 1。频率、频数、样本容量之间的关系:频数= 频率×样本容量,频率= 频数 样本容量 。 作者单位:甘肃省白银市第一中学 (责任编辑 王琼霞) 3 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月 ■钱德坤 考点1:向量的线性运算及应用 要熟练掌握向量的有关概念与运算,会 用基底表示向量,向量的三角形法则和平行 四边形法则是向量线性运算的基础。向量是 一个有“形”的几何量,因此在研究向量的有 关问题时,一定要结合图形进行分析与判断, 这是研究平面向量的重要方法和技巧。 例1 已知O 为直线AB 外任意一点, 且OP→=λOA→+μOB→(λ,μ∈R),若点P 在直 线AB 上,则λ+μ= 。 解:由点 P 在直线AB 上,可得 AP→∥ AB→。设 AP→=xAB→,由 AP→=OP→-OA→, AB→=OB→-OA→,可得 OP→-OA→=x(OB→- OA→),即OP→=(1-x)OA→+xOB→。 又因为OP→=λOA→+μOB→,所以λ=1- x,μ=x,所以λ+μ=1。 考点2:向量的数量积运算及应用 求向量a,b 的数量积的方法:如果无法 寻找到计算数量积的要素(模与夹角),那么 可考虑用一组基底将a,b 两个向量表示出 来,再进行运算,这是在几何图形中处理向量 数量积的一个重要方法;若几何图形易于建 系,则考虑将向量坐标化,用数量积的坐标表 示来计算数量积。 例2 如图1所示,在平面四边形ABCD 中,若AC=3,BD=2,则(AB→+DC→)·(AC→+ BD→)= 。 图1 解:因为 AB→=AC→+CB→,DC→=DB→+ BC→,所以AB→+DC→=AC→+CB→+DB→+BC→= AC→-BD→。所以(AB→+DC→)·(AC→+BD→)= (AC→-BD→)·(AC→+BD→)=|AC→|2-|BD→|2 =9-4=5。 考点3:向量的共线问题 高考对向量共线问题的考查主要有两种 题型:一是已知两个向量共线求参数的值;二 是根据条件证明向量共线,再得出其他的结 论。求解向量共线问题的常用方法:向量a, b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ,使b=λa; 向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线⇔x1y2- x2y1=0;向量a与b共线⇔|a·b|=|a|· |b|;向量a与b共线⇔存在不全为零的实数 λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0。 例3 设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b平行,则实数λ= 。 解:由向量a与b不平行,可得a+2b≠ 0。因为λa+b与a+2b平行,所以λa+b= t(a+2b),所以 t=λ, 2t=1, 解得t=λ=12,所以 λ= 1 2 。 考点4:向量的夹角问题 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则两向量a与b的夹角θ(0≤θ≤π)的余弦值 为cosθ= a·b |a||b|= x1x2+y1y2 x21+y21 x22+y22 。a⊥ b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,其中a=(x1, y1),b=(x2,y2)。 例4 已知向量a,b满足|a|=5,|b|= 6,a·b=-6,则cos<a,a+b>=( )。 A.- 31 35 B.- 19 35 C. 17 35 D. 19 35 解:由题意得a·(a+b)=a2+a·b= 25-6=19,且|a+b|= a2+2a·b+b2= 25-12+36=7,所 以 cos<a,a+b>= a·(a+b) |a||a+b|= 19 5×7= 19 35 。应选D。 4 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月 考点5:向量的模 求向量的模的两种方法,即几何法和坐 标法。向量的模不仅是研究向量的一个重要 的量,而且是利用向量方法解决几何问题的 一个“交汇点”。 例5 如图2,已知正方形 ABCD 的边 长为2,点 P 满足AP→=12(AB →+AC→),则 |PD→|= ,PB→·PD→= 。 图2 解:(方法1)由向量的平行四边形法则 可知,点P 为BC 的中点。在Rt△PCD 中, 可得|PD→|= 5。 因 为 cos ∠DPB = -cos ∠DPC = - 1 5 ,所以 PB→·PD→=|PB→|·|PD→|· cos∠DPB=1× 5× - 1 5 =-1。 (方法2)以 A 为坐标原点,AB,AD 所 在的直线分别为x 轴,y 轴,建立如图2所示 的平面直角坐标系,则点 A(0,0),B(2,0), C(2,2),D(0,2),所以 AP→=12(AB →+AC→) =(2,1)。由点 P(2,1),可得 PD→=(-2, 1),所以|PD→|= 5。 因为PB→=(0,-1),所以 PB→·PD→= (0,-1)·(-2,1)=-1。 考点6:利用正、余弦定理解三角形 解三角形的一般方法:已知两角和一边, 如已知A,B 和c,由A+B+C=π求C,由 正弦定理求a,b;已知两边和这两边的夹角, 如已知a,b和C,先用余弦定理求c,再用正 弦定理求较短边所对的角,最后利用 A+ B+C=π求另一角;已知两边和其中一边的 对角,如已知a,b和A,先用正弦定理求B, 由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦 定理求c,但要注意多解的情况;已知三边a, b,c,可用余弦定理求A,B,C。 例6 在△ABC 中,D 是BC 上的点, AD 平分∠BAC,△ABD 的面积是△ADC 面积的2倍。 (1)求 sinB sinC 。 (2)若AD=1,DC= 2 2 ,求BD,AC的长。 解:(1)易 得 S△ABD = 1 2AB ·AD · sin∠BAD,S△ADC = 1 2 AC · AD · sin∠CAD。由 S△ABD =2S△ADC,∠BAD = ∠CAD,可得 S△ABD S△ADC = AB AC=2 。由正弦定理 得 sinB sinC= AC AB= 1 2 。 (2)由 S△ABD S△ADC = BD DC =2 ,可 得 BD = 2DC= 2。 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理得 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC, 所以AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6。 结合AB=2AC,解得AC=1。 已知点A(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求 平行四边形ABCD 的第四个顶点D 的坐标。 提示:(方法1)设点D 的坐标为(x,y)。 因为ABCD 是平行四边形,所以AB→= DC→,所以(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x, y),整理得(-1,2)=(-1-x,-2-y),所 以 -1-x=-1, -2-y=2, 解得x=0,y=-4,所以 点D 的坐标为(0,-4)。 (方法2)因为ABCD 是平行四边形,所以 AB→=DC→,所以 OB→-OA→=OC→-OD→,所以 OD→=OA→+OC→-OB→=(1,0)+(-1,-2)- (0,2)=(0,-4),所以点D 的坐标为(0,-4)。 作者单位:陕西省汉阴县汉阴中学 (责任编辑 郭正华) 5 知识结构与拓展 高一数学 2025年6月