2026届高三数学一轮复习课时作业20：函数模型的应用

2.14　函数模型的应用 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.已知a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)=x2，f2(x)=f3(x)=log2x，f4(x)=2x，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是(　　) A.a B.b C.c D.d 2.一组实验数据及对应散点图如图所示，则体现这些数据关系的最佳函数模型是(　　) x 10 20 29 41 50 58 70 y 1 2 3.8 7.4 11 15 21.8 A.y=Alogax+p B.y=A·ax+p C.y=ax2+bx+c D.y=kx+b 3.输血是外伤人员救治的重要手段，血液质量对提高救治成功率极为关键.血液质量的主要评判指标是血液中ATP含量.已知血液中ATP浓度S(单位：μmol/gHb)随温度λ(单位：℃)、时间t(单位：天)、及起始浓度S0变化的近似函数关系式为S=S0t1.08λe-1.30λ(e为自然对数的底数，e≈2.718 28).由此可知，当血液在20℃恒温条件下，保存5天后的ATP浓度大约相当于血液在4℃恒温条件下保存　　　　天后的ATP浓度(参考数据：ln 5≈1.6)(　　)  A.16 B.20 C.25 D.30 4.(2025·宜宾模拟)根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型y=其中y(单位：万辆)为第x年年底新能源汽车的保有量，p为年增长率，N为饱和度，y0为初始值.若2023年年底该市新能源汽车的保有量是20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为12%，饱和度为1 300万辆，那么2033年年底该市新能源汽车的保有量约为(结果四舍五入保留整数，参考数据：ln 0.887≈-0.12，ln 0.30≈-1.2)(　　) A.65万辆 B.64万辆 C.63万辆 D.62万辆 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.已知函数y1=x2，y2=2x，y3=x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是(　　) A.在[0，+∞)上，随着x的逐渐增大，y1的增长速度越来越快于y2 B.在[0，+∞)上，随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1 C.当x∈(0，+∞)时，y1的增长速度一直快于y3 D.当x∈(0，+∞)时，y1的增长速度有时快于y2 6.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间满足函数关系y=aeRt(a，R为常数，e是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是(　　) A.a=128 B.R=ln 2 C.排气12分钟后浓度为16 ppm D.排气32分钟后，人可以安全进入车库 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.函数y=x与函数y=x·ln x在区间(4，+∞)上增长较快的一个是　　　　　　　　　.  8.表观活化能的概念最早是针对阿伦尼乌斯公式k=A中的参量Ea提出的，是通过实验数据求得，又叫实验活化能，公式中的k为反应速率常数，R为摩尔气体常量，T为热力学温度(单位为开尔文，简称开)，A(A>0)为阿伦尼乌斯常数.已知某化学反应的温度每增加10开，反应速率常数k变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时，估计的值为　　　　.(结果精确到百位，参考数据：ln 2≈0.7)  四、解答题(共27分) 9.(13分)研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y=log0.8(x+a)+80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”. (1)求函数y=f(x)的解析式；(6分) (2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8-12≈14.6，精确到1分钟)(7分) 10.(14分)用打点滴的方式治疗“支原体感染”病患时，第一次注射的血药浓度(血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合c1(t)=N0(1-2-kt)，其函数图象如图所示，其中N0为与环境相关的常数，此种药物在人体内有治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合c2(t)=c·2-kt，其中c为停药时的人体血药浓度. (1)求出函数c1(t)的解析式；(5分) (2)一病患开始第一次注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？(如果计算结果不是整数，保留小数点后一位，参考数据：lg 3≈0.48，lg 2≈0.30)(9分) 【提升练】 11.已知某物种t年后的种群数量y近似满足函数模型y=k0·e1.4e-0.125t(k0>0，当t=0时表示2023年初的种群数量).自2023年初起，经过n年后(n∈N*)，当该物种的种群数量不足2023年初的10%时，n的最小值为(参考数据：ln 10≈2.3)(　　) A.16 B.17 C.18 D.19 12.(多选)(2024·长春模拟)声强级LI(单位：dB)由公式LI=a+blg I给出，其中I为声强(单位：W/m2)，相应不同声的声强级如表所示，则(　　) I(W/m2) LI(dB) 正常人能忍受的最高声强 1 120 正常人能听到的最低声强 10-12 0 正常人交谈时的声强 10-6 L正常 某人谈话声强 IT 80 A.LI=10lg B.I= C.L正常=60 D.IT=10-4 答案精析 1.D　2.C 3.C　[设所求为t天，由题意得S0×51.08×20e-1.30×20 =S0×t1.08×4e-1.30×4， 解得t4.32= 取对数为ln t=≈3.2≈2ln 5=ln 25，所以t≈25.] 4.B　[根据题中所给模型，代入有关数据， 则2033年年底该市新能源汽车的保有量为y= = 因为ln 0.30≈-1.2，所以e-1.2≈0.30， 所以y=≈≈64， 所以2033年年底该市新能源汽车的保有量约为64万辆.] 5.BD　[在同一平面直角坐标系中画出函数y1=x2，y2=2x，y3=x的图象，如图所示. 对于A，B， 在[0，+∞)上，随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1，故A错误，B正确； 对于C，当x∈(0，+∞)时，y1的增长速度不是一直快于y3的，故C错误； 对于D，当x∈(0，+∞)时，y1的增长速度有时快于y2，故D正确.] 6.ACD　[设f(t)=aeRt， 由题意得 解得A正确，B错误； 此时f(t)=128=27·=所以f(12)=24=16(ppm)，C正确； 当f(t)≤0.5时≤0.5=2-1，得7-≤-1，所以t≥32，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确.] 7.y=x·ln x 解析　当x∈(4，+∞)时，x·ln x-x=x(ln x-1)>x(ln 4-1)>0，所以函数y=x·ln x在区间(4，+∞)上增长较函数y=x快. 8.8 400 解析　根据题意，温度每增加10开，反应速率常数k变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时，反应速率常数k变为300开时的210倍， 由k=A 当T=300开时，k1=A 当T=400开时，k2=A 所以==210， 即=210， =210， =10ln 2， =12 000ln 2≈12 000×0.7 =8 400. 9.解　(1)当x∈[0，16]时， 设函数f(x)=b(x-12)2+84(b<0)， 因为f(16)=b(16-12)2+84=80， 所以b=- 所以f(x)=-(x-12)2+84； 当x∈[16，40]时， f(x)=log0.8(x+a)+80， 由f(16)=log0.8(16+a)+80=80，解得a=-15， 所以f(x)=log0.8(x-15)+80， 综上，f(x) = (2)当x∈[0，16]时， 令f(x)=-(x-12)2+84≤68， 即(x-12)2≥64， 解得x≤4或x≥20(舍去)， 所以x∈[0，4]； 当x∈[16，40]时， 令f(x)=log0.8(x-15)+80≤68， 得x≥15+0.8-12≈29.6， 所以x∈[30，40]， 所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4-0+40-30=14(分钟). 10.解　(1)由图象可知，图象经过(4，8)，(8，12)两点，将两点坐标代入c1(t)=N0(1-2-kt)， 则 解得 所以c1(t)=16×(1-). (2)由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间， 所以浓度为15时为最迟停止注射时间， 由c1(t)=16×(1-)=15， 解得t=16， 浓度从15降到4为最长间隔时间， 故c2(t)=15×=4， 即= 等号两边同时取以2为底的对数， 则log2=log2 即-=log24-log215=2- =2- =2- ≈2-≈-1.93， 所以t≈1.93×4≈7.7， 所以开始第一次注射后，最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果， 最多再隔7.7小时开始进行第二次注射. 11.D　[由题意可知2023年初的种群数量为t=0时的函数值k0·e1.4e， 故令y=k0·e1.4e-0.125t<10%·k0·e1.4e， 即e-0.125t< 则0.125t>ln 10， ∴t>=8ln 10≈8×2.3=18.4， 由于n∈N*，故n的最小值为19.] 12.BCD　[由表格得a+blg 1=120，所以a=120， 又因为120+blg 10-12=120-12b=0，得b=10， 所以LI=120+10lg I=10(12+lg I)=10lg(1012I)，A错误； lg I= 则I=1=B正确； 当I=10-6时，L正常=120+10lg 10-6=60，C正确； 当LI=80时，IT=1=10-4，D正确.] 学科网（北京）股份有限公司 $$