第七章 空间向量与立体几何（单元测试）-2027届新高考数学一轮复习

第七章 空间向量与立体几何（单元测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（     ） A． B． C． D． 3．在中，，，，将绕旋转一圈，所得几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，平面，四边形为正方形，是的中点，是上一点，当时，（     ） A． B． C． D． 5．已知直线经过点，其方向向量，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，．若，，三向量共面，则实数等于（     ） A． B． C． D． 7．如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（    ） A． B． C． D．4 8．如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，，为平面内一动点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，，下列结论正确的有（    ） A． B．向量，的夹角为 C．向量在向量上的投影向量为 D．若是坐标原点，且，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 10．如图所示，在正四棱台中，，，则以下结论正确的是（   ） A． B．平面 C．当时，直线和平面所成角的大小为 D．若正四棱台的高为3，则三棱锥的体积为8 11．在棱长为2的正方体中，、为、中点，在正方形内移动（包括边界），满足，则下列说法正确的是（     ） A．存在点使得平面 B．三棱锥的外接球表面积为 C．异面直线与所成角的取值范围为 D．直线上的一点到直线的最短距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一个圆锥的底面半径为，高为，则它的表面积为__________． 13．在四棱锥中，底面为正方形，面面，且，则异面直线与所成角的余弦值为________________________． 14．已知正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则三棱锥与四棱锥的体积之比为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．    (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 16．（15分） 如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，为的中点，平面． (1)证明：平面． (2)为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点. (1)求证平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 18．（17分） 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为:是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点， (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（17分） 如图，棱长为2的正方体中，E、F分别是棱的中点，G为棱上的动点． (1)是否存在一点G，使得平面？若存在，指出点G位置，并证明，若不存在，说明理由； (2)若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积； (3)（ⅰ）若直线与平面所成角为，求的最大值； （ⅱ）求三棱锥的外接球半径的最小值． 1 / 4网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 空间向量与立体几何（单元测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标， 纵坐标、竖坐标变为原来的相反数，横坐标不变， 所以点关于轴对称的点的坐标为. 2．若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，，，四点共面，且， 根据四点共面的充要条件知，解得. 3．在中，，，，将绕旋转一圈，所得几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，已知，，， ，所以， 绕直角边旋转一周，所得几何体为圆锥， 底面半径为，高为，母线长为， 所以. 4．如图，平面，四边形为正方形，是的中点，是上一点，当时，（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设，因为四边形为正方形， 则，设， ，， 当时，，解得， 所以 5．已知直线经过点，其方向向量，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，所以点到直线的距离为： . 6．已知，，．若，，三向量共面，则实数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，，三向量共面，则存在唯一一对实数，使得， 又因为，，， 所以， 所以，解得，所以实数等于. 7．如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由，，得，， 又因为，所以 ， 所以，即． 8．如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，，为平面内一动点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】为腰长为2的等腰直角三角形，且，则，， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设关于平面的对称点为，， 则，设平面的法向量， 则，令，则，所以， 所以与到平面的距离， 即①，又，所以②， 所以由①②得，又由可得，所以， 所以， 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，，下列结论正确的有（    ） A． B．向量，的夹角为 C．向量在向量上的投影向量为 D．若是坐标原点，且，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 【答案】AC 【解析】对于选项A，，所以，选项A正确； 对于选项B，向量和的夹角为，则，因为，所以，选项B错误； 对于选项C，向量在向量上的投影向量，选项C正确； 对于选项D，由选项B得，，所以以，为邻边的平行四边形的面积，选项D错误. 10．如图所示，在正四棱台中，，，则以下结论正确的是（   ） A． B．平面 C．当时，直线和平面所成角的大小为 D．若正四棱台的高为3，则三棱锥的体积为8 【答案】ABD 【解析】连接相交于，连接相交于，连接, 由题意可知、、两两垂直， 所以以为坐标原点、分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系： 设高正四棱台的高， 则，，，， ，，，，， 对于A，因为, 所以, 所以， 即，故A正确； 对于B，因为，且四点不共线， 所以，即， 又因为平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，过作于， 由题意可得即为直线和平面所成角, 且, 所以, 所以， 即直线和平面所成角为， 又因为平面平面， 所以直线和平面所成角的大小为，故C错误； 对于D，由题意可知，由B可知平面， 所以，故D正确. 11．在棱长为2的正方体中，、为、中点，在正方形内移动（包括边界），满足，则下列说法正确的是（     ） A．存在点使得平面 B．三棱锥的外接球表面积为 C．异面直线与所成角的取值范围为 D．直线上的一点到直线的最短距离为 【答案】BD 【解析】对于A，由题意可知点在以为直径的圆与正方形的交线上，即位于正方形内的半圆上， 因为不能与点重合，所以平面无法成立，故A错误； 对于B，设中点为，中点为， 因为为直角三角形，且，，为直角三角形， 所以, 又因为, 所以为三棱锥的外接球的球心， 所以外接球的半径, 所以其表面积为，故B正确； 对于C，因为， 所以异面直线与所成角为, 又因为点在以为直径的圆与正方形的交线上，即半圆上， 当移动到正方形的中心时，,, , 则有, 所以是直角三角形， 所以, 则， 此时异面直线与所成角，不在内，故C错误； 对于D，连接，取中点，连接，设， 过作于， 因为为中点，是中点， 所以, 由题意可知平面,平面, 所以, 又,平面， 所以平面， 又平面， 所以, 又因为， 所以是直线和直线的公垂线， 又因为正方体的棱长为2， 所以, 所以, 又, 所以, 因为, 所以，解得，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一个圆锥的底面半径为，高为，则它的表面积为__________． 【答案】 【解析】由题意知圆锥的底面半径，高． 圆锥的高、底面半径和母线构成一个直角三角形，其中母线为斜边， 设圆锥的母线长为，则由勾股定理，可得． 该圆锥的表面积． 13．在四棱锥中，底面为正方形，面面，且，则异面直线与所成角的余弦值为________________________． 【答案】 【解析】取的中点，连结，由于，所以； 又面面，面面且面，所以面. 取中点，连结，则 所以以为原点，的方向为轴，的方向为轴，的方向为轴，建立空间直角坐标系， 则 所以； 设异面直线与所成角为， 则. 14．已知正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则三棱锥与四棱锥的体积之比为_________. 【答案】 【解析】因为分别为的中点，所以与相似，相似比为， 所以，三棱锥与以为顶点，底面在同一平面上，则高相等， 所以，即. 三棱锥与四棱锥以为顶点，底面在同一平面上，则高相等，且底面积， 所以， 所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．    (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 【解析】（1）由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 16．（15分） 如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，为的中点，平面． (1)证明：平面． (2)为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）因为D为的中点，，所以． 平面，平面， 所以， 因为平面，所以平面 （2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，故， 则，， 又因为，所以，为棱的中点，所以， 所以，， 设平面的法向量为，则， 即，令，得． 设与平面所成角为，因为， 所以， 即与平面所成角的正弦值为． 17．（15分） 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点. (1)求证平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【解析】（1） 因为平面ABCD，，所以以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系. 由，，且，得各点坐标： ， 由为的中点，为的中点，得， ，， 因为， 故与共面，又平面 ， 因此平面. （2）设平面的法向量为，由， 即：，取，则， 设平面的法向量为.在该平面内取， 即：，取，则 设两平面所成二面角为 ，则 （3）平面过点，其法向量为，又， 故点到平面的距离. 18．（17分） 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为:是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点， (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为底面为矩形，所以，， 又底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，所以为直线与所成角，即， 设，则，， 在中，， 又，即，解得或（舍去）， 所以. （2）在平面内，过点作交的延长线于点，连接， 底面，底面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点，所以，， 所以， 设二面角的平面角为，则， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为. （3）依题意，，，又， 所以，，又，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得， 连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. 19．（17分） 如图，棱长为2的正方体中，E、F分别是棱的中点，G为棱上的动点． (1)是否存在一点G，使得平面？若存在，指出点G位置，并证明，若不存在，说明理由； (2)若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积； (3)（ⅰ）若直线与平面所成角为，求的最大值； （ⅱ）求三棱锥的外接球半径的最小值． 【解析】（1）存在一点G，当点G为的中点时，使得平面， 连接，如图所示： ∵点分别是的中点，，同理， 又平面，平面，所以，则， 同理可证：， 又因为平面，∴平面. （2）取的中点，连接，，由题意可知，平面，且， 是直线与平面所成的角，即， 在中，， ∴在中，， 又 ， ． （3）（ⅰ）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，， 设， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，则 若直线与平面所成角为，则 当且仅当，即，时，等号成立. （ⅱ）因为，， 所以，即， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，所以三棱锥的外接球的球心在上， 设外接球球心为， 设，，则的坐标为， 则，即， 所以，设，则，则， 而，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以， 三棱锥的外接球的半径 ， 因为，所以，所以， 三棱锥的外接球半径的最小值为． 1 / 4网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $