专题07 二次函数（6大题型35题）（甘肃专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题07 二次函数 题型概览 题型01 二次函数的图象与性质 题型02 二次函数图象与系数的关系 题型03 二次函数的最值 题型04 待定系数法求二次函数解析式 题型05 二次函数图象的平移 题型06 实际问题与二次函数 ( 题型01 )二次函数的图象与性质 1．（2025·甘肃·一模）已知抛物线，，，，四点都在该抛物线上，且，则的取值范围为 ． 2．（2025·甘肃·一模）若抛物线与直线（为常数）都经过同一定点，则代数式的值为（   ） A．0 B．3 C． D． 3．（2025·甘肃·一模）抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃·一模）已知是关于x的二次函数，且当时，y随x的增大而增大，则k的值为 ． 5．（2025·甘肃·一模）抛物线（是常数，）经过两点，且．点，在抛物线上，当且时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·甘肃·一模）当时，二次函数有最小值，记作，随着的变化，的最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 7．（2025·甘肃·一模）若二次函数有最大值为6，则的最小值为 ． 8．（2025·甘肃·一模）在同一平面直角坐标系中，若抛物线向右平移2个单位后得抛物线，则符合条件的m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， ( 题型02 )二次函数图象与系数的关系 9．（2025·甘肃·一模）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·甘肃·一模）二次函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·甘肃嘉峪关·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数（a，b为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·甘肃·一模）如图，抛物线与轴交于点和点B，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当抛物线沿着轴向下平移1个单位长度就可能经过点．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2025·甘肃·一模）二次函数（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A．4ac＜b2 B．abc＜0 C．b+c＞3a D．a＜b ( 题型03 )二次函数的最值 14．（2025·甘肃·一模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． (3)如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 15．（2025·甘肃·一模）已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数的最小值是 D．函数图象与y轴的交点坐标是 16．（2025·甘肃·一模）如图1，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线顶点，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作轴于点E，连接，交于点F，已知点D到x轴的距离与的长度相等，设点P的横坐标为m．    (1)求此抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，连接交于点G，设和的面积分别为，求的最大值 17．（2025·甘肃·一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． ( 题型0 4 )待定系数法求二次函数解析式 18．（2025·甘肃·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标． 19．（2025·甘肃·一模）如图，已知抛物线过点，与轴交于点，点在轴上，，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)若点关于直线的对称点在轴上，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一动点（点不与点、重合），过点作直线的垂线交于点，交轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 20．（2025·甘肃张掖·一模）如图⑥，抛物线与x轴交于O、A两点，与直线交于O、两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线的表达式： (2)请在图⑥中过点P作轴于点F，延长交于点E，当时，求点P的坐标： (3)如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接，求的最小值． 21．（2025·甘肃兰州·一模）如图1，位于甘肃某地的沙漠边缘地区常见抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状，它的两翼附近生长着梭梭树．建立如图2所示的平面直角坐标系，已知某一抛物线状沙丘（呈对称）两翼端点的水平距离（，沙丘弧顶最高点A到的距离为，边界线与之间为梭梭树生长较茂密地带，且，点C到沙丘左翼端点O的水平距离． (1)求抛物线状沙丘的表达式： (2)求梭梭树生长较茂密地带宽度的长． 22．（2025·甘肃·一模）已知，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点D为抛物线上位于直线上方的一点，于点E，轴交于点F，当的周长最大时，求点D的坐标； (3)将抛物线沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，轴交新抛物线于点P，射线与新抛物线的另一交点为Q．当时，求点Q的坐标． 23．（2025·甘肃平凉·一模）如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴交于点，顶点为．过点作轴交直线于点，作轴交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，求的面积； (3)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，求的最小值． ( 题型0 5 )二次函数图象的平移 24．（2025·甘肃·一模）将抛物线沿x轴向右平移3个单位得到一条新抛物线，若点均在新抛物线上，则a与b的大小关系为（   ） A． B． C． D．与m的取值有关 25．（2025·甘肃·一模）将抛物线向右平移1个单位长度后拋物线的顶点坐标是 ． 26．（2025·甘肃陇南·二模）已知抛物线：与轴相交于和两点，与轴相交于点．抛物线沿轴向右平移后的抛物线为，点、在上的对应点分别为、． (1)求点坐标； (2)若的面积等于的面积的2倍，请说明抛物线怎样沿轴平移得到抛物线． ( 题型0 6 )实际问题与二次函数 27．（2025·甘肃天水·一模）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（    ）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 28．（2025·甘肃·一模）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是 ． 29．（2025·甘肃平凉·一模）年月日，中国（瑞昌）国际羽毛球大师赛世界羽联巡回赛超级赛迎来决赛日．若在某次练习中羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），若甲选手发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为的处时（点在抛物线对称轴右侧），乙选手在处扣球成功，则点到轴的水平距离是 ． 30．（2025·甘肃张掖·一模）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球，发射时的速度为．小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．已知实验楼高，则这两次间隔的时间为 ． 31．（2025·甘肃嘉峪关·一模）某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图2，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点E处，米． (1)请建立适当的平面直角坐标系，并写出点M的坐标为_________． (2)在（1）的条件下，求最外层水柱所在抛物线的函数表达式． (3)已知车棚的宽度为7米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离地面1米高的全部范围．工作人员想在棚顶上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷淋头N，请确定消防喷淋头N与点B的距离的取值范围，并说明理由． 32．（2025·甘肃·一模）东台鱼汤面是“中华名小吃”．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽cm，碗深cm，则当满碗汤面的竖直高度下降cm时，碗中汤面的水平宽度为 cm（碗的厚度不计）． 33．（2025·甘肃·一模）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为 秒． 34．（2025·甘肃·一模）大棚果蔬产业的大力发展使得蔬菜产业逐步向科学化种植、规模化发展、产业化经营模式转变．如图是蔬菜大棚的截面示意图，其形状近似看作抛物线．其中大棚的跨径，最顶端点到保温墙的水平距离为4m，到地面的距离为3.6m．现要使得高度为1.1m的机械农具在不碰到棚顶的情况下工作（农具宽度忽略不计），则农具活动范围的宽度为 m． 35．（2025·甘肃·一模）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．则小明此次试投的成绩（线段的长度）是 米． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数 题型概览 题型01 二次函数的图象与性质 题型02 二次函数图象与系数的关系 题型03 二次函数的最值 题型04 待定系数法求二次函数解析式 题型05 二次函数图象的平移 题型06 实际问题与二次函数 ( 题型01 )二次函数的图象与性质 1．（2025·甘肃·一模）已知抛物线，，，，四点都在该抛物线上，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先求出二次函数的解析式，令，则，根据根与系数的关系求出，，求出，根据，得出求出m的取值范围即可． 【详解】解：把，代入得： ， 解得：， ∴， 令，则， ∴， ∵，在抛物线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：， 综上分析可知：． 故答案为：． 2．（2025·甘肃·一模）若抛物线与直线（为常数）都经过同一定点，则代数式的值为（   ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线过定点，代数式的值，准确找到定点是解题的关键．把变形得，确定函数过的定点是，从而得到，代入计算即可． 【详解】解：把变形得， 所以函数过的定点是， 因为一次函数都经过同一定点， 所以， 所以． 故选：D． 3．（2025·甘肃·一模）抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的性质是解题的关键．利用对称轴公式运算求解即可． 【详解】解∶∵， ∴对称轴为直线， 故选：B． 4．（2025·甘肃·一模）已知是关于x的二次函数，且当时，y随x的增大而增大，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数定义，二次函数图象及性质等．根据题意可得，解出的值，再利用二次函数图象性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，解得：或， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴开口向上， ∴， 故答案为：2． 5．（2025·甘肃·一模）抛物线（是常数，）经过两点，且．点，在抛物线上，当且时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题意可知抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小，离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧，由，即，可知对称轴直线，即可求解．利用对称性求出对称轴从而得出对称轴直线是解题关键． 【详解】解：∵抛物线（是常数，）经过两点， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小， ∵，总有， ∴离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧， 又∵，即， ∴对称轴直线，可得， ∵， ∴， 故选：B． 6．（2025·甘肃·一模）当时，二次函数有最小值，记作，随着的变化，的最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值，掌握非负数的性质是解题的关键． 先求出顶点坐标，再根据非负数的性质求解． 【详解】解：∵， ∴当时，取最小值， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最大值8， 故选：A． 7．（2025·甘肃·一模）若二次函数有最大值为6，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键． 根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值． 【详解】解：∵二次函数有最大值6， ∴设二次函数的顶点坐标为， ∵向左平移1个单位得到， ∴的顶点坐标为， ∵与关于轴对称， ∴的顶点坐标为，且开口向上， 此时顶点坐标为，则最小值为； 故答案为：． 8．（2025·甘肃·一模）在同一平面直角坐标系中，若抛物线向右平移2个单位后得抛物线，则符合条件的m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，先把原抛物线的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键．先把抛物线化为顶点式的形式，再根据函数图象平移的法则求出右平移2个单位后所得抛物线的解析式，写出对应系数的值即可． 【详解】解：抛物线化为， 抛物线向右平移2个单位后得抛物线，所得抛物线的解析式为：，即， ，解得， 故选：D． ( 题型02 )二次函数图象与系数的关系 9．（2025·甘肃·一模）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算等知识是关键． 根据二次函数图象可得，结合题意判定即可． 【详解】解：根据二次函数图象可得图象开口向下，对称轴在轴右侧，与轴的交点在正半轴上，与轴由两个交点， ∴， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵图像与轴有两个交点， ∴，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C选项正确，符合题意； ∵对称轴为直线， ∴与时，值相等， ∴当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 10．（2025·甘肃·一模）二次函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由图象可得，即可判断；由图象与轴有两个交点可判断；由二次函数的对称性可得当时，，即可判断；根据二次函数的对称轴可判断，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象得，， ，故选项错误； ∵二次函数图象与轴有两个交点， ，故选项错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ，故选项错误： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ， ，故选项正确， 故选：． 11．（2025·甘肃嘉峪关·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数（a，b为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数解析式和函数图象之间的关系，掌握函数解析式的系数和函数图象之间的关系即可解题． 【详解】解：A、由二次函数图象可知，由一次函数图象可知，自相矛盾，不符合题意． B、由二次函数图象可知，由一次函数图象可知，自相矛盾，不符合题意． C、由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，自相矛盾，不符合题意． D、由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，符合题意． 故选：D． 12．（2025·甘肃·一模）如图，抛物线与轴交于点和点B，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当抛物线沿着轴向下平移1个单位长度就可能经过点．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：①由抛物线的开口向下知， 对称轴位于轴的右侧， ∴， 抛物线与轴交于正半轴， 故错误； ②对称轴为直线，得，故正确； ③抛物线与x轴交于点， ，即， 故③错误； ④抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线， ， 设二次函数关系式为， 抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后的函数关系式为， 当时，， 抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后经过点故④正确； 综上所述，正确的结论为：② 故选B． 13．（2025·甘肃·一模）二次函数（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A．4ac＜b2 B．abc＜0 C．b+c＞3a D．a＜b 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质逐一判断即可求出答案． 【详解】由图象可知：△＞0， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac， 故A正确； ∵抛物线开口向上， ∴a＜0， ∵抛物线与y轴的负半轴， ∴c＜0， ∵抛物线对称轴为x=＜0， ∴b＜0， ∴abc＜0， 故B正确； ∵当x=-1时，y=a-b+c＞0， ∴a+c＞b， ∵对称轴为直线 ∴∴b＞2a, ∴a+b+c＞2b＞4a,b+c＞3a, 故C正确； ∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0， ∴a﹣b+c＞c， ∴a﹣b＞0， ∴a＞b， 故D错误； 故选D． 考点：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程、不等式之间的转换，根的判别式的熟练运用． ( 题型03 )二次函数的最值 14．（2025·甘肃·一模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． (3)如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3)最大值为4 【分析】（1）中把点、的坐标代入函数解析式列出关于、的方程组，通过解方程组可以求出它们的值； （2）根据图形得到：，即，利用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图形上点的坐标特征求得点的横坐标； （3）过点作轴交直线于点，将转化为，则，再将该线段和用关于或的二次多项式表示，再利用配方法求出最值即可． 【详解】（1）解：把和代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：， ， 即， 令，则， 解得：或3， ， ， ， ， ， 点为第四象限抛物线上的动点， ， 当， 解得， 或． （3）解：设直线的解析式为， 将，代入：， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， 过点作轴交直线于点，如图所示： ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，，， ，， ，， ，， ， ， 当时，有最大值，最大值为4． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，三角形面积公式，二次函数与线段和最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 15．（2025·甘肃·一模）已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数的最小值是 D．函数图象与y轴的交点坐标是 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的对称轴以及开口方向，最值是解题的关键 根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】由二次函数的顶点式为， 顶点坐标为)，选项A说法错误，故该选项不符合题意； 对称轴为直线，选项B说法正确，故该选项符合题意； 函数的开口方向由 a 决定，且， 抛物线开口向下，抛物线有最大值，最大值为顶点的 y 坐标，为，选项C说法错误，故该选项不符合题意； 令，则， 图象与y轴的交点坐标为，故D选项错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 16．（2025·甘肃·一模）如图1，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线顶点，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作轴于点E，连接，交于点F，已知点D到x轴的距离与的长度相等，设点P的横坐标为m．    (1)求此抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，连接交于点G，设和的面积分别为，求的最大值 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出点，，得出，根据，点D为抛物线顶点，得出，根据点D到x轴的距离与的长度相等，得出，求出结果即可； （2）设点P的坐标为，求出，直线的表达式为，得出，根据，求出结果即可； （3）过点P作轴交的延长线于点H，证明，得出，根据点，求出，得出，说明，根据二次函数的性质，求出最值即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 令，则，， ∵点A在点B的左侧， ∴，， ∴， ∵，点D为抛物线顶点， ∴， ∵点D到x轴的距离与的长度相等， ∴， ∴. ∴此抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为， 设点P的坐标为， 令，则， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， 解得，， ∴点P的坐标为或； （3）解：如图，过点P作轴交的延长线于点H，    由题知，， ∵轴， ∴， ∴， 由（1）可得，，由（2）可得，直线的表达式为，点， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 17．（2025·甘肃·一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3． 【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论． 【详解】（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得： ，解得：， ∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3； 设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0）， 将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得： ，解得：， ∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1． （2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示． 设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1）， ∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+ ． ∵﹣＜0， ∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣， ）． （3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴点N的坐标为（0，3）． ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点C，N关于抛物线的对称轴对称． 令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示． ∵点C，N关于抛物线的对称轴对称， ∴MN＝CM， ∴AM+MN＝AM+MC＝AC， ∴此时△ANM周长取最小值． 当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2， ∴此时点M的坐标为（﹣1，2）． ∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3）， ∴AC＝ ＝3，AN＝ ＝， ∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+． ∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置． ( 题型0 4 )待定系数法求二次函数解析式 18．（2025·甘肃·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形面积，二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法，二次函数与图形面积，特殊四边形的综合运用技巧是关键． （1）根据题意得到，由抛物线与轴的交点可设，将点代入，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示，过点作轴于点，交于点，运用待定系数法可得直线的解析式为，设点，则点，所以，由，结合二次函数最大值的计算方法即可求解； （3）设，，则，根据菱形的性质得到，由此列式得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， 当时，， ∴， 抛物线与轴交于点，， ∴设，将点代入， 得：， 解得：， ； 该抛物线的函数表达式为； （2）解：为第一象限的抛物线上一点，如图所示，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ∵，， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为； （3）解：设，， ， 四边形是菱形， ， ， 解得：， ． 19．（2025·甘肃·一模）如图，已知抛物线过点，与轴交于点，点在轴上，，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)若点关于直线的对称点在轴上，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一动点（点不与点、重合），过点作直线的垂线交于点，交轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式，即可求解； （2）设交于点，根据已知得出的坐标，求得直线解析式，联立抛物线解析式，即可求解； （3）分在轴上方和下方两种情况讨论，当在轴下方时只有当是等腰三角形时，只能，根据勾股定理建立方程结合等腰三角形的定义，解方程即可求解；当在轴上方时，分三种情况讨论，分别画出图形，结合勾股定理，建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴； （2）解：如图，设交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵点，关于直线的对称， ∴垂直平分 ∴， ∴， ∴为的中点，则， ∵， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴M点坐标为或； （3）解：当在轴下方时，连接，如图， 依题意，当是等腰三角形时，只能， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 当在轴上方时， ①当时，如图，连接， ∴， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ②当时，如图，设，交于点， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：（舍去）或， ∴， ③当为等腰三角形，时，如图， ， ， ∴， 综上所述，为等腰三角形时，请直接写出点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，配方法，分类讨论的思想方法，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 20．（2025·甘肃张掖·一模）如图⑥，抛物线与x轴交于O、A两点，与直线交于O、两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线的表达式： (2)请在图⑥中过点P作轴于点F，延长交于点E，当时，求点P的坐标： (3)如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点P的坐标为（），可得点E的坐标为，点F的坐标为，由，可得，解得，即可求解； （3）在上方作．使得，，连接，证明，可得．当M，Q，B三点共线时最小，则的最小值为的长，再求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴． ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， 设点P的坐标为（）， 结合题意可得，点E的坐标为，点F的坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； （3）解：由题意得，． 如图，在上方作．使得，，连接， ∵点B的坐标为，轴， ∴，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∴（当M，Q，B三点共线时取等号）， ∴的最小值为的长， ∵， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 21．（2025·甘肃兰州·一模）如图1，位于甘肃某地的沙漠边缘地区常见抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状，它的两翼附近生长着梭梭树．建立如图2所示的平面直角坐标系，已知某一抛物线状沙丘（呈对称）两翼端点的水平距离（，沙丘弧顶最高点A到的距离为，边界线与之间为梭梭树生长较茂密地带，且，点C到沙丘左翼端点O的水平距离． (1)求抛物线状沙丘的表达式： (2)求梭梭树生长较茂密地带宽度的长． 【答案】(1)该抛物线的表达式为 (2)梭梭树较茂密地带宽度CE的长为 【分析】本题考查二次函数的应用，主要考查待定系数法求二次函数解析式，已知自变量值求函数值等． （1）先求出顶点坐标，再设该抛物线的表达式，再将代入即可得到； （2）将代入（1）中求得的解析式中即可求出本题答案． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为， ∴可设该抛物线的表达式为 ∵抛物线经过点， ∴， 解得： ∴该抛物线的表达式为： （2）解：∵， ∴点C的横坐标为30． ∴当时， ∴梭梭树较茂密地带宽度的长为 ． 22．（2025·甘肃·一模）已知，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点D为抛物线上位于直线上方的一点，于点E，轴交于点F，当的周长最大时，求点D的坐标； (3)将抛物线沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，轴交新抛物线于点P，射线与新抛物线的另一交点为Q．当时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，作出图形，利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据待定系数法即可即可解答； （2）证明为等腰直角三角形，则最大时，的周长最大，设，则，可利用表示出，利用二次函数的性质求得最大值即可； （3）分类讨论，分当点在轴正半轴或当点在轴负半轴，利用相似三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入可得， 解得， ∴此抛物线的解析式为； （2）解：当时，，则， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式为， ， 为等腰直角三角形， 轴， ， ， 为等腰直角三角形， ， 故要使的周长最大，即最大， 设，则， ，其中， 故当时，最大，即的周长最大， 此时； （3）解：设新抛物线的解析式为：，则， 抛物线的对称轴为直线， ， 如图，当点在轴正半轴上时，过点作轴于点， ，， , ， ，， 点必定在第一象限， 点必定在第三象限， ， 代入抛物线可得， 解得， 如图，当点在轴负半轴上时，过点作轴于点， ，， , ， ，， 点必定在第四象限， 点必定在第四象限， ， 代入抛物线可得， 解得， ， 综上，点的坐标为或． 23．（2025·甘肃平凉·一模）如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴交于点，顶点为．过点作轴交直线于点，作轴交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，求的面积； (3)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数点的坐标特征，二次函数的最值问题，全等三角形等知识点，解题的关键是熟练准确掌握各知识点． （1）利用待定系数法即可求出抛物线表达式； （2）利用抛物线顶点坐标公式求出顶点坐标，根据题意求出相关点的坐标，并求出相应线段的长度，最后可求三角形面积； （3）构造辅助线，利用全等三角形的判定和性质求出对应边相等，利用两点之间线段最短，最后可求出线段和的最小值． 【详解】（1）解：将，代入中，得 解得 抛物线的函数表达式为． （2）解：点为抛物线的顶点， ， ， 设直线的函数表达式为， 将代入得， 直线的函数表达式为． 将代入得，， ． （3）解：， ，即， 轴，轴， ， ． 如图，过点作直线轴，在上取，连接， 则， （SAS）， ， ， 当在上时，取得最小值，最小值为的长， 在中，． 故的最小值为． ( 题型0 5 )二次函数图象的平移 24．（2025·甘肃·一模）将抛物线沿x轴向右平移3个单位得到一条新抛物线，若点均在新抛物线上，则a与b的大小关系为（   ） A． B． C． D．与m的取值有关 【答案】C 【分析】抛物线沿x轴向右平移3个单位得到新抛物线的解析式为，根据抛物线的增减性解答即可． 本题考查了抛物线的平移，增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得抛物线沿x轴向右平移3个单位得到新抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，且距离对称轴越远，函数值越小，对称轴为直线， ∵， ∴．即． 故选：C． 25．（2025·甘肃·一模）将抛物线向右平移1个单位长度后拋物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，按照“左加右减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式，即可求出顶点坐标．解决本题的关键是熟记“左加右减，上加下减”． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度后得到解析式：，即， 故所得抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 26．（2025·甘肃陇南·二模）已知抛物线：与轴相交于和两点，与轴相交于点．抛物线沿轴向右平移后的抛物线为，点、在上的对应点分别为、． (1)求点坐标； (2)若的面积等于的面积的2倍，请说明抛物线怎样沿轴平移得到抛物线． 【答案】(1)点的坐标为； (2)抛物线沿轴向右平移6或个单位得到抛物线 【分析】本题考查了待定系数法确定函数关系式，抛物线与x轴的交点坐标，平移的性质，三角形的面积公式，能熟练运用相关性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）设抛物线沿轴向右平移得到抛物线，根据平移可得，，则，，，根据三角形面积公式，列式计算可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线：与轴相交于和两点， ∴， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：设抛物线沿轴向右平移得到抛物线， ∴，， ∴，，， ∵的面积等于的面积的2倍， ∴，即， ∴或． 综上，抛物线沿轴向右平移6或个单位得到抛物线． ( 题型0 6 )实际问题与二次函数 27．（2025·甘肃天水·一模）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（    ）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴两个交点的横坐标的差的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：当时，解得或， ∴水喷出的最远水平距离是米， 故选：A． 28．（2025·甘肃·一模）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 因为，所以抛物线的顶点坐标为， 得到当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是， 故答案为：． 29．（2025·甘肃平凉·一模）年月日，中国（瑞昌）国际羽毛球大师赛世界羽联巡回赛超级赛迎来决赛日．若在某次练习中羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），若甲选手发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为的处时（点在抛物线对称轴右侧），乙选手在处扣球成功，则点到轴的水平距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令即，然后解一元二次方程即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：令， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点到轴的水平距离是， 故答案为：． 30．（2025·甘肃张掖·一模）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球，发射时的速度为．小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．已知实验楼高，则这两次间隔的时间为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的应用以及因式分解法解一元二次方程，根据题意可得：，从而可得当时，，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， ∴这两次间隔的时间为， 故答案为：2． 31．（2025·甘肃嘉峪关·一模）某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图2，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点E处，米． (1)请建立适当的平面直角坐标系，并写出点M的坐标为_________． (2)在（1）的条件下，求最外层水柱所在抛物线的函数表达式． (3)已知车棚的宽度为7米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离地面1米高的全部范围．工作人员想在棚顶上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷淋头N，请确定消防喷淋头N与点B的距离的取值范围，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)1米米，见解析 【分析】（1）建立以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系即可知点M的坐标； （2）根据（1），可知抛物线顶点M的坐标，且过点．设抛物线的函数表达式为．代入求解即可； （3）结合（1）和（2），过点E作的平行线，交（1）中的抛物线于点P，交于点Q，则点Q的坐标为，进一步求得点P的坐标为，记顶点为M的抛物线为，顶点为N的抛物线为，由题意，可知抛物线可看作由抛物线向右平移得到的． 解法一：根据抛物线的对称性，可知当抛物线过点时，过点P作于点H，则．即可知当抛物线过点时，． 解法二：根据抛物线的平移吗，设抛物线的函数表达式为．当抛物线经过点时，解得，则可求得和．当抛物线经过点时，解得，即可求得和． 总述即可得到消防喷淋头N与点B的距离BN的取值范围． 【详解】（1）解：如图1，以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 则点M； （2）解：由图1，可知抛物线顶点M的坐标为，且过点． 设抛物线的函数表达式为． 将代入，得，解得． 抛物线的函数表达式为； （3）解：如图2和图3，过点E作的平行线，交（1）中的抛物线于点P，交于点Q，则点Q的坐标为， 令，解得或． 点P的坐标为． 记顶点为M的抛物线为，顶点为N的抛物线为 由题意，可知抛物线可看作由抛物线向右平移得到的． 解法一：根据抛物线的对称性，可知当抛物线过点时，如图2，过点P作于点H，则． ． 如图3，当抛物线过点时，． 解法二：设抛物线的函数表达式为． 当抛物线经过点时，如图2，则，解得或（舍去）． ． ． 当抛物线经过点时，如图3，则，解得或（舍去）． ． ． ． 消防喷淋头N与点B的距离BN的取值范围为1米米． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及建立坐标系、待定系数法求解析式、二次函数的对称性和二次函数的平移等知识点，解题的关键是熟悉二次函数的性质． 32．（2025·甘肃·一模）东台鱼汤面是“中华名小吃”．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽cm，碗深cm，则当满碗汤面的竖直高度下降cm时，碗中汤面的水平宽度为 cm（碗的厚度不计）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，用待系数法求出函数解析式是解题的关键. 设抛物线解析式为，用待系数法求出函数解析式，当汤面高度为时，代入解析式计算即可得到答案. 【详解】解：设抛物线解析式为， 根据题意得， ， ， 抛物线解析式为， 当满碗汤面的竖直高度下降cm时，汤面高度为， ， ， 碗中汤面的水平宽度为， 故答案为：. 33．（2025·甘肃·一模）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为 秒． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将代入求解即可． 【详解】解：当时，即 解得，（舍去） ∴该物体落回地面所需要的时间t为2秒． 故答案为：2． 34．（2025·甘肃·一模）大棚果蔬产业的大力发展使得蔬菜产业逐步向科学化种植、规模化发展、产业化经营模式转变．如图是蔬菜大棚的截面示意图，其形状近似看作抛物线．其中大棚的跨径，最顶端点到保温墙的水平距离为4m，到地面的距离为3.6m．现要使得高度为1.1m的机械农具在不碰到棚顶的情况下工作（农具宽度忽略不计），则农具活动范围的宽度为 m． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先建立坐标系求解二次函数的解析式为，求解当时的自变量的值，从而可得答案； 【详解】解：如图，建立坐标系如下： 由题意可得，顶点， ∴设抛物线为：， ∴， 解得：， ∴抛物线为； 当时， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 而， ∴农具活动范围的宽度为； 故答案为： 35．（2025·甘肃·一模）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．则小明此次试投的成绩（线段的长度）是 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据图中信息可设抛物线表达式为，再将点A坐标代入表达式中可求出a值，以此即可求出抛物线的表达式，再根据题意解方程即可解答． 【详解】解：根据图中信息可设抛物线表达式为， 由抛物线过点， 得， 解得：， ∴铅球路径所在抛物线的表达式为； 令，则， 解得：， ∵点C在x轴正半轴上， ∴， ∴米， 故答案为： 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$