山东省齐鲁名校教研共同体2024-2025学年高三下学期考前质量检测数学试题

2024-2025学年（下）高三年级考前质量检测数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的离心率为，虚半轴长为2，则的焦距为（ ） A. B. C. 4 D. 3. 若复数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 4. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知圆锥的底面积为，其轴截面为等腰直角三角形，若其一个内接圆柱的底面积为，则圆锥与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，要得到一个偶函数的图象，可以将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 7. 已知正方体的棱长为，是棱的中点，点，分别在平面与平面内、则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小明和小强在球场上进行罚球练习，双方均以个罚球为一组，其中小明练习组，小强练习组，现将他们每组练习中罚球命中的个数统计如下： 小明 小强 则下列说法正确的是（ ） A. 若，则小明和小强罚球命中个数的平均数相同 B. 若小明和小强罚球命中个数的极差相同，则 C. 若，则小明和小强罚球命中个数的中位数相同 D. 若，则小明罚球命中个数的方差小于小强罚球命中个数的方差 10. 已知函数的图象关于原点对称，且为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 当时， 11. 若数列满足：存在，使得对任意成立，则称是“受限数列”，的最小值称为的“受限上界”.记的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是受限数列 B. 若等差数列满足，，则是受限数列 C. 若，则是受限数列，其受限上界为3 D. 若，都是受限数列，则也是受限数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的零点为________. 13. 甲、乙、丙等8名同学将作为志愿者参加三个养老院的志愿服务工作，每个养老院至少安排2名志愿者，每名志愿者只能去一个养老院，且甲、乙、丙三人必须在同一养老院进行志愿服务，则有________种不同的分配方案. 14. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，点，，在上，且是面积为的等边三角形，则的方程为________；若，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为测试甲、乙两个AI（人工智能）模型解决数学问题的能力，某同学准备了5道数学题让甲、乙同时进行解答，每道题甲答对的概率均为，乙答对的概率均为，且每次解答是否正确相互独立. （1）若已知前两题中甲至少答对了1题，求前两题甲都答对的概率； （2）设甲、乙均答对的题数为，求的分布列与数学期望. 16. 记正项数列的前项和为，已知. （1）求，； （2）证明：是等差数列； （3）求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，其中，，平面，点，在棱上，且. （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，若是上一动点，的周长. （1）求的离心率. （2）如图，若过原点可向圆作两条切线，设切点分别为、，其中点在第二象限，点在第一象限，直线、的斜率分别记为、，且为定值. （i）求的方程； （ii）建立与之间的恒等关系. 19. 设函数在定义域上的导函数为，区间是的非空子集，如果存在实数，使得对任意的，都有，且成立，则称为区间上的“函数”. （1）判断是否为上的函数，并说明理由. （2）已知函数，. （i）若是上的函数，证明：是上的函数； （ii）若和的图象与轴共有三个不同的交点，从左至右依次为，，，证明：是线段的中点. 2024-2025学年（下）高三年级考前质量检测数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】5 【13题答案】 【答案】150 【14题答案】 【答案】 ①. ②. ## 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 5 【16题答案】 【答案】（1）， （2）当时，，而，则， 即，又， 所以是首项为2，公差为2的等差数列. （3） 【17题答案】 【答案】（1） 由平面，平面，得. 而，平面，则平面. 而平面，于是. 由，且，得是斜边上的高，即. 又平面， 因此平面. 又平面，所以. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【19题答案】 【答案】（1）因为，所以，当时，， 即， 所以不是上的函数. （2）（i）因为是上的函数， 所以对任意的，成立，即对任意的，. 因为，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，得. 要证明是上的函数，即证明， 即证，亦即证. 设，则， 易知单调递减，又，， 故存在，使得，即， 且当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 即，又，所以， 因此，是上的函数. （ii）由，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，，. 设，定义域为， 则，所以在上单调递增， 又当时，，且，所以仅有一个零点， 即与的图象仅有一个交点. 作出与的大致图象如下： 因为和的图象与轴共有三个不同的交点，所以点是与图象的交点. 设，，则，所以，即. 令，得，得或，则. 令，得，得或，则. 因为，所以是线段的中点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $