第一章 一元二次方程（ 全章复习）（知识回顾+4重难点题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（苏科版）

第一章 一元二次方程 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 一元二次方程及其解 题型二 一元二次方程根的判别式 题型三 一元二次方程根与系数的关系 题型四 一元二次方程的应用 知识清单 知识点01一元二次方程的概念及解法 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 知识点02：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 知识点03：一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 知识点04：一元二次方程的应用 1.用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 2.与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 题型方法 【题型一】一元二次方程及其解 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 依据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件逐项判断即可． 【详解】解：A、    符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意． B、 未知数的次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意 C、 含有两个未知数，故该选项不符合题意． D.、是一元一次方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意． 故选A 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）若关于的一元二次方程的一个实数根是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键：使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根；根据一元二次方程的解的定义可得，进而可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个实数根是， ， ， 的值是， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）先去分母，化为整式方程，再求解，注意检验； （2）利用配方法求解． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 经检验：是增根，舍去， ∴该分式方程无解； （2）解： 或， 解得：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）整理原式为，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． （2）整理原式为，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 【题型二】一元二次方程根的判别式 【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，根据根的个数与判别式的关系，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意可得，计算即可得解． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求的值； (2)证明：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，解题的关键是掌握学会用转化的思想解决问题． （1）根据方程解的定义，将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程求解即可； （2）证明即可． 【详解】（1）解：∵方程：的一个根为2， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∵， ∴， ∴该方程总有两个不相等的实数根． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得的取值范围． 【详解】（1）证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 【题型三】一元二次方程根与系数的关系 【例3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟悉韦达定理内容是解题关键．若一元二次方程有两个实数根、，则，，根据一元二次方程根与系数的关系代入数值即可求解． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别是，， 由韦达定理可知，， ∴． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若方程的两根为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个解为，，则，，据此求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为， ∴． 故答案为：3 【变式2】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为2，求k的值及另一个根． 【答案】，另一根为 【分析】本题考查了一元二次方程的解的知识，根与系数的关系，由于一根为2，把代入方程即可求得的值．然后根据两根之积即可求得另一根．解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大． 【详解】解：方程的一个根为2， ， 解得， 设另一根为， ， ， ，另一根为． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若其中一个根是另一个根的2倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根据与系数的关系，一元二次方程根的判别式， 对于（1），根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，求出解集即可； 对于（2），根据两根之和可知求出根，再根据可得答案． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：设一元二次方程得两个根为， 根据题意，得，， 可知． ∵， ∴， 解得． 【题型四】一元二次方程的应用 【例4】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）在“新冠”初期，有人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有人感染了“新冠”（这两轮感染均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人，根据“有人感染了“新冠”，第一轮传播后的人数为人， 经过两轮传染后的人数为人，即共有人感染了“新冠”列出方程，此题得解． 【详解】解：根据题意可得：， 即． 故选：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·江苏南通·期中）某经济开发区1月份工业产值达50亿元，3月份工业产值达72亿元，设平均每月增长率为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求平均变化率的方法．三月份的产值=一月份工业产值平均每月增长的百分率，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵一月份工业产值达50亿元，平均每月增长的百分率为x， ∴二月份的工业产值为， ∴三月份的工业产值为， ∴可列方程为， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件． (1)如果衬衫的单价降了元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元； (2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，一元二次方程的应用， （1）根据题意“每天可售出件”和“假设在一定的范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件”，得到答案； （2）设衬衫的单价降了元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润，根据等量关系列出方程即可． 【详解】（1）解：依题意，当单价降了元时，盈利为(元)， 答：这批衬衫每天盈利元． （2）解：设衬衫的单价降了元．由题意得： ， 解得：，， 要尽快减少库存， ， 答：衬衫的单价降了元． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． (1)若有14人参加旅游，人均费用是 元． (2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【答案】(1) (2)参加活动的学生人数为18人 【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可； （2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． （2）解：设参加活动的学生人数为人， ∵， ∴， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、2二元一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、将整理为，是一元三次方程，不符合题意； D、是分式方程，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． 分别计算各选项中的方程的解，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中方程无实数根，故不符合要求； B中方程有两个相等的实数根，故符合要求； C中方程无实数根，故不符合要求； D中方程有两个不相等的实数根，，故不符合要求； 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数且），据此求解即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 4．（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的解为，，则关于y的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，能根据题意得出两个方程解之间的关系是解题的关键． 根据题意得出，后一个方程是用替换了前一个方程中的x得到，据此得出后一个方程的解与前一个方程解的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知，后一个方程是用替换了前一个方程中的x得到， 又∵关于x的一元二次方程的解为，， ∴或， ∴， 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“快乐”方程．已知是“快乐”方程，且，则下列结论正确的是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定方程根的情况 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据“快乐”方程的定义可知，即，再根据可得，即可计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解： 是“快乐”方程， ， ， ， ， ， 方程有两个相等的实数根， 故选：． 6．（22-23九年级上·江苏镇江·期中）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是 C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是 【答案】B 【分析】通过观察表格可得时，，即可求解． 【详解】解：由表格可知， 当时，， 当时，， ∴时，， ∴解的整数部分是，十分位是． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义：一元二次方程的一般形式为：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项．根据方程是一元二次方程，可得且，求出结果即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·江苏南京·期中）方程的两个根为，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系；根据题意得到求出，再利用根与系数的关系求出结果即可． 【详解】解：∵方程的两个根为，， ∴ ∴ 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根和代数式的值，理解一元二次方程的根的定义，利用整体法代入求值是解题的关键．由一元二次方程的根的定义可得，整体代入即可得到答案． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 代数式的值为2025． 故答案为：2025． 10．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式，由根的判别式得，即可求解；掌握根的判别式：“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无的实数根．”是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， ， k的取值范围是且， 故答案为：且． 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）去年8月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓．假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．每轮传染中平均每头患病猪传染了 头健康猪． 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均每头患病猪传染了x头健康猪，则第一轮传染后有头猪被感染，第二轮又要感染头猪，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每头患病猪传染了x头健康猪， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴每轮传染中平均每头患病猪传染了7头健康猪， 故答案为：7． 三、解答题 12．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点，灵活选用解方程的方法是解题的关键； （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用公式法即可求解． 【详解】（1）解：， 则或， 解得：； （2）解：， ∴， ∴，． 13．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知a是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，则，再利用完全平方公式和去括号然后把所求式子化简为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴ ． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)当方程无实数根时，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为， 因式分解得， 解得，； （2）解：∵该方程无实数根， ∴， 解得， 即若该方程有无数根，的取值范围是． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）观察下列一组方程：①；②；③；④；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，求k的值． 【答案】17 【分析】此题考查了一元二次方程的解，首先根据题意得到规律，然后由，得到． 【详解】解：∵②； ③； ④； ∵也是“连根一元二次方程” ∴两根是两个连续的自然数，两根之积为72，且 ∴． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求a的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求a的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式，列出不等式，求出的取值范围． （2）根据根与系数的关系，列出计算出a的值，并结合（1）中a的范围，求解出结果． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， 故的取值范围是； （2）解：方程的两根为， ， 又， ， 则， 解得或， 又， ． 17．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知关于x 的方程：． (1)若该方程有一个根是3，求该方程的另一个根； (2)证明：无论k 取何值，该方程总有实数根． 【答案】(1)0 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，根的判别式，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入方程中得到关于的一元一次方程，解方程求出的值，再把的值代入原方程求出原方程的解即可； （2）根据根的判别式进行判断即可． 【详解】（1）解：∵方程有一个根是3， ∴， 解得：． ∴原方程为，即， 解得，． ∴该方程的另一个根为0； （2）∵ ∴， ∴无论取何值，该方程总有实数根． 18．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某商店经销的某种商品，每件成本40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200件；当售价每增加1元时，销售量将减少10件．若该商店销售这种商品盈利2000元，求该商店销售了这种商品多少件？ 【答案】该商店销售了这种商品100或200件 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设该商品售价增加了元，根据“售价每增加1元时，销售量将减少10件”列方程求解即可． 【详解】解：设该商品售价增加了元， 列方程得：， 解得：，， 当时，； 当时，； 答：该商店销售了这种商品100或200件． 19．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件． (1)当售价为75元时，该商店销售这批服装获得的利润为_______元； (2)如果商店销售这批服装想获利12000元，那么这批服装每件售价是多少元？ 【答案】(1)12500 (2)70或80 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． （1）根据售价为75元，则销售量为500件，然后根据利润每件的利润乘以销售量计算即可． （2）设这批服装每件售价是x元，则销售量为件，根据获利12000元为等量关系列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：当售价为75元时，则销售量为：（件） 则该商店销售这批服装获得的利润为：（元） （2）解：设这批服装每件售价是x元，则销售量为：件， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 如果商店销售这批服装想获利12000元，那么这批服装每件售价是70元或80元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 一元二次方程 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 一元二次方程及其解 题型二 一元二次方程根的判别式 题型三 一元二次方程根与系数的关系 题型四 一元二次方程的应用 知识清单 知识点01一元二次方程的概念及解法 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 知识点02：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 知识点03：一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 知识点04：一元二次方程的应用 1.用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 2.与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 题型方法 【题型一】一元二次方程及其解 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）若关于的一元二次方程的一个实数根是，则的值是 ． 【变式2】（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）解方程： (1) (2) 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程： (1) ； (2)． 【题型二】一元二次方程根的判别式 【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求的值； (2)证明：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 【题型三】一元二次方程根与系数的关系 【例3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若方程的两根为，则的值为 ． 【变式2】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为2，求k的值及另一个根． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若其中一个根是另一个根的2倍，求的值． 【题型四】一元二次方程的应用 【例4】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）在“新冠”初期，有人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有人感染了“新冠”（这两轮感染均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程（ ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·江苏南通·期中）某经济开发区1月份工业产值达50亿元，3月份工业产值达72亿元，设平均每月增长率为，则可列方程为 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件． (1)如果衬衫的单价降了元，求降价后商场销售这一批衬衫每天盈利多少元； (2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． (1)若有14人参加旅游，人均费用是 元． (2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的解为，，则关于y的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“快乐”方程．已知是“快乐”方程，且，则下列结论正确的是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定方程根的情况 6．（22-23九年级上·江苏镇江·期中）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是 C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 8．（24-25九年级下·江苏南京·期中）方程的两个根为，．若，则 ． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 10．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）去年8月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓．假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．每轮传染中平均每头患病猪传染了 头健康猪． 三、解答题 12．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 13．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知a是方程的根，求代数式的值． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)当方程无实数根时，求的取值范围． 15．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）观察下列一组方程：①；②；③；④；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，求k的值． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求a的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求a的值． 17．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知关于x 的方程：． (1)若该方程有一个根是3，求该方程的另一个根； (2)证明：无论k 取何值，该方程总有实数根． 18．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某商店经销的某种商品，每件成本40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200件；当售价每增加1元时，销售量将减少10件．若该商店销售这种商品盈利2000元，求该商店销售了这种商品多少件？ 19．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件． (1)当售价为75元时，该商店销售这批服装获得的利润为_______元； (2)如果商店销售这批服装想获利12000元，那么这批服装每件售价是多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$