第一章《一元二次方程》重难点检测卷2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第一章《一元二次方程》 重难点检测卷(压轴题) 一、单选题 1.(2024九年级上 江苏 专题练习)已知方程,则此方程的所有实数根的和为( ) A.0 B. C.2 D.8 2.(23-24九年级上 江苏无锡 期末)某超市销售一种可拆分式驱蚊器,一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成,电热蚊香液作为易耗品可单独购买.一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍,已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%,一套驱蚊器的利润率为25%.超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液,共可获利10元.经过一段时间的销售发现,每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液,为了促进驱蚊器的销售,超市决定对驱蚊器降价处理,其中每降价1元,可多卖出5套.若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润,则每套需降价( ) A.1元 B.2元 C.3元 D.4元 3.(2023 江苏宿迁 中考真题)如图,直线、与双曲线分别相交于点.若四边形的面积为4,则的值是( ) A. B. C. D.1 4.(22-23九年级上 江苏南通 期末)平面直角坐标系中,P点坐标为,且实数m,n满足,则点P到原点O的距离的最小值为( ) A. B. C. D. 5.(2023 江苏苏州 一模)如图,一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的,已知小正方形的面积和五边形的面积相等,并且图中线段a的长度为,则这块地砖的面积为( ) A.50 B.40 C.30 D.20 6.(23-24九年级下 江苏扬州 阶段练习)如图,已知线段在平面直角坐标系中,是原点.将绕点顺时针旋转得到,过点作轴,垂足为B.若 ,则的面积是( ) A. B. C. D. 7.(23-24九年级上 江苏无锡 期末)如图,将一副直角三角板拼在一起得四边形,,,点在边上的中点,连接,将沿所在直线翻折得到,交于点,若,点到的距离是( ) A. B. C. D. 8.(2023 江苏苏州 一模)如图,将直线向下平移一个单位长度后交x轴于点A,交y轴于点B,交双曲线于点C,以线段AB为边向上方作平行四边形ABDE,点E恰好落在双曲线上,连接CE,CD,若轴,四边形BCED的面积为8,则k的值为( ) A.-12 B. C. D.-4 9.(23-24九年级上 江苏无锡 期末)对于二次三项式(m为常数),下列结论正确的个数有( ) ①当时,若,则 ②无论x取任何实数,等式都恒成立,则 ③若,,则 ④满足的整数解共有8个 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 10.(23-24九年级上 江苏南通 阶段练习)已知实数满足:.求的最小值 11.(23-24九年级上 江苏宿迁 期中)方程的负整数解为 . 12.(23-24九年级上 江苏连云港 阶段练习)如图,在四边形中,,,,,.动点P从点D出发,沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P、Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动.设运动的时间为t秒,当 时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形. 13.(2024 江苏苏州 模拟预测)如图,正方形的边长为2,点是边上的动点,连接、,将绕点顺时针旋转得到,将绕点逆时针旋转得到,连接,则线段的取值范围为 . 14.(2023 江苏无锡 模拟预测)如图,正方形和正方形的边长分别为6和4,连接,H为的中点,连接.将正方形绕点A旋转一周,则的取值范围是 ;当C、F、G三点共线时,的长是 . 15.(23-24九年级上 江苏南通 开学考试)如图1,矩形中,点为的中点,点沿从点运动到点,设,两点间的距离为,,图2是点运动时随变化的关系图象,则的长为 . 17.(2023 江苏苏州 中考真题)如图,.过点作,延长到,使,连接.若,则 .(结果保留根号) 三、解答题 18.(2024九年级上 江苏 专题练习)已知在关于的分式方程①和一元二次方程②中,、、均为实数,方程①的根为非负数. (1)求k的取值范围; (2)当方程②有两个实数根,,且满足,为负整数时,试判断是否成立,并说明理由. 19.(23-24九年级上 江苏苏州 期中) 已知,是关于的方程的两个不等实数根. (1)求实数的取值范围: (2)已知等腰的一边长为,若、恰好是另外两边长,求这个三角形另外两边的长. 20.(2023 江苏 一模)如图,已知线段OA在平面直角坐标系中,O是原点. (1)将OA绕点O顺时针旋转60 得到,过点作轴,垂足为B.请在图中用不含刻度的直尺和圆规分别作出、; (2)若,则的面积是_. 21.(23-24九年级上 江苏泰州 期末)如图1,在边长为的正方形中,对角线、相交于点O,点E、F是上的两个动点,且,连接、.分别取、、的中点H、K、G,连接、. (1)如图1,求证:①;②; (2)直接写出的最小值; (3)如图2,连接、,求证:四边形是平行四边形; (4)若以E、K、F、G为顶点的四边形是矩形,求的长. 22.(23-24九年级上 江苏泰州 阶段练习)已知,点P是边长为4的正方形对角线上的一动点,于E,于F,连结、、、,记、、的面积分别为、、,令,. (1)求证:; (2)若, 则的值是_. (3)①求(用x的代数式表示) ②若,求x的值 ③是否存在实数k,使的值与P点在上的位置无关.若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由; 23.(2023 江苏盐城 一模)已知是等腰直角三角形,,. (1)当时, ①将一个直角的顶点放至的中点处(如图①,两条直角边分别交、于点、,请说明为等腰直角三角形; ②将直角顶点放至边的某处(如图②,与另两边的交点分别为点、,若为等腰直角三角形,且面积为4,求的长. (2)若等腰 三个顶点分别在等腰 的三边上,等腰的直角边长为1时,求等腰的直角边长的最大值. 24.(23-24九年级上 江苏连云港 阶段练习)如图,矩形中,,,动点,分别从点,同时出发,点以的速度向终点移动,点以的速度向点移动,当有一点到达终点时,另一点也停止运动,设运动的时间为. (1)当时,四边形面积是_ (2)当t为何值时,点P和点Q距离是? (3)当t为何值时,以点P,Q、D为顶点的三角形是等腰三角形. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 $$ 第一章《一元二次方程》 重难点检测卷（压轴题） 一、单选题 1．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程，则此方程的所有实数根的和为（    ） A．0 B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握绝对值的意义，解一元二次方程，分类讨论，是解决问题的关键． 根据已知方程，分，，，三种情况讨论求根，取所有根的和即可． 【详解】解：①当时， 方程化为：， 即， ∴， 解得（舍去），； ②当时， 方程化为：， 即， ∴， 解得（舍去），， ③当时，方程不成立． ∴此方程的所有实数根的和为： ． 故选：A． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，列出方程解出即可； 【详解】解：设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，由题意得： ， 解得：x=5, 所以一套驱蚊器的售价为：5×6=30（元），一套驱蚊器的利润元 设每套驱蚊器降价a元，由题意得： ， 解得： , （舍去）， 故选：A. 3．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：        根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形， ， 直线与轴交于点， 当时，，即， 与双曲线分别相交于点， 联立，即，则，由，解得， ，即，解得， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键． 4．（22-23九年级上·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由,得，点P到原点O的距离为，逐步整理，最后将被开方数配方进行求解即可. 【详解】解：由,得， ∴点P到原点O的距离为： ， 故选: B. 【点睛】本题考查点的坐标，但计算整理过程非常复杂，要求有极强的计算能力，确保计算的正确性，熟练掌握配方法是解题的关键. 5．（2023·江苏苏州·一模）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（    ） A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【分析】如图，根据题意易知，点O为正方形的中心，利用图中的面积关系最终可推出，设正方形ABCD的边长为,则,以此可得方程，解此方程，再将a的值代入即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意易知，点O为正方形的中心， ∴，即，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设正方形ABCD的边长为,则, ∴，解得：， ∵， ∴或， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等图形、正方形的性质、二次根式的应用、一元二次方程的应用等知识点，利用已知条件，得到各部分图形之间的面积关系并列出方程是解题关键． 6．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知线段在平面直角坐标系中，是原点．将绕点顺时针旋转得到，过点作轴，垂足为B．若 ，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过作轴于，过作于，由题意知四边形是矩形，在中，由勾股定理得，由旋转角度与旋转的性质可知，设，则，，，，在、中，根据勾股定理整理得，可得，将代入得，求得，确定合适的的值，进而可确定点坐标，的值，根据计算求解即可． 【详解】解：如图，过作轴于，过作于， ∴， ∴四边形是矩形， 在中，由勾股定理得， 由旋转角度与旋转的性质可知：三角形是等边三角形，所以， 设，则，，，， 在中，由勾股定理得，即， 在中，由勾股定理得，即， ∴， 整理得， 将代入得， 整理得， 解得， 当时，， 当时，，不合题意舍去， ∴，，， ∴ ， 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于正确的作辅助线． 7．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，将一副直角三角板拼在一起得四边形，，，点在边上的中点，连接，将沿所在直线翻折得到，交于点，若，点到的距离是(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接 ， ，过点作 于点，由折叠的性质可求由可证，可得，可证，在中，由勾股定理可求的长． 【详解】解：连接 ， ，过点作 于点， ， ，， 点是中点，，， ，，，， 是等边三角形，， 折叠， ，， ， 垂直平分'， ， 在和中， ， ， ， ， 设长为，则长为， 在中 ， 解得， (舍去)， ∴点到BC边的距离为． 故选∶D． 【点睛】此题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质和锐角三角函数关系以及等边三角形的判定与性质等知识，利用垂直平分线的性质得出点，关于直线对称是解题关键． 8．（2023·江苏苏州·一模）如图，将直线向下平移一个单位长度后交x轴于点A，交y轴于点B，交双曲线于点C，以线段AB为边向上方作平行四边形ABDE，点E恰好落在双曲线上，连接CE，CD，若轴，四边形BCED的面积为8，则k的值为（    ） A．－12 B． C． D．－4 【答案】A 【分析】如图，延长交轴于，过点作，根据题意，求得的坐标，设，则，，进而求得点的坐标，根据四边形BCED的面积为8，列出方程，根据点在直线上列出方程，联立方程解方程组即可求解． 【详解】解：如图，延长交轴于，过点作， 将直线向下平移一个单位长度后得到的直线为， 令，得，令，得 ， ， 四边形ABDE是平行四边形， ，   ，， ， ∵ED∥AB，CD∥AO， ， ， ， ，， 设，则，， 的纵坐标为， 在上，则， ， 在直线上，则① 四边形BCED的面积为8， 即， ， ② 联立①②得， 故选A 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，一次函数的平移，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，设点的坐标建立方程求解是解题的关键． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（    ） ①当时，若，则 ②无论x取任何实数，等式都恒成立，则 ③若，，则 ④满足的整数解共有8个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①代入求值后因式分解计算即可；②提取公因式x后根据恒成立找关系即可； ③两个方程相加后因式分解即可解题；④去括号后因式分解判断即可． 【详解】①当时，若，则 ∴或者，故①错误； ②等式化简后为 ∴（舍去）或 ∵无论x取任何实数，等式都恒成立， ∴，即 ∴，故②正确； ③若，，则两个方程相加得：， ∴ ∴ ，故③错误； ④整理得： ∴ ∵整数解 ∴，，， ∴，， ，， ，，，，， ∴ 整数解共9对，故④错误； 综上所述，结论正确的有②； 故选：A． 【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程． 二、填空题 10．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数满足：．求的最小值 【答案】6 【分析】用分类讨论的思想，解决问题即可． 【详解】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即，，由题设知， 且，， 于是b，c是一元二次方程的两实根， ∴，即， 所以． 又当，时，满足题意． 故a，b，c中最大者的最小值为4． 因为，所以a，b，c为全大于0或一正二负． ①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，这与矛盾． ②若a，b，c为或一正二负， 不妨设，，，则， ∵， 故， 当，时，满足题设条件且使得不等式等号成立． 故的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查绝对值，一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，题目比较难，属于竞赛题目． 11．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）方程的负整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查换元法在解一元二次方程中的应用，设，，则，则可得，可得，即可得到或，再解方程即可，仔细观察得到是解题的关键． 【详解】解：设，，则， 可得， 解得， 或， 解得， 故方程的负整数解为， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t秒，当 时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】或 【分析】本题考查矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．本题应分三种情况进行讨论，①若，在中，由，，将各数据代入，可将时间求出； ②若，在中，由，，将数据代入，可将时间求出； ③若，则，可将时间求出． 【详解】解：过点作于，则四边形为矩形． 由图可知，，，若以、、为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： ①若，在中，，由得，解得； ②若，在中，，由得，即， 此时，， 所以此方程无解，． ③若，则，， 综上所述，当或时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形． 故答案为：或． 13．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形的边长为2，点是边上的动点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为   ． 【答案】/ 【分析】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，不等式的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点，可证得，得出，，同理：，，得出，再证得四边形是矩形，得出，，，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点， 则， 由旋转得：，，， ，， ，， ，， 正方形的边长为2，点是边上的动点， 设，则， ，， 在和中， ， ， ，， 同理：，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， ， 即， ， 线段的取值范围为． 故答案为：． 14．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是 ；当C、F、G三点共线时，的长是 ． 【答案】 或 【分析】如图 1 中，在的上方作正方形， 连接，求出的取值范围，再利用三角形中位线定理求解即可； 的长分两种情形，分别画出图形求解即可． 【详解】解：如图1中，在的上方作正方形， 四边形和四边形是正方形， ，， H为的中点， ， ， ，， ， ， ， ； 如图2中，当C，F，G三点共线时，连接， 过点D作于点J，交的延长线于点K，设交于点O，则， 四边形和四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 设，则， ， ， 或（舍）， ， ， ， ， ， ， 如图3，当C，G，F三点共线时， 同理可得，， 则， 综上所述，的长为或， 故答案为：，或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，学会用分类讨论的思考问题． 15．（23-24九年级上·江苏南通·开学考试）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为 ． 【答案】6 【分析】当，即在点时，；利用两点之间线段最短，得到，得的最大值为；在中，设的长度为，由勾股定理求出的长，再根据求出的长． 【详解】解：由函数图象知：当，即在点时，． 利用三角形中任意两边之差小于第三边，得到， 当点P、E重合时，有， ∴． 的最大值为， ． 在中，由勾股定理得：， 设的长度为， 则， ， 即， ， 解得或， 由于， ． ， ∵点为的中点， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出的长是解题的关键． 16．（2023·江苏无锡·二模）直线：、为常数分别与轴、轴交于点、，动点的坐标为（为常数）． （1）当 时，有且仅有一个满足条件的的值，使得点在直线上； （2）若有且仅有两个符合条件的的值，使得点到直线的距离为1，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】（1）用待定系数法可求得直线的表达式为，将点的坐标代入得，根据判别式，进行计算即可得答案； （2）分三种情况：若有两个不相等的解，而无解；若有两个不相等的解，而无解；若有一个解，有一个解，分别列示计算即可得到答案． 【详解】解：（1）分别将两点的坐标代入直线， 得方程组， 解得， 故直线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 若它只有一个根即有两相等实根，则有， 解得， 故答案为：； （2）点到直线的距离为， 整理得，即， 若有两个不相等的解，而无解， 则有， 解得且， 若有两个不相等的解，而无解， 则有， 此不等式组无解， 若有一个解，有一个解， 则有， 此方程组无解， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的根的判别式，解不等式组，熟练掌握一元二次方程的根的判别式，解不等式组的方法，是解题的关键． 17．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，．过点作，延长到，使，连接．若，则 ．（结果保留根号）    【答案】/ 【分析】如图，过作，交的延长线于点，设，可得，证明，，为等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程组可得答案． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于点，    设， ∵，， ∴， ∵， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， 整理得：， 解得：， 经检验不符合题意； ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 三、解答题 18．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知在关于的分式方程①和一元二次方程②中，、、均为实数，方程①的根为非负数． (1)求k的取值范围； (2)当方程②有两个实数根，，且满足，为负整数时，试判断是否成立，并说明理由． 【答案】(1)且，； (2)成立，见解析 【分析】本题考查解分式方程，一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程根的判别式． （1）分式方程的根是非负数，即，得到，再利用一元二次方程的定义得到，据此求解即可； （2）一元二次方程的二次项系数的值不为0，一元二次方程的两根为、，则，，本题中是，是，是．利用根与系数的关系和判别式大于等于0，列出方程和不等式组，进行运算即可． 【详解】（1）解：解分式方程①得． 方程①的根为非负数， ，解得且． 又一元二次方程中，，所以． 综上所述可知且，； （2）解：成立．理由如下： 是负整数，且，2， ． 方程②有两个实数根，， ． 化简，得， 将代入，得， ，③， △④， 把③代入④得， 整理，可得． 19．（23-24九年级上·江苏苏州·期中） 已知，是关于的方程的两个不等实数根． (1)求实数的取值范围： (2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式之间的关系，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解一元一次不等式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与判别式之间的关系是解题的关键． （1）由根的判别式即可得出答案； （2）由题意得出方程的一个根为，将代入求出的值，再根据三角形三边之间的关系进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：由题意可知：， 只能取或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，能构成一个等腰三角形； 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，不能构成一个三角形； 综上所述，这个三角形另外两边的长分别为，． 20．（2023·江苏·一模）如图，已知线段OA在平面直角坐标系中，O是原点． (1)将OA绕点O顺时针旋转60°得到，过点作轴，垂足为B．请在图中用不含刻度的直尺和圆规分别作出、； (2)若，则的面积是______． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）利用等边三角形的性质的性质作OA′，利用垂直平分线的作法求B点； （2）设A′（a，b），如图过A作AC垂直x轴于C，过A′作A′⊥AC于D，连接AA′；在Rt△ADA′和Rt△OBA′中利用勾股定理建立方程组，解方程即可解答； 【详解】（1）解：分别以O、A为圆心，以AO为半径作弧，两弧交于点A′，连接OA′即为所求线段；以A′为圆心，适当长度为半径作弧交x轴于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以EA′、FA′为圆心作弧，两弧交于点C，连接CA′交x轴于点B，A′B即为所求线段； （2）解：设A′（a，b），如图过A作AC垂直x轴于C，过A′作A′D⊥AC于D，连接AA′，则四边形DCBA′是矩形； 由（1）作图可得，OA=OA′=AA′== ∵A（-2，6），A′（a，b）， ∴Rt△ADA′中，AD=6-b，DA′=a+2，AA′2=（6-b）2+（a+2）2=40，① Rt△OBA′中，OB=a，BA′=b，OA′2=a2+b2=40，② ∴（6-b）2+（a+2）2= a2+b2，解得：a=3b-10， 代入②，（3b-10）2+b2=40，b2-6b+6=0解得：b=， b=时，a=，符合题意； b=时，a=，不符合题意； ∴A′（，）， 的面积=×（）×（）=； 【点睛】本题考查了旋转作图，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的作法，勾股定理，矩形的判定和性质，一元二次方程的解法；利用勾股定理构建方程是解题关键． 21．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图1，在边长为的正方形中，对角线、相交于点O，点E、F是上的两个动点，且，连接、．分别取、、的中点H、K、G，连接、． (1)如图1，求证：①；②； (2)直接写出的最小值； (3)如图2，连接、，求证：四边形是平行四边形； (4)若以E、K、F、G为顶点的四边形是矩形，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3)见解析 (4)或2 【分析】（1）①利用正方形，得出，，利用中点定义可得出，利用中位线定理可得出，，利用平行线的性质可得出，结合，即可得出结论； ②利用①中的结论直接证明即可； （2）利用（1）中，得出，则可求，则当A、F、G三点共线时，取最小值，最小值为，在中，利用勾股定理求出即可； （3）利用（1）中，得出，利用平行线的性质得出，利用补角的性质得出，利用平行线的判定得出，结合，利用平行线四边形的判定即可得证； （4）分点E在线段和线段上讨论，利用等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，矩形的性质求解即可． 【详解】（1）证明∶ ①∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是的中点，G是的中点， ∴， 又K是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴， ②由①知，，， ∴； （2）解：连接， ∵ ∴， 又， ∴， ∴， 当A、F、G三点共线时，取最小值，最小值为， 在中，，，， ∴， 即取最小值为； （3）证明：∵ ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； （4）解：∵正方形的边长为 ， ∴， 当E在线段上时，如图，过点F作于M， ∵四边形是矩形， ∴， 又K是中点， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去） 当E在线段上时，如图，过点F作于M， 设， 同理可求，，，， 在中，， ∴， 解得（舍去），； ∴若以E、K、F、G为顶点的四边形是矩形，则的长为或2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，矩形的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 22．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，点P是边长为4的正方形对角线上的一动点，于E，于F，连结、、、，记、、的面积分别为、、，令，． (1)求证：； (2)若， 则的值是______． (3)①求（用x的代数式表示） ②若，求x的值 ③是否存在实数k，使的值与P点在上的位置无关．若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①；②，，③ 【分析】（1）如图，连接，证明，可得，证明四边形为矩形，可得，从而可得结论； （2）证明四边形是矩形，可得，，，，可得，，，再结合三角形的面积公式可得答案； （3）①证明四边形是矩形，得到，，继而得到，，根据等边对等角得到，，再根据三角形的面积即可得解；②利用①的结论建立方程求解即可；③求出，再进一步即可得解 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， 而， ∴， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； （2）解：∵点是边长为的正方形的对角线上的一点，且， ，，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴，，， ∴； （3）解：①∵点是边长为的正方形的对角线上的一点，且， ，，，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∵，，的面积分别为，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 解得：，； ③∵四边形是矩形，，， ∴， ∴ ， ∵的值与点在上的位置无关，即与值无关， ∴， 解得：， ∴当时，的值为，与点在上的位置无关 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等角对等边，一元二次方程的解法等知识点．掌握矩形的判定和性质，熟练的利用方程思想是解题的关键． 23．（2023·江苏盐城·一模）已知是等腰直角三角形，，． (1)当时， ①将一个直角的顶点放至的中点处（如图①，两条直角边分别交、于点、，请说明为等腰直角三角形； ②将直角顶点放至边的某处（如图②，与另两边的交点分别为点、，若为等腰直角三角形，且面积为4，求的长． (2)若等腰 三个顶点分别在等腰 的三边上，等腰的直角边长为1时，求等腰的直角边长的最大值． 【答案】(1)①见详解；②或 (2)的最大值为 【分析】（1）①由“”可证，可得，即可求解； ②由“”可证，可得，由勾股定理可求解； （2）分点在上和点在或的上，由直角三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）（1）①证明：过点作于，于，连接， 是等腰直角三角形，，点是的中点， ，，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形； ②如图，过点作于， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 为等腰直角三角形的面积为4， ， ， ， ， 或， 或； （2）解：设等腰的直角顶点为， 若在上，如图3， 取的中点，连接，， 则，， 是直角边长为1的等腰直角三角形， ， ， ， 当、、共线是最长，则， 在等腰中，当时，的长最大，最大为 若在直角边上，如图4，过点分别作于点，于， 设，，， 则， ， ， ， 解得， 当取最大值时，，， 的最大值为， 综上，的最大值为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为．    (1)当时，四边形面积是______ (2)当t为何值时，点P和点Q距离是？ (3)当t为何值时，以点P，Q、D为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)4； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）当时，可以得出，，就有，由矩形的面积就可以得出四边形的面积； （2）如图1，作于，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作于，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可； （3）分情况讨论，如图3，当时，如图4，当时，如图5，当时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论． 【详解】（1）如图，四边形是矩形， ，，． ，， ． ． ∴四边形面积是， 故答案为：4； （2）如图1，作于，    ， ， 四边形是矩形， ，． ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得：或（舍去）． 如图2，作于，    ． ， 四边形是矩形， ，． ， 在中，由勾股定理，得 ， 解得：或（舍去）， 综上所述：； （3）如图3，当时，作于，    ， ， 四边形是矩形， ，． ， ．． ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得：． 如图4，当时，作于，    ，． ， 四边形是矩形， ．， ， ． ， 解得：； 如图5，当时，    ，， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得，（舍去）． 综上所述：或或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$