2025年辽宁省初中学业水平模拟考试定心卷（数学）

2025年辽宁省初中学业水平模拟考试定心卷（数学） (本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟) 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 一 部 分 选 择 题 ( 共 3 0 分 ) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1. 如图是由5个棱长为1的小正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是 正面 ( 第 1 题 ) A B C D 2.2025年4月23日，我国首次实现地月距离尺度的卫星激光测距，标志着我国在深空卫星激 光测距技术领域取得重大突破.科研团队测出星地距离约350000公里.将数据350000用 科学记数法表示为 A.35×10⁴ B.3.5×10⁵ C.3.5×10⁶ D.0.35×10⁶ 3. 下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A B C D 4. 在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图 1.正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行.其示意图如图2,若 在某一时刻AB//DE,∠BAC=35°,∠CDE=135°, 则∠ACD的度数为 (图1) (图2) (第4题) A.60° B.70° C.80° D.85° 定心卷 ·数学 第1页(共8页) 5. 下列运算正确的是 A.(a³)²=a⁵ B.a(a-b)=a-ab C.a⁸÷a²=a⁴ D.a³·a=a⁴ 6. 两所学校计划共同组织春季研学活动，目前给出的研学路线共有3条，分别为：红色研学路 线、科普研学路线和国防教育研学路线.若两校均从中随机选择一条路线进行研学活动，则 两校选择同一路线进行研学活动的概率为 A B C D 7. 下列命题正确的是 A. 正方形的对角线相等且互相平分 B. 对角互补的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 8.《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表.已知圭 的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为x 尺，表的长度为y BC 9. 如图，在口ABCD中 ，E 为边AB延长线上一点，连接DE 交对角线AC于点F, 过点F 作 FG// BC交AB于 点G, 若AG=BE=2, 则CD的长为 A.2 B. C.3 D.1+ (第9题) (第10题) 10. 如图，已知反比例函数的图象与菱形OABC相交于A(3,n),D 两点，点C 在x 轴上.连接AD,OD, 则△OAD的面积为 A.6 B.8 C.10 D.12 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11.分式方 的解为 12. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(1,3),将点A先向下平移2个单位长度，再向左 平移4个单位长度，得到点A′,则点A′的坐标为 13. 已知a+2b=1, 则代数式a²-4b²+4b的值为 14. 已知直线y=m与抛物线y=x2-2x-3存在两个交点,横坐标分别为x1,,x2,与y=-x交点 的横坐标为x3 ,并且x1<x3<x2,若 ,则m的值为 . 定心卷·数学 第2页(共8页) 15. 如图，在△ABC中 ，AB=AC,∠BAC=20°, 以点A 为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D. 以 点B 为圆心，BC长为半径画弧交AC于点E. 连接CD,BE, 则∠ACD的度数为 (第15题) 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16 . (10分) (1)(5分)计算： (2)(5分)化简： 17 . (8分) 随着AI 技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及，某快递运营区有若干揽投 员，无人车3辆.若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的35%,若2位揽投员和3辆无 人车每天可配送快递4810件. (1)求1辆无人车的日均投递量； (2)旺季期间，该运营区有揽投员50人，要求日均投递总量不低于40000件，求至少需要 增加无人车多少辆. 定心卷 ·数学第3页(共8页) 18. (8分) 北京时间2025年4月24日神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射.该日 期具有特殊的意义，既是中国第一颗人造卫星“东方红一号”成功发射55周年纪念日，也 是第十个“中国航天日”.为庆祝这个特殊的日子，某校开展了校园航空航天知识竞赛，满 分100分，七年级学生参加了本次活动.为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了七年级 部分学生的竞赛成绩(成绩用x 表示，单位：分，成绩均为不小于50的整数).并对数据(成 绩)进行统计整理.数据分为五组：A:50≤x<60; B:60≤x<70; C:70≤x<80; D:80≤x <90; E:90≤x≤100. 下面给出了部分信息： 信息一： C 组的数据：70,71,71,72,72,72,74,74,75,76,76,76,78,78,79,79. 信息二：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 学生竞赛成绩频数分布直方图 学生竞赛成绩扇形统计图 (第18题) 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求随机抽取的七年级学生人数； (2)求扇形统计图中B 组对应扇形的圆心角的度数； (3)抽取的七年级学生竞赛成绩的中位数是多少? (4)该校七年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校七年级参加此次竞赛活动成 绩达到80分及以上的学生人数. 定心卷 ·数学 第4页(共8页) 19. (8分) 电影《哪吒之魔童闹海》成为首部进入全球票房榜前5、登顶动画票房榜榜首的亚洲电 影!与之相关的周边衍生品也在市场上热销起来.已知某种哪吒手办玩偶的成本价为10 元/件，若售价不低于成本价，且相关部门规定售价不能高于16元.市场调查发现，该玩偶 每天的销量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系如图所示. (1)求y 与x 之间的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； (2)求每天的销售利润 W (元)与售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件玩偶售价 为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少?(销售利润=销量×每件的利润) ( y ( 件 ) 40- 30 0 10 15 x(元/件) ) (第19题) 20 . (8分) 某学校开展综合实践活动，如图，AB,CD 为两栋楼房，山坡 EF 长为15m,∠EFH= 60°,楼房AB位于山坡顶部平地 EM 上，底部A到 E 点的距离为4m. 楼房CD 底层窗台P 处 至地面C 处的高度为0.9m,在点P 处观察点B 的仰角为39°,底部C 距 F处距离为30.75m. 图 中所有点均在同一平面内，CF//EM. (1)求山坡EF 的垂直高度EH; (2)求楼房AB 的高度. (参考数据：sin 39°≈0.63, cos 39°≈0.78, tan 39°≈0.81, ≈1.73,结果精确到0.1m) (第20题) 定心卷 ·数学 第5页(共8页) 21. (8分) 如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径，D 是AB延长线上一点，CD为⊙0的 切线，过点C 作 CE⊥AB于点E. (1)求证：CB平分∠DCE; (2)若AC=CD= , 求 的长. (第21题) 定心卷·数学 第6页(共8页) 22 . (12分) 如图1,在矩形ABCD 中 ，AB=4,BC=6, 点M 在线段BC 上，连接AM. 将线段AM 绕点A 逆时针旋转α(0°<α<90°)得到线段AN.线段AB绕点A 逆时针旋转α得到线段AE, 连接 NE 并延长交BC 于点F,连接ND. (1)连接BE, 当α=60°时. ①求证：△ABM≌△AEN; ②若点M 在线段BF 上，猜想MF,EF,EN 的数量关系为 ;若点M 在线段 CF 上，猜想MF,EF,EN 的数量关系，并证明； ③若BM=1, 求△AND的面积； (2)如图2,若, △AND的面积为,请直接写出线段BM的长. (图1) (图2) (备用图) (第22题) 定心卷 ·数学 第7页(共8页) 23. (13分) 在平面直角坐标系中，对于点 P(x₁,y₁), 当 点Q(x₂,y₂) 满足x₁+x₂=y₁+y2 时，称点 Q(x₂,y₂) 是点P(x1,y1) 的“差反点”. (1)判断点Q₁(1,2), Q₂(4,3), Q₃(-3,-2), 哪个是点P₁(2,1) 的“差反点”? (2)若直线y=2x+3 上的点A 是点P₂(1,0) 的“差反点”,求点A的坐标； (3)抛物线y=x²-2x+3 上存在两个点是点P₃(p,0) 的“差反点”,求p 的取值范围； (4)对于点 P₂ (1,0), 若抛物线 上存在唯一的“差反点”,且当 -1≤m≤3 时 ，n的最大值为3-t,求t 的值. 定心卷 ·数学第8页(共8页) 参考答案 第 一 部 分 选择题(共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C D C A B D C 第 二 部 分 非选择题(共90分) 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11.x=4 12. (-3,1) 13.1 15.10° 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 解：(1)原式=4+(-3)+2√3+2-√3 =3+√3;……………………………………………… …………… ………………………5分 (2)原 =x 10 分 17. 解：(1)设1辆无人车日均投递量为x,则1位揽投员的日均投递量为0.35x, 根据题意可得3x+2×0.35x=4810, 解得x=1300, 答：1辆无人车的日均投递量为1300件；…………… ………………… ……………………………4分 (2)设需要增加无人车m 辆，根据题意可得50×0.35×1300+1300(m+3)≥40000, 解得 ∵m 为整数， ∴m=11, 答：至少需要增加11辆无人车.……………………………………………………………………… … … 8 分 18. 解：(1)3÷5%=60(人), 答：随机抽取的七年级学生人数为60人；…………………………………… … … … … … … … … … 2分 (2) 9 答：扇形统计图中B 组对应扇形的圆心角的度数为90°; …………………… … … … … … … … … 4分 (3)∵抽取的七年级学生人数为60人， ∴中位数是按从小到大(或从大到小)排列，排在第30位学生的竞赛成绩和第31位学生的竞赛成绩的平 均数， ∴ 答：抽取的七年级学生竞赛成绩的中位数是77;…… … … … … … … … … 6 分 (4)∵60-3-15-16=26(人), 答：估计该校七年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数为390人.……………………8分 19. 解：(1)设y 与x 之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0), 把(10,40),(15,30)代入， 解 ∴y 与x 之间的函数表达式为y=-2x+60(10≤x≤16);………………… … 3分 (2)根据题意得W=(x-10)(-2x+60)=-2(x-20)²+200, ∵-2<0, ∴ 当x<20 时 ，W 随x 的增大而增大， ∴ 当x=16 时 ，W取得最大值，最大值为-2×(16-20)²+200=168, 答：每件玩偶售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是168元.…………………………………8分 20. 解：(1)∵在Rt△EFH 中，∠EHF=90°, 即山坡EF 的垂直高度EH 约为13.0m; 3 分 (2)如解图，过点B 作 BQ⊥CF交直线CF 于点Q, 过点P 作 PG⊥BQ于点G, 第20题解图 由题意知，∠BPG=39°,AE=HQ=4m,CP=GQ=0.9m. 在 Rt△EFH 中，∠EHF=90°, ∴CQ=CF+FH+HQ=30.75+7.5+4=42.25m, ∴PG=CQ=42.25m, 在 Rt△BPG中，∠BGP=90°, ∴BG=PG·tan∠BPG=42.25xtan 39°≈42.25×0.81≈34.22m, ∵EH=AQ=13.0m, ∴AB=BG+GQ-AQ=34.22+0.9-13.0≈22.1m, 答：楼房 AB 的高度约为22. 1 m.…… … … …… …8 分 21. (1)证明：如解图，连接OC, ∵OA=0C, ∴∠A=∠ACO, ∵AB 是⊙0的直径， ∴∠ACB=90°, ∴∠ACO+∠OCB=90°,∠A+∠OBC=90°, ∵CD 与⊙0相切，OC 为⊙0的半径， ∴OC⊥DC, ∴∠OCD=90°, ∴∠DCB+∠OCB=90°, ∴∠ACO=∠DCB, ∴∠A=∠DCB, ∵CE⊥AB, ∴∠OBC+∠BCE=90°, ∴∠A=∠BCE, ∴∠DCB=∠BCE, ∴CB 平分∠ DCE; … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 分 第21题解图 (2)解：∵AC=CD, ∴∠A=∠D, 由(1)知∠ A=∠BCE,CB 平分∠ DCE, ∴∠D=∠BCE=∠BCD, ∵CE⊥AB, ∴∠D+∠BCE+∠BCD=90°, ∴∠D=∠BCE=∠BCD=30°, ∴∠A=30°, ∴∠BOC=60°, ∵AC=2√3, ∴CE=√3, 在Rt△OCE中 ∴.BC的 ∴BC 的 长 ……… ……………………………………………………………………………… … 8 分 22. (1)①证明：∵线段AM绕点A 逆时针旋转60°得到线段AN, ∴AM=AN,∠MAN=60°, ∴∠EAN+∠MAE=60°, ∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AE, ∴AB=AE,∠BAE=60°, ∴∠BAM+∠MAE=60°, ∴∠BAM=∠EAN, 在△ABM和△AEN中 ∴△ABM≌△AEN(SAS); … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ……3 分 ②解：MF+EN=EF; … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 分 若点M 在线段CF 上时，MF+EF=EN, 5 分 证明如下：如解图①,由①可知，△ABM≌△AEN, ∴∠ABM=∠AEN=90°,BM=EN, ∴∠AEF=90°, ∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AE, ∴AB=AE,∠BAE=60°, ∴△ABE为等边三角形， ∴∠ABM-∠ABE=∠AEF-∠AEB, ∴∠EBF=∠BEF, ∴BF=EF, ∴MF+EF=MF+BF=BM=EN; … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 7 分 第22题解图① ③解：如解图②,过点E 作EI⊥AB 交AB 于点I,过点N 作HG⊥AD 交AD 于点H,交 IE 的延长线于点G, 由②得△ABE为等边三角形，∠ AEN=90°,BM=NE, ∵AB=4, , ∠AEI=30°, 易得HG=AI=2, ∴∠NEG=180°-∠AEI-∠AEN=60°,NE=1, 在Rt△NEG中， ∵AD=BC=6, ………………… ……………………………………… 10分 第22题解图② (2)解：线段BM 的长为5豆 …………… …………………………………………………………12分 23. 解：(1)∵1+2=2+1,4+2≠3+1,-3+2=-2+1, 结合“差反点”的定义，得Q₁(1,2),Q₃(-3,-2) 是点P₁(2,1) 的“差反点”;………… ……………2分 (2)∵点A 是直线y=2x+3 上的点，设点A(a,2a+3), ∵ 点A是点P₂(1,0) 的“差反点”,∴ a+1=2a+3, 解得a=-2, ∴2a+3=-1, ∴A(-2,-1); … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …… 4 分 (3)设抛物线y=x²-2x+3 上满足题意的“差反点”为(z,z²-2z+3), ∴z+p=z²-2z+3, 整理，得z²-3z+3-p=0, ∵抛物线上存在两个满足题意的“差反点”, ∴△=b²-4ac=(-3)²-4(3-p)>0, ………………………………………………………………………………………………………6分 (4)设抛物线 上满足题意的唯一的“差反点”为[1 整理，得 ∵抛物线上存在唯一的“差反点”, 整理，得n=-(m-t)²+t-2, ∴n 关于m 的函数图象开口向下，其对称轴为直线m=t 7 分 分类讨论如下： ①如解图①,当t≥3 时 ， ∵-1≤m≤3, ∴函数在m=3 时，取得最大值， 最大值为-(3-t)²+t-2=3-t, 解得t₁=4+√2,t₂=4-√2 (舍去); 第23题解图① ②如解图②,当t≤-1 时 ， ∵-1≤m≤3, ∴函数在m=-1 时，取得最大值， ∴-(-1-t)²+t-2=3-t, 化简得t²=-6, 无解； ③如解图③,当-1<t<3 时 ， ∵-1≤m≤3, ∴函数在m=t 时，取得最大值， ∴t-2=3-t, 解得 综上所述，t的值为4+√2或 · ……………………………………………………………………………13分 ( 图② )图③ 第23题解图 学科网（北京）股份有限公司 $$