第05讲 有理数乘除运算（知识清单+11大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版2024）

第05讲 有理数乘除运算（知识清单+11大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 倒数 题型五 有理数乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数除法的应用 题型八 有理数乘除混合运算 题型九 有理数四则混合运算 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 知识清单 知识点1．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点2．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点3．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 题型方法 【题型一】两个有理数的乘法运算 【例1】（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列说法中正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．若两个数的和为正数，则这两个数一定都是正数 C．小数都可以改写成分数 D．任何数与0的乘积都等于0 【答案】D 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类、有理数的加法、有理数的乘法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据有理数的分类、有理数的加法、有理数的乘法，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、一个数不是正数就是负数或0，故此选项说法错误，不符合题意； B、若两个数的和为正数，则这两个数不一定都是正数，故此选项说法错误，不符合题意； C、无限不循环小数不可以改写成分数，故此选项说法错误，不符合题意； D、任何数与0的乘积都等于0，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）若，那么□中填入正确的数是 ． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算以及乘法逆运算，解题的关键是利用因数与积的关系． 已知一个因数与积，根据乘法逆运算，用积除以已知因数，即可求出另一个因数． 【详解】， 即中应填入， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）已知：，． (1)求和的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】有理数的减法运算、绝对值的几何意义、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的乘法，有理数的减法运算，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据绝对值的定义求解即可； （2）由可知，或，，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，； （2）由（1）知，，， ， ，或，， 或， 的值为或． 【题型二】多个有理数的乘法运算 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 【答案】D 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法，根据任意有理数乘以0，都得0，得到乘积为0，则乘数中必有一个数为0，即可得出结果． 【详解】解：∵2025个有理数相乘，结果为0， ∴这2025个数至少有一个0； 故选D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 【答案】C 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧，关键是要理解“！”的运算规律．根据“！”的运算规律计算​即可得出本题的答案． 【详解】解：根据题目的运算规则可得：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）用、、填空． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法运算法则，奇数个负数相乘结果为负，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算；理解新定义，正确进行运算是解题的关键． （1）根据新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）根据新定义进行分步运算，即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型三】有理数乘法的实际应用 【例3】（24-25七年级上·河南平顶山·期末）人体血液的质量占人体体重的与之间，已知小亮的体重为35kg，则他体内的血液质量可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，分别计算与，即可知道小亮体内血液质量所处的范围，根据选项即可作出判断． 【详解】解：由题意知，小亮体内血液质量位于与之间， 由四个选项知，小亮体内的血液质量可能为； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下表是利用计算机软件制作的某工厂九月份的员工工资表，用计算机软件计算出员工“应发工资”方法如下：在单元格中，输入公式“”后回车，即可计算出张大山的“应发工资”，根据上面操作，我们可以得出九月份王小武的应发工资是（     ） A．7780 B．3038 C．3028 D．7720 【答案】A 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂题意，再列式王小武的应发工资是（元），即可作答． 【详解】解：∵在单元格中，输入公式“”后回车，即可计算出张大山的“应发工资”， ∴王小武的应发工资是（元）， 故选：A． 2．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）有，两种卡片各张，卡片正、反两面分别写着和，卡片正、反两面分别写着和．甲、乙两人从中各拿走张卡片并摆放在桌上，发现各自的张卡片向上一面的数字和相等．之后两人各自将所有卡片另一面朝上，发现甲的张卡片向上一面的数字和减小了，乙的张卡片向上一面的数字和增加了．则卡片翻转后，甲所持的张卡片向上一面的数字和为 ． 【答案】 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的运算，通过将进行拆分来进行分配是解答本题的关键．设开始时甲向上一面的数字之和为，根据题意有，即，再根据数字确定满足条件的甲朝上的数字的可能情况，即可作答． 【详解】解：设开始时甲向上一面的数字之和为， 甲、乙正面朝上的数字之和相等， 此时乙向上一面的数字之和也为， 翻面之后，朝上一面的数字之和甲减小，乙增加， 此时甲向上一面的数字之和为，乙向上一面的数字之和为， 则总的面上数之和为：， 根据、两种卡片可知中卡片的两面数字之和为：， 即，即， 甲一面朝上的数字之和为， 甲朝上的可能是，，，或者，，，， 则卡片翻转后，甲向上一面的可能是，，，或者，，，，数字之和为 故答案为：． 3．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ (2)若冲锋舟每千米耗油升，求冲锋舟当天救灾过程中共耗油多少升？ 【答案】(1)B地位于A地东边，距离A地千米处 (2)冲锋舟当天救灾过程中共耗油升 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查有理数的加法和乘法的实际应用．解题的关键是读懂题意，正确的列出算式． （1）将所有数据相加后，根据结果进行判断即可； （2）将所有数据的绝对值相加，再乘以每千米的油耗，即可． 【详解】（1）解：； ∴B地位于A地东边，距离A地千米处； （2）（升）； 答：冲锋舟当天救灾过程中共耗油升． 【题型四】倒数 【例4】（24-25七年级上·山东青岛·期中）的倒数是（    ） A． B． C． D．2025 【答案】A 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握乘积等于1的两个数互为倒数是解题的关键． 利用倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）若，则a与b的关系正确的是（   ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．a大于b 【答案】B 【知识点】相反数的定义、倒数 【分析】本题主要考查了相反数和倒数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴a与b互为相反数， 故选：B． 2．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两个数的乘积为，进行分析作答即可，理解倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）数轴上的点，，，分别表示，的倒数，0的相反数，． (1)在如图所示的数轴上描出，，，四个点； (2)，两点间的距离是多少？，两点间的距离是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)B、C两点间的距离是，A、D两点间的距离是7 【知识点】倒数、相反数的定义、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了有理数与数轴，倒数，相反数． （1）先分别根据绝对值、倒数、相反数的概念得出点，，，表示的数，再根据数轴上数的特点，在数轴上表示数即可； （2）根据两点间距离的求法直接求解即可． 【详解】（1）解：，， 的倒数为，0的相反数为0， ∴点，，，分别表示，，0，4， ∴点，，，四个点在数轴上表示如下： （2）解：∵， ∴B、C两点间的距离是， ∵， ∴A、D两点间的距离是7． 【题型五】有理数乘法运算律 【例5】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查的是乘法的运算律，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键． 利用乘法对加法的分配率的逆应用运算即可． 【详解】解： 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【答案】C 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】根据题干中的计算步骤即可求得答案．本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： 此步骤是将原式变形， 此步骤是利用乘法分配律， 此步骤是利用减法法则， 则原计算步骤从②步开始出错， 故选：C． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算律，利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)74 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查乘法运算律，解题的关键是准确识别式子中相同的因数，然后逆用乘法分配律进行简便计算． （1）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． （2）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型六】有理数的除法运算 【例6】（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）下列各式的值等于9的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查绝对值、有理数的除法，根据绝对值、有理数的除法法则求解即可． 【详解】解：A．，故A不符合题意． B．，故B不符合题意． C．，故C不符合题意． D．，故D符合题意． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】有理数加法运算、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法、除法运算法则，熟知两种运算的法则是正确解答此题的关键． 根据有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可作出判断． 【详解】解：， ，同为正或同为负， ， ，同为负，即：，； 故选：C． 2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）三个互不相等的有理数，可以表示为0，b，的形式，也可以表示为1，a，的形式，那么a的值为 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数除法计算，根据分母不为0以及三个数互不相等可得，，则，进而得到，则． 【详解】解：∵有意义， ∴， 又∵0与不相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查分数的化简，有理数的除法，熟练掌握分数的化简法则是解题的关键； （1）根据分数化简，计算即可求解； （2）根据分数化简，计算即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 【题型七】有理数除法的应用 【例7】（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）买一台价格是3400元的电视机，需要付（   ）张面值100元的人民币． A．340 B．34 C．4 【答案】B 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查有理数除法的实际应用，根据题意，列出算式进行计算即可． 【详解】解：（张）； 故选B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）现有A，B，C，D四个圆柱形容器，且每个容器均可装的水，其中A容器内部底面积为，B容器内部底面积为，C容器内部底面积为，D容器内部底面积为．若分别往这四个容器中注入的水后，则容器内水面最高的是（   ） A．A容器 B．B容器 C．C容器 D．D容器 【答案】A 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据容器底面积与水面高乘积固定为求解即可． 【详解】解：∵分别往这四个容器中注入的水， ∴A容器内部底面积为，容器内水面高为； B容器内部底面积为，容器内水面高为； C容器内部底面积为，容器内水面高为； D容器内部底面积为，容器内水面高为； ∴容器内水面最高的是A容器， 故选：A． 2．（24-25七年级上·黑龙江·期中）岁儿童一顿午餐需要摄入克蛋白质，已知克豆制品含蛋白质克．如果这些蛋白质都从豆制品中摄取，一个儿童一顿午餐大约要吃豆制品 克． 【答案】 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据题意列出算式，然后根据运算法则即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， （克）， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·开学考试）据有关资料统计，株洲市年地方财政收入约亿元，在湖南省的财政收入增速排名中排第六位，株洲市年地方财政收入相比年地方财政收入约增长了，请你计算一下株洲市年地方财政收入约为多少亿元？ 【答案】亿元 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据题意列出算式计算即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（亿元）， 答：株洲市年地方财政收入约为亿元． 【题型八】有理数乘除混合运算 【例8】（23-24七年级上·青海西宁·期中）计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，先把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河北沧州·期末）已知两个相关联的量与是成反比例的量，根据下表，判断与的关系正确的是（    ） 8 12 150 120 100 80 A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，成反比例的量，根据成反比例的量乘积一定列式计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴． 故选A． 2．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 【详解】解：， ，输出； 故答案为：128． 3．（24-25七年级上·江西吉安·期末）阅读材料：我们知道有限小数可以化为分数，那么无限循环小数是如何化为分数的呢？ 观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程．是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到， 发现小数点后仍然是循环节为47的无限循环小数，即小数点后仍是原数，即，由此可知，所以根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)是以______为循环节的无限循环小数，将化为分数结果为______； (2)将化为分数形式，并写出推导过程． 【答案】(1)4，； (2)；见解析． 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了把无限循环小数化成分数，正确理解题意是解题的关键． （1）根据材料中方法即可解答； （2）根据材料中方法即可解答； 【详解】（1）解：是以4为循环节的无限循环小数， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：4，； （2）∵， 即 ∴． 【题型九】有理数四则混合运算 【例9】（24-25七年级上·广西钦州·期末）规定一种新运算：．计算的结果为（   ） A． B． C．19 D．29 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了新运算和有理数的混合运算．根据新运算的定义代入直接计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（平均数问题）有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是（   ） A．12 B．18 C．36 D．45 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的四则运算，理解题意列式计算是解答此题的关键．把4个和全加起来，实际上是每个数都加了3遍，然后除以3即可求出这四个数的和，题目要求最小的数，然后用四个数的和减去三个数的最大的和即可． 【详解】解：， ， 所以最小的一个数是12． 故选：A 2．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）对于有理数a、b定义一种运算：，计算 ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1) (2)15 (3)50 (4) (5) (6)3 (7) (8) (9) (10) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数乘法与加减法的混合运算，熟练掌握有理数的加减与乘法的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数加法运算律计算即可； （4）现将有理数的减法转化为加法计算，再运用加法运算律计算即可； （5）运用有理数乘法的运算律计算即可； （6）先计算绝对值内的加法，再进行有理数的加减混合运算即可； （7）根据先乘除再加减的运算顺序计算即可； （8）运用分配律计算即可； （9）先去小括号，再去中括号，最后根据有理数的加法运算法则及加法运算律计算即可； （10）运用有理数的分配律的逆运算计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ； （9）解： ； （10）解： ． 【题型十】有理数四则混合运算的实际应用 【例10】（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）明明家原来每天用电度，由于采取了节电措施，现在每天比原来节约，他家原来150天用的电，现在可以用（    ）天 A．152 B．160 C．168 D．178 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，先求出原来150天的总用电量，再求出现在每天的用电量，再用总电量除以现在每天的用电量即可得到答案． 【详解】解；天， 所以他家原来150天用的电，现在可以用160天， 故选：B． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）两列火车分别从两城相对开出，1.5小时后两车在途中相遇．已知甲车每小时行80千米，乙车每小时行60千米，两城之间的距离是（    ）千米 A．180 B．210 C．240 D．270 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据“路程时间速度”，代入数据解答即可． 【详解】解：（千米）， ∴两城之间的距离是210千米， 故选：B 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（常识推理）一只正常的猫有18个爪尖，每条前腿有5个爪尖，每条后腿有4个爪尖．我市“保护残疾动物之家”收养了4只伤残猫，每只猫都失去了一条腿，但是每只猫失去的腿都不相同，这4只伤残猫共有 个爪尖． 【答案】54 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用，解此题关键是根据常识对“4只伤残猫，每只猫都失去了一只腿，但是每只猫失去的腿都不相同”进行合理推断，之后即可轻松作答．据“4只伤残猫，每只猫都失去了一只腿，但是每只猫失去的腿都不相同”可推断出“4条不相同的腿正好构成一只正常猫的四条不相同的腿”，故这4只伤残猫腿的总数正好3只正常猫腿的总数，据此即可解答． 【详解】解：四只猫失去的四条腿正好是一只正常猫的四条腿．， 故答案为：54 3．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）煤矿井下A点的海拔为． (1)若从A点到B点的水平距离是，每经过水平距离高度上升，已知B点在A点的上方，求B点的海拔； (2)若C点海拔为，每垂直升高用时，已知C点在A点的正上方，求从A点到C点所用的时间． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键． （1）根据每经过水平距离高度上升列式计算即可； （2）根据每垂直升高用时列式计算即可． 【详解】（1）解：， 答：B点的海拔为； （2）解：， 答：从A点到C点所用的时间为． 【题型十一】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例11】．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了数轴上两数比较大小及有理数运算，解题关键是正确得出a，b的信息并熟练掌握有理数的加法法则和乘法法则. 先观察数轴可知：，根据得，然后然后对四个选项逐一分析即可. 【详解】观察数轴可知：， ∵， ∴， A．，，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； D．，所以，，此选项的结论正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如下图所示，则下列各式正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的四则运算，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．由数轴得出，，再进一步判断每个选项即可． 【详解】解：由数轴得，，， ，故①错误； ， ， ， ，即，故②正确； ，， ，故③错误； ，， ，，， ，， ，故④正确； 故选：B． 2．（24-25七年级上·河南许昌·期末）如图是有理数a，b在数轴上的对应点的位置，则 0（选填“>”“<”“=”）．    【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了有理数的大小比较．根据数轴上，靠近右边数大于其左边的数，得出，根据有理数的乘法即可得出答案． 【详解】解：由图可得，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）有理数，在数轴上表示的点如图所示． (1)比较：______0，______（填“”“”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算、整式的加减运算 【分析】（1）利用点在数轴上的位置，可得，，从而可得答案； （2）先判断，，再化简绝对值，合并同类项即可． 本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，绝对值的化简，有理数加减运算的符号确定，去括号，合并同类项，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由图知： ，， ，． 故答案为：， （2）解：由图知：，，， ，， ． 好题必刷 一、单选题 1．计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，根据两个有理数乘法的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．从百年前的“奥运三问”到今天的“双奥之城”，2022年中国与奥运再次牵手，2022年注定是不平凡的一年．数字2022的倒数是（　　） A．2022 B．﹣2022 C． D． 【答案】D 【分析】根据倒数的定义，即可求解． 【详解】解：2022的倒数是． 故选：D 【点睛】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键． 3．一个数的倒数等于它本身的数是（   ） A．1 B． C． D．和0 【答案】C 【分析】本题考查了倒数，掌握“乘积是1的两数互为倒数”是解题关键，注意0没有倒数．根据倒数的定义可得答案． 【详解】解：一个数的倒数等于它本身的数是， 故选：C． 4．若5个有理数的积是负数，则5个因数中正因数的个数可能是（　　） A．1个 B．3个 C．1或3或5个 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．根据几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为偶数时积为正，负因数的个数为奇数时积为负，即可得解． 【详解】解： 5个有理数的积是负数，则5个因数中负因数的个数为1个，3个或5个， 正因数的个数可能为4个或2个或0个． 故选：D． 5．下表的日历中，任意圈出一竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的计算，通过观察发现日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数之间的内在联系，是完成本题的关键．通过观察可知，日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数，据此特点对题目中的四个选项中的数据进行分析即可． 【详解】解：日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数． A、，不能整除，不符合要求； B、，不能整除，不符合要求； C、，，，符合日历中数竖列上相邻的三个数的特点； D、，不能整除，不符合要求； 故选：C． 6．现有以下五个结论：①正数、负数和0统称为有理数；②若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数．其中正确结论的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据有理数的概念和分类、数轴、绝对值以及有理数的乘法法则逐一判断即得答案． 【详解】解：整数和分数统称为有理数，①错误； 若，∴＝－1，②正确； 数轴上的每一个点不一定表示一个确定的有理数；例如π，故③错误； 绝对值等于其本身的有理数是非负数，④错误； 几个非零有理数相乘，负因数个数为奇数，结果为负数，⑤错误， ∴正确的只有1个， 故选B． 【点睛】本题考查了有理数的概念和分类、数轴、绝对值以及有理数的乘法等知识，熟练掌握有理数的基本知识是解题关键． 7．的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、相反数、倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据绝对值、相反数的定义化简，再根据倒数的定义即可解答． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：D． 8．与101×9.9计算结果相同的是（    ） A．100×9.9＋1 B．100×9.9＋9.9 C．100×9＋100×0.9 D．100×9.9﹣9.9 【答案】B 【分析】将101转化为( 100+1 )，然后利用乘法分配律解答． 【详解】解∶101×9.9= ( 100+1 ) ×9.9=100×9.9+9.9． 故选∶B． 【点睛】本题主要考查了乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 9．在等式“（－4）□（－2）＝2”，“□”中的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】D 【分析】根据有理数除法法则计算即可． 【详解】（－4）+（－2）＝-6， ∴+是不成立的， A不符合题意； （－4）-（－2）＝-2， ∴-是不成立的， B不符合题意； （－4）×（－2）＝8， ∴×是不成立的， C不符合题意； ∵（－4）÷（－2）＝2， ∴应该填“÷”， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． 10．已知有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数轴可得：b＜0＜a，|b|＞|a|，据此及有理数的运算法则逐个分析即可． 【详解】解：∵由数轴可得：b＜0＜a，|b|＞|a| ∴，故A正确； ，故B错误； ab<0，故C错误； ，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了借助数轴进行的相关运算，数形结合，得出相关基本结论，并明确有理数的运算法则，是解题的关键． 二、填空题 11．若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则的负倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键．根据互为负倒数的定义可知，用即可得到的负倒数． 【详解】解：， 的负倒数是． 故答案为：． 12．因为 ，所以的倒数是 ；因为 ，所以的倒数是 ． 【答案】 / 【分析】根据乘积是的两个数互为倒数即可求得答案． 【详解】因为，所以的倒数是；因为，所以的倒数是． 故答案为：，，， 【点睛】本题主要考查有理数的乘法，牢记有理数乘法的性质（乘积是的两个数互为倒数）是解题的关键． 13．计算： ． 【答案】 【分析】运用有理数乘法与减法法则先算乘法，再算减法即可得出答案． 【详解】解：， =， =-2． 故答案为-2． 【点睛】本题主要考查有理数乘法与减法混合运算，解题关键在于熟练掌握有理数乘法与减法混合运算方法． 14．已知，是有理数，有下列结论：；；；．其中正确的有 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数乘法法则逐项判断即可，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：，计算正确； ，计算正确； ，计算正确； ，计算正确； 则正确的有， 故答案为：． 15．若关于，，的单项式与单项式的次数相同，系数互为倒数，则该单项式是 ． 【答案】 【分析】根据单项式系数和次数的定义以及倒数的定义可以分别求出，的值，即可得出最后结果． 【详解】解：单项式与单项式的次数相同，系数互为倒数， ， ，， 该单项式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式的系数和次数的概念，倒数的定义，熟练掌握相关概念是解答本题的关键． 16．已知，互为相反数，，互为倒数，则的值为 ． 【答案】-2020． 【分析】根据互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1计算即可． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， ∵，互为倒数， ∴， ； 故答案为：-2020． 【点睛】本题考查了互为倒数的两个数的积和互为相反数的两个数的和，熟记相反数和倒数的意义是解题关键． 17．在－5，－3，－2，1，2，7这六个数中任取两数相乘，所得乘积中的最小数与最大数之差的绝对值为 ． 【答案】50 【分析】根据有理数的乘法计算法则分别求出任取两个数所得乘积的最大值与最小值，由此求解即可． 【详解】解：在－5，－3，－2，1，2，7这六个数中任取两数相乘，所得乘积中的最小数为，所得乘积中的最大数为， ∴所得乘积中的最小数与最大数之差的绝对值为， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，有理数的减法和绝对值，解题的关键在于能够根据题意求出任取两个数所得乘积的最大值与最小值． 18．已知a是不等于﹣1的数，我们把称为a的和倒数．如：2的和倒数为＝，已知a1＝1，a2是a1的和倒数，a3是a2的和倒数，a4是a3的和倒数，…，依此类推，则a1×a2×…×a6＝ ． 【答案】 【分析】先分别求出对应的和倒数，再根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：由题意，a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝， ∴a1×a2×…×a6 ＝1××××× = ， 故答案为：． 【点睛】本题考查倒数、有理数的混合运算，理解和倒数定义，熟练掌握运算法则是解答的关键． 三、解答题 19．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握乘法运算法则，是解题的关键．根据有理数乘法运算法则，结合乘法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】解： ． 20．可可在计算时，由于不小心，后面的加数被墨水污染． (1)可可问了同桌乐乐，发现乐乐计算时误将后面的“+”看成了“÷”，从而算得结果为，则被墨水污染的这个数为______． (2)请你正确计算此题，结果为______． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法以及有理数的乘除法． （1）由两个加数与和的关系，即可求出被墨水污染的减数； （2）把求出的被墨水污染的减数代入加法算式计算，即可得出正确结果． 【详解】（1）解：由题意得：被墨水污染的减数为：； （2）解：． 21．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解决问题的关键． （1）根据有理数乘法运算法则直接求解即可得到答案． （2）根据因数有0，则相乘的结果为0，即可作答． （3）奇数个负数相乘的结果是负数，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ． （2） ． 【点睛】此题考查了有理数的乘法运算，正确掌握有理数乘法的计算法则是解题的关键． 23．某地区夏季高山上的温度从山脚起，海拔高度每升高，平均气温下降，假设山脚的海拔高度为，温度是． (1)若这座山的海拔高度是，求山顶温度； (2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是，此时他所处的海拔高度为多少？ 【答案】(1)这座山的山顶温度为； (2)此时他所处的海拔高度为． 【分析】（1）根据题意列出算式，再根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得答案． （2）根据题意列出算式，再根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得答案． 【详解】（1）解： ． ． 答：这座山的山顶温度为． （2）解：． 所以此时他所处的海拔高度为． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算的应用，解题的关键是理解题意列出算式、掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了有理数的除法的运算，解题关键在于熟知除以一个数等于乘以它的倒数． （1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 25．运用运算律进行简便运算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘法，灵活运用乘法运算律是解答本题的关键． （1）原式运用乘法结合律进行简算即可得到答案； （2）原式运用乘法分配律计算乘法后，再进行加减运算即可版答案； （3）原式逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 26．【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是_____；（填序号） （2）若，且、为整数，则的最大值为_______； 【拓展】 （3）数轴上A、两点分别对应有理数、，若，试比较与0的大小． 【答案】（1）①②；（2）6；（3）见解析． 【分析】（1）、同号，可能同为正数，也可能同为负数即可得到答案； （2）最大，需、同号，而知、均为负整数，分类讨论即可得答案； （3）、异号，分类讨论与0的大小． 【详解】解：（1）， 、同号， 、同为正数时，； 、同为负数时，； 故答案为：①② （2）最大 、同号， ， 、同为负数， 、为整数， 、分别为和，此时；或、分别为和，此时， 故答案为：6； （3）， 、异号， 设，则， 若，则， 若，则， 若，则． 设，则， 若，则， 若，则， 若，则． 【点睛】本题考查有理数加法、乘法的法则，解题的关键是分类讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数乘除运算（知识清单+11大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 倒数 题型五 有理数乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数除法的应用 题型八 有理数乘除混合运算 题型九 有理数四则混合运算 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 知识清单 知识点1．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点2．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点3．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 题型方法 【题型一】两个有理数的乘法运算 【例1】（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列说法中正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．若两个数的和为正数，则这两个数一定都是正数 C．小数都可以改写成分数 D．任何数与0的乘积都等于0 2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）若，那么□中填入正确的数是 ． 3．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）已知：，． (1)求和的值； (2)若，求的值． 【题型二】多个有理数的乘法运算 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 【举一反三】 1．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 2．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）用、、填空． 3．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 【题型三】有理数乘法的实际应用 【例3】（24-25七年级上·河南平顶山·期末）人体血液的质量占人体体重的与之间，已知小亮的体重为35kg，则他体内的血液质量可能为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下表是利用计算机软件制作的某工厂九月份的员工工资表，用计算机软件计算出员工“应发工资”方法如下：在单元格中，输入公式“”后回车，即可计算出张大山的“应发工资”，根据上面操作，我们可以得出九月份王小武的应发工资是（     ） A．7780 B．3038 C．3028 D．7720 2．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）有，两种卡片各张，卡片正、反两面分别写着和，卡片正、反两面分别写着和．甲、乙两人从中各拿走张卡片并摆放在桌上，发现各自的张卡片向上一面的数字和相等．之后两人各自将所有卡片另一面朝上，发现甲的张卡片向上一面的数字和减小了，乙的张卡片向上一面的数字和增加了．则卡片翻转后，甲所持的张卡片向上一面的数字和为 ． 3．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ (2)若冲锋舟每千米耗油升，求冲锋舟当天救灾过程中共耗油多少升？ 【题型四】倒数 【例4】（24-25七年级上·山东青岛·期中）的倒数是（    ） A． B． C． D．2025 【举一反三】 1．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）若，则a与b的关系正确的是（   ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．a大于b 2．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）的倒数是 ． 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）数轴上的点，，，分别表示，的倒数，0的相反数，． (1)在如图所示的数轴上描出，，，四个点； (2)，两点间的距离是多少？，两点间的距离是多少？ 【题型五】有理数乘法运算律 【例5】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）计算： ． 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 【题型六】有理数的除法运算 【例6】（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）下列各式的值等于9的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）三个互不相等的有理数，可以表示为0，b，的形式，也可以表示为1，a，的形式，那么a的值为 3．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）化简： (1)； (2) 【题型七】有理数除法的应用 【例7】（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）买一台价格是3400元的电视机，需要付（   ）张面值100元的人民币． A．340 B．34 C．4 【举一反三】 1．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）现有A，B，C，D四个圆柱形容器，且每个容器均可装的水，其中A容器内部底面积为，B容器内部底面积为，C容器内部底面积为，D容器内部底面积为．若分别往这四个容器中注入的水后，则容器内水面最高的是（   ） A．A容器 B．B容器 C．C容器 D．D容器 2．（24-25七年级上·黑龙江·期中）岁儿童一顿午餐需要摄入克蛋白质，已知克豆制品含蛋白质克．如果这些蛋白质都从豆制品中摄取，一个儿童一顿午餐大约要吃豆制品 克． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·开学考试）据有关资料统计，株洲市年地方财政收入约亿元，在湖南省的财政收入增速排名中排第六位，株洲市年地方财政收入相比年地方财政收入约增长了，请你计算一下株洲市年地方财政收入约为多少亿元？ 【题型八】有理数乘除混合运算 【例8】（23-24七年级上·青海西宁·期中）计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河北沧州·期末）已知两个相关联的量与是成反比例的量，根据下表，判断与的关系正确的是（    ） 8 12 150 120 100 80 A． B． C． D．无法判断 2．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 3．（24-25七年级上·江西吉安·期末）阅读材料：我们知道有限小数可以化为分数，那么无限循环小数是如何化为分数的呢？ 观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程．是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到， 发现小数点后仍然是循环节为47的无限循环小数，即小数点后仍是原数，即，由此可知，所以根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)是以______为循环节的无限循环小数，将化为分数结果为______； (2)将化为分数形式，并写出推导过程． 【题型九】有理数四则混合运算 【例9】（24-25七年级上·广西钦州·期末）规定一种新运算：．计算的结果为（   ） A． B． C．19 D．29 【举一反三】 1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（平均数问题）有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是（   ） A．12 B．18 C．36 D．45 2．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）对于有理数a、b定义一种运算：，计算 ． 3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【题型十】有理数四则混合运算的实际应用 【例10】（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）明明家原来每天用电度，由于采取了节电措施，现在每天比原来节约，他家原来150天用的电，现在可以用（    ）天 A．152 B．160 C．168 D．178 【举一反三】 1．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）两列火车分别从两城相对开出，1.5小时后两车在途中相遇．已知甲车每小时行80千米，乙车每小时行60千米，两城之间的距离是（    ）千米 A．180 B．210 C．240 D．270 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（常识推理）一只正常的猫有18个爪尖，每条前腿有5个爪尖，每条后腿有4个爪尖．我市“保护残疾动物之家”收养了4只伤残猫，每只猫都失去了一条腿，但是每只猫失去的腿都不相同，这4只伤残猫共有 个爪尖． 3．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）煤矿井下A点的海拔为． (1)若从A点到B点的水平距离是，每经过水平距离高度上升，已知B点在A点的上方，求B点的海拔； (2)若C点海拔为，每垂直升高用时，已知C点在A点的正上方，求从A点到C点所用的时间． 【题型十一】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例11】．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如下图所示，则下列各式正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·河南许昌·期末）如图是有理数a，b在数轴上的对应点的位置，则 0（选填“>”“<”“=”）．    3．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）有理数，在数轴上表示的点如图所示． (1)比较：______0，______（填“”“”或“”）； (2)化简：． 好题必刷 一、单选题 1．计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．3 2．从百年前的“奥运三问”到今天的“双奥之城”，2022年中国与奥运再次牵手，2022年注定是不平凡的一年．数字2022的倒数是（　　） A．2022 B．﹣2022 C． D． 3．一个数的倒数等于它本身的数是（   ） A．1 B． C． D．和0 4．若5个有理数的积是负数，则5个因数中正因数的个数可能是（　　） A．1个 B．3个 C．1或3或5个 D．以上答案都不对 5．下表的日历中，任意圈出一竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 6．现有以下五个结论：①正数、负数和0统称为有理数；②若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数．其中正确结论的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．的倒数是（　　） A． B． C． D． 8．与101×9.9计算结果相同的是（    ） A．100×9.9＋1 B．100×9.9＋9.9 C．100×9＋100×0.9 D．100×9.9﹣9.9 9．在等式“（－4）□（－2）＝2”，“□”中的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 10．已知有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则的负倒数是 ． 12．因为 ，所以的倒数是 ；因为 ，所以的倒数是 ． 13．计算： ． 14．已知，是有理数，有下列结论：；；；．其中正确的有 （填序号）． 15．若关于，，的单项式与单项式的次数相同，系数互为倒数，则该单项式是 ． 16．已知，互为相反数，，互为倒数，则的值为 ． 17．在－5，－3，－2，1，2，7这六个数中任取两数相乘，所得乘积中的最小数与最大数之差的绝对值为 ． 18．已知a是不等于﹣1的数，我们把称为a的和倒数．如：2的和倒数为＝，已知a1＝1，a2是a1的和倒数，a3是a2的和倒数，a4是a3的和倒数，…，依此类推，则a1×a2×…×a6＝ ． 三、解答题 19．计算：． 20．可可在计算时，由于不小心，后面的加数被墨水污染． (1)可可问了同桌乐乐，发现乐乐计算时误将后面的“+”看成了“÷”，从而算得结果为，则被墨水污染的这个数为______． (2)请你正确计算此题，结果为______． 21．计算： (1)； (2)； (3)． 22．计算： (1)； (2)． 23．某地区夏季高山上的温度从山脚起，海拔高度每升高，平均气温下降，假设山脚的海拔高度为，温度是． (1)若这座山的海拔高度是，求山顶温度； (2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是，此时他所处的海拔高度为多少？ 24．计算： (1)； (2)． 25．运用运算律进行简便运算： (1)； (2)； (3)． 26．【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是_____；（填序号） （2）若，且、为整数，则的最大值为_______； 【拓展】 （3）数轴上A、两点分别对应有理数、，若，试比较与0的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$